TECNOLOGÍA PESQUERA
MANUAL PRÁCTICO PARA ESTUDIANTES DEL I SEMESTRE
Módulo: MATEMÁTICA
Unidad Didáctica: Lógica y Funciones
Autor de contenidos: Cesar Augusto Febre
Docente: Ing. Alexander Villanueva Heredia
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Manual practico de matematica, Guías, Proyectos, Investigaciones de Matemáticas
Manual practíco de matematicas autoayuda
Tipo: Guías, Proyectos, Investigaciones
2018/2019
1 / 188
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TECNOLOGÍA PESQUERA
MANUAL PRÁCTICO PARA ESTUDIANTES DEL I SEMESTRE
Módulo: MATEMÁTICA
Unidad Didáctica: Lógica y Funciones
Autor de contenidos: Cesar Augusto Febre Docente: Ing. Alexander Villanueva Heredia
Introducción
Estimado/a estufiante
Le acercamos este material con los contenidos mínimos necesarios para
el estudio de la carrera de Tecnologia Pesquera. Esos contenidos
constituyen la base de conocimiento sobre la que podrá seguir
construyendo sus conocimientos.
Como usted sabe, en esta primera instancia le proponemos el estudio
independiente con el propósito de brindarles una ayuda para sus
conocimientos.
El Manual de Apoyo Práctico está organizado en cinco unidades. En cada
una encontrará; una breve presentación, un listado de contenidos y
actividades y los desarrollos temáticos con explicaciones básicas,
propuestas de ejercitación y práctica y soluciones para cotejar los
resultados.
Índice del Manual Unidad 1 – Teoría de Conjuntos Pág. 3 Conjuntos y determinación Clases de conjuntos Propiedades de conjuntos Operaciones con conjuntos Ejercicios guiados y propuestos Solución de problemas con conjuntos Unidad 2 – Ecuaciones Pág. 74 Conceptos- Clasificación Conjunto solución Ecuaciones de primer grado Con una variable. Metódos de solución Ecuaciones de primer grado con dos Variables .Metodos de solución Ecuaciones de segundo grado con una Variable. Metodos de solución Regla de tre simple Ejercicios aplicados en la pesca Unidad 3 – Inecuaciones ss
1. Conjuntos y determinación UNIDAD 1 – Teoria de Conjuntos Presentación En esta unidad le proponemos el estudio del manejo operativo de los números reales , poniendo el énfasis en los números enteros racionales y, entre los irracionales, en aquellos que son expresables como radicales. El dominio de estos temas es imprescindible para su desempeño profe- sional, dado que se le presentarán situaciones que se lo exigirán. Tenga en cuenta que es fundamental consolidar la operatoria numérica, pues usted deberá aplicarla en cualquiera de los cálculos que realice al des- arrollar su práctica laboral. Por otro lado, esta primera unidad es la base sobre la que se apoya el re- sto de los contenidos. No se podría intentar, por ejemplo, resolver ecua- ciones sin manejar la operatoria con los números reales, pues en esa reso- lución usted deberá operar con esos mismos números. Como puede observar, el manejo de la operatoria con los reales será aplicado a lo largo de todos los temas. Para poder lograr el aprendizaje de los contenidos es necesario que lea los materiales indicados, realice los trabajos prácticos y compare sus resultados con las respuestas que figuran en las grillas para la autoco- rrección. A través del estudio de esta unidad esperamos que usted sea capaz de: Operar con los distintos tipos de números reales, poniendo énfasis en sus propiedades. Lograr el manejo operatorio con diferentes tipos de intervalos en la recta real, junto a tres operaciones elementales: unión (), intersec- ción () y diferencia (⎯). A continuación, le presentamos un detalle de los contenidos y activida- des que integran esta unidad. Usted deberá ir avanzando en el estudio y profundización de los diferentes temas, realizando las lecturas y ela- borando las actividades propuestas. Contenidos ss
3. Clases de conjuntos 4. Propiedadees de conjuntos 6.-Solución de problemas con conjuntos 5.-Operaciones con conjuntos Organizador Gráfico El siguiente esquema le permitirá visualizar la interrelación entre los con- ceptos que a continuación abordaremos. ss 2. Conjuntos y determinación
ss
Manual de apoyo para ingresantes / Matemática / Pág
Sabemos que se llaman racionales los números reales que se pueden escribir como cociente o división de enteros (con divisor no nulo). Por ejemplo, el número 7 es racional porque se puede escribir como 14/2, el número 2.3 es racional porque se puede escribir como 23/10 y el número racional porque se puede escribir como 3/9.
también es Los números racionales surgen en nuestra formación escolar cuando aprendemos a dividir enteros (6:2 = 3 porque 32=6) y nos encontramos con divisiones "imposibles" como, por ejemplo, 7:5. Es así que, al no encontrar ningún entero que multiplicado por 5 dé por resultado 7, nos sentimos ante la presencia de expresiones matemáticas inconcebibles (en el lenguaje escolar de quien no conoce los fraccionarios se dice: "7 dividido 5 no se puede"). En otras circunstancias, los fraccionarios aparecen como resultado de una medición. En efecto, medir es comparar una cantidad de magnitud (por ejemplo la longitud de una mesa) con otra cantidad tomada como unidad, y el resultado es siempre un racional. Por otro lado, es necesario definir cuándo dos racionales son iguales (es decir cuándo representan el mismo número). La idea es: dos racionales a/b y c/d son iguales cuando ad = bc. Por ejemplo los racionales 3/2 y 6/4 son iguales (o sea son dos formas de escribir el mismo número) porque 34=6*2. Una vez conocida la igualdad de racionales es necesario manejar las operaciones básicas. Para ello resulta imprescindible conocer la propiedad llamada " propiedad fundamental de las fracciones ". Ella nos dice que al multiplicar numerador y denominador de una fracción por el mismo entero no nulo, el racional que se obtiene es igual al original. En símbolos sería:
a
a * n (con n 0 y b 0 ).
b b * n
Observando la expresión escrita podemos comprobar que se cumple la definición de igualdad definida. En efecto, abn=anb como se necesita.
Esto permite sumar fracciones de igual denominador fácilmente: a^ c^ a^ ^ c^.
b b b
Y para el caso de fracciones de distinto denominador se procede de igual manera simplemente después de reescribirlas para que tengan igual denominador. Se utiliza entonces la propiedad fundamental indicada antes y se realiza lo siguiente:
2. Números racionales
a
c
a * d
c *
b
de modo que ahora se han obtenido dos fracciones de igual
b d b * d d * b
denominador sobre las que se puede realizar la suma manteniendo el denominador común y sumando los numeradores.
a
c
a * d
c * b
a * d c * b
b d b *
d
d *
b
d * b
De modo análogo se procede con la resta. Para el producto se efectúa:
a
c
a *
c (siempre con denominadores no nulos)
b d b * d
Y para el cociente se verifica que: “dividir por una fracción” equivale a “multiplicar por la fracción inversa”. En símbolos:
a
b a^
d
c b c
d
Profundice esta explicación con la lectura de los contenidos que le proponemos a continuación. Guía para la lectura A través de este material iremos retomando las nociones previas que usted fue adquiriendo a lo largo de su formación escolar so- bre los conceptos que conforman este punto de la unidad, para que pueda profundizarlas, cuestionarlas y/o resignificarlas a la luz de nuevos contenidos. Al abordar este texto le proponemos orientar su lectura del si- guiente modo: Identifique las características de la propiedad fundamental de las fracciones.
Producto de fracciones Es la más sencilla: se multiplican ordenadamente numerador por numerador y denominador por denominador. En símbolos: para a, b, c, d enteros ( b0 ; d0) vale: a
c a * c Ejemplo:
b d b * d
Suma de fracciones Si tienen igual denominador sencillamente se suman los numeradores y se conserva el denominador: 2 6 8 5 5 5 Si escribimos esta suma del siguiente modo: 2 quintos + 6 quintos = 8 quintos vemos mejor lo razonable de la regla para sumar fracciones. Para el caso de fracciones de distinto denominador conviene en primer lugar reexpresar las fracciones para que tengan igual denominador y luego aplicar la regla recién vista. Consideremos: 3 2 5 7 reexpresamos cada fracción así: 3 3 * 7 21 Y 2 2 * 5 10 5 5 * 7 35 7 7 * 5 35
llevando esto a la suma de fracciones: 3 2 3 * 7 2 * 5 21 10 5 7 5 * 7 7 * 5 35 35 Ya está expresado como suma de fracciones de igual denominador (este proce- so se llama “reducir a común denominador”) ¿Qué falta hacer? Sumar simplemente los numeradores.
Esto que acabamos de hacer muestra el fundamento de lo que nos enseñó la maestra. ¿Recordamos cómo era? “saco denominador común” 3 2 5 7 35 (en otras palabras encuentro un múltiplo de los denominadores. ¡¡No estamos sacando factor común : el factor común es un submúltiplo ; en cambio, el común denominador es un múltiplo !!) En este ejemplo “divido 35 por 5. Esto da 7”. Significa que al 5 debo multipli- carlo por 7 para obtener ese 35. Quiere decir que estoy averiguando “¿por qué número debo multiplicar al denominador 5 para obtener el común denomina- dor 35?” entonces...“como la respuesta es 7, multiplico este 7 por el 3”: 3 2 3 * 7 5 7 35 Aquí estoy aplicando la “propiedad fundamental de las fracciones” (si multipli- co abajo por 7, también multiplico arriba por 7). Continúo... “divido el 35 por 7. Esto da 5”. Estoy averiguando ¿por qué núme- ro debo multiplicar al denominador 7 para obtener el denominador común
12 6 División de fracciones: Al dividir dos enteros como 12 y 6 decimos que el resultado es 2 porque “ multiplicado por 6 es 12”. Es decir: 2 pues 2 * 6 = 12 Esto rige para la división entre enteros. Es análogo para la división entre fracciones: Al dividir 3 por 2 5 el resultado es 7 21 pues 10
Es
decir: 3
En general para enteros cualesquiera a, b, c, d (siendo b, c, d no nulos) vale:
a
b
c
d
Para verificar esto debemos comprobar que a d * (“el resultado”) multiplicado por c (“el divisor”) da d
a^ *^ d
bc
Simplifico dividiendo por 35 nume- rador y denominador
b a (“el dividendo” ) b