“las decisiones óptimas que
hallamos tomado en
cada una de las etapas en
las que podemos
dividir un problema, estas no
dependerán de las
decisiones óptimas que
hayamos tomado en las
etapas anteriores y que la
solución global del
problema se obtiene a
partir de las soluciones de
los subproblemas”.
En un problema de
programación matemática
tenemos los siguientes
componentes:
• Variables de decisión 𝑥 = (𝑥1,
⋯
; 𝑥𝑛)
∈
ℝ𝑛.
• Función objetivo 𝑓
∶
ℝ𝑛 → ℝ.
• Restricciones, condiciones que
deben cumplir las variables de
decisión.
• Pueden ser de dos tipos:
Restricciones de desigualdad, 𝑔𝑖
𝑥 ≤ 0; 𝑖
∈
1,
⋯
, 𝑚 (𝑐𝑜𝑛 𝑔𝑖: ℝ𝑛 → ℝ).
Restricciones de igualdad, ℎ𝑗 𝑥 =
0;𝑗
∈
1,
⋯
, 𝑙 (𝑐𝑜𝑛 ℎ𝑗: ℝ𝑛 → ℝ).
Buscar la solución comenzando por
el final y moviéndonos hacia atrás
etapa por etapa para encontrar la
decisión óptima para cada etapa
hasta que llegamos a encontrar la
decisión óptima desde la etapa
inicial, la cual lleva directamente a
una solución óptima del problema
completo, gracias al Principio de
optimalidad.
• 𝑠𝑖 = estado actual de la etapa
𝑖.
• 𝑥𝑖 = variable de decisión de la
etapa 𝑖.
• 𝑓𝑖 (𝑠𝑖, 𝑥𝑖 )= contribución a la
función objetivo si el sistema se
encuentra en el estado 𝑠𝑖 en la
etapa 𝑖, la decisión inmediata
es 𝑥𝑖, y
en adelante se toman
decisiones óptimas.
• 𝑥𝑖∗= solución óptima de 𝑥𝑖
dado 𝑠𝑖.
• 𝑓𝑖∗𝑠𝑖 = máx {𝑓𝑖 𝑠𝑖, 𝑥𝑖 = 𝑓𝑖 𝑠𝑖, 𝑥𝑖*, o
bien 𝑓𝑖∗𝑠𝑖 = mín {𝑓𝑖 𝑠𝑖, 𝑥𝑖 =𝑓𝑖 𝑠𝑖, 𝑥𝑖*)
Consiste en simplificar un problema de programación
matemática complejo en subproblemas más simples, de manera
recursiva, de forma que, resolviendo estos últimos, podamos
hallar una solución óptima para el
problema original. Desarrollada por Richard E. Bellman en 1953
PROGRAMACIÓN DINÁMICA
Introducción El Problema
Básico
Formulación Método "Backward“
(Método "Hacia Atrás“)
Métodos Backward y
Forward
Significa
Significa
Significa
Elementos principales
• Etapas 𝑖 = {1,
⋯
, 𝑛}: Podemos encontrar
problemas con un número de
etapas finitos o infinito.
• Variables de decisión 𝑥 = (𝑥1,
⋯
, 𝑥𝑛)
∈
ℝ𝑛.
Estas representan las decisiones que
tomaremos. Cada xi es la variable de decisión
que tomaremos para llegar a la etapa 𝑖 + 1.
• Estados 𝑠 = (𝑠1,
⋯
, 𝑠𝑛)
∈
ℝ𝑛. Los estados son
las distintas condiciones posibles en las que
se puede encontrar el sistema en cada etapa
del problema, es decir, si nos indica los
posibles valores de la variable 𝑥𝑖.
• Función objetivo 𝑓 = 𝑓1,
⋯
, 𝑓𝑛 ℝ𝑛 → ℝ.
Representa el costo o beneficio asociado a las
variables de decisión. Esta será una función
aditiva sobre el tiempo, por lo que tendremos
una relación recursiva que identifica la
decisión óptima para la etapa i, dada la
política
óptima para la etapa 𝑖 + 1.
Método "Forward" (Método
"Hacia Delante")
La relación recursiva se pueda definir
en función de las
etapas anteriores. Por tanto se
empezará a resolver el
problema comenzando al inicio y
moviéndonos hacia delante
etapa por etapa hasta llegar a la
etapa final y obtener una
solución para el problema completo.