Maquetes, Apuntes de Matemáticas

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Desde y para el aula | Queremos hacer maquetas porque es chulo David Vilalta CEIP Escola Dovella. Barcelona | y divertido En este artículo, quisiera mostrar como el proceso geométrico de su construc- ción fue también un proceso social de comunicación. Ese proceso geométrico y comunicativo nos tiñó a todo el grupo de tal forma que nos sentimos crecer los unos con los otros. We want to make models because it's cool and fun In this article we want to show that the geometric process of model building was also a social process of communication. This communicative and geome- tric process effected all the group in such a way that we were aware of how we were all growing. Miquel y Oscar convencieron a su clase (CM-1 de primaria) con este ar- gumento. Su propuesta se basaba en recortar unas fotocopias y cons- truir una ciudad pegando las piezas. Pero yo, el maestro, no lo veía claro. Después de darle vueltas, un día me presenté en clase con la pro- puesta siguiente: ¿Qué os parece si hacemos la maqueta de la plaza del Doctor Serrat? A todo el mundo le pareció bien. Es una plaza que hay enfrente de la escuela y en la que muchos de los niños y niñas han pasado largos ratos jugando. Guillem dijo que podría traer la maqueta de un edificio que habi- an hecho sus padres para que la pudiéramos mirar. Aquella misma tarde, lan visitó un carpintero amigo suyo para pedirle un trozo de madera que sirviera de soporte a la maqueta. Una vez construida, la expusimos en el rellano del entresuelo de la escuela. Los padres vinieron a verla y la fotografiaron. También la visitaron maestros y alumnos de la escuela. Construir la maqueta con deseo y de forma compartida nos situó en un contexto especial: las aportaciones que haciamos solían tener en cuenta la realidad y su representación, tuvimos que buscar la razón e Foto 1. Plaza del Doctor Serrat Foto 2. Maqueta 107 | Uno Revista de Didáctica de las matemáticas + n. 35 + pp. 107-116 e enero 2004 Desde y para el aula imaginarnos las consecuencias de nuestras elaboraciones, a veces nos sor- prendíamos cuando contrastábamos los espacios imaginados con los reales. El espíritu de colaboración se encarnó. ibamos generando significados en comunidad y estos se incorpora- ban a nuestro lenguaje, en nuestras argumentaciones. Tuvimos la nece- sidad de llegar a acuerdos. Los escribíamos en colores y en letra grande y los colgábamos en el rincón donde teníamos las cosas de la maqueta. El proceso de construcción fue un contexto valioso para la vida del aula. El mismo deseo de construir la maqueta nos fue transformando porque no la podíamos hacer de cualquier manera. Las referencias a la realidad se nos instalaron en el pensamiento condicionando nuestro proceder. Representar la plaza del Doctor Serrat supuso: . Tener un objetivo claro, compartido y dotarnos de una organi- zación del trabajo. Ello propició que cada cual se implicara des- de su individualidad, con sus sentimientos, sus valores y sus conocimientos. Nos organizamos y decidimos cómo abordaría- mos el trabajo: nos repartimos los objetos del mobiliario urbano. A ratos trabajamos en pequeño grupo, a ratos individualmente, también se elaboraban problemas, se exponían conclusiones en clase, se debatía, comentábamos, nos echábamos una mano... Concebir el aula como un espacio público de debate e investiga- ción. Donde se pueden expresar las opiniones y las suposiciones, donde se comparte información, se planifica y se comprueba. Un lugar donde se negocian significados, se argumenta y se demuestra. Un espacio y unos momentos en los que nos emocionamos a me- dida que vamos dando forma a aquello que nos imaginábamos. Donde también compartimos dificultades y el desánimo de al- guien. Donde resolvemos los conflictos de forma dialogada. Un aula abierta a todo tipo de instrumento y forma de información que nos pueda ayudar. Conocer es como hablar con la realidad en diversas aproximaciones, algo así como las olas que con su ritmo libre humedecen la playa. La guía de Barcelona, planos de la plaza a la escala acordada, revistas de urbanismo, una maqueta real, las opiniones de algún padre y de alguna madre, la opinión de compañeros, etc. Cambiar de opinión pide, entre otras cosas, argumentos precisos, avalados, de peso. . Este contexto me permitió repensar mi papel como maestro. De transmitir conocimiento a facilitar el diálogo; de hablar a escu- 108 | Uno Revista de Didáctica delas matemáticas + n. 5 « enero 2004 Desde y para el aula Sonia: Volvemos y miramos más, sin dibujar. Subimos y decimos lo que se ha notado. Ían: Intentar buscar el plano del arquitecto. Aroa: Coger la cinta métrica y medir. Para conocer la forma de la plaza, los alumnos se encuentran con la di- ficultad que supone dibujar algo donde estás dentro. Para ello se suele necesitar una cierta distancia y escoger un punto de vista. En la conver- sación se puede apreciar cómo se realizan diversas aproximaciones a la forma: buscando los lados, midiendo. También hay quien todavía nece- sita mirar más y quien plantea buscar el punto de vista de un arquitec- to. La mediación del maestro consistió en repartir una fotocopia de la pagina de la guía de Barcelona donde está la plaza. Hubo de invertirse un tiempo en la lectura y comprensión de ese nuevo documento. Luego, por analogía del juego de los barcos se les hizo buscar la plaza utilizan- do coordenadas. Al ver el dibujo en el plano de la guía de Barcelona se unificó la opinión de la clase: la plaza tiene forma de triángulo. El significado geométrico de las propiedades, unidades y equi- valencias Cada persona sabía qué objeto del mobiliario urbano debía reali- zar para la maqueta. El maestro planteó si cada cual haría el objeto co- mo quisiera o si deberíamos ponernos de acuerdo en algo. Ese planteamiento, y la necesidad de medir los objetos reales para ponerlos en una madera en el aula, nos llevó a debates sobre las relacio- nes de proporcionalidad, sobre cómo medir objetos o qué medidas to- mar de ellos, incluso apareció la escala. Cecilia escribió debajo de su dibujo de los columpios que «los co- lumpios son seis veces más altos que el balancin». Y Raquel escribió en su dibujo que «el balancin es seis veces más bajo que los columpios». Maestro: ¿Cecilia, Raquel, nos queréis explicar como lo hicisteis? Cecilia: Lo miramos entre las dos con los palmos de Raquel porque son más grandes y nos dio esto. Cogimos un barrote y Raquel fue poniendo los palmos y cuando no llegábamos lo fuimos haciendo así. (Muestran como trasladaban visualmente el balancín sobre el columpio). Raquel: Miré la altura del balancín y la fuimos poniendo una encima de la otra hasta que llegamos a la punta. Cecilia y Raquel habían establecido una relación de proporcionalidad entre sus dos objetos. Su amistad y el hecho de que los objetos estuvieran cercanos contribuyeron a ello. Construyeron un objeto intermediario que tuviera la medida del balancín y lo usaron como si fuera una unidad. Para establecer esa 110 | Uno Revista de Didáctica delas matemáticas + n. 35 + enero 2004 Desde y para el aula relación necesitaban comparar trasladándolo visualmente al columpio con la finalidad de encontrar una relación numérica. Ariadna: ¿Pero el balancin mide un palmo? Ariadna se mostraba confusa, ya no sabía cual era la unidad que sus compañe- ras utilizaban para medir el balancín de Raquel. Otros niños de la clase propu- sieron métodos alternativos para adquirir seguridad sobre esa relación, midiendo los objetos y después calculando su proporción para ponerlos en la maqueta. Veamos la opinión de lan: «Por ejemplo, bajamos a la plaza y medimos cuanto hacen de altura los columpios. Por ejemplo, hacen 12 m y el balancin hace 6 m. Entonces sabremos que los columpios son dos veces el balancin». Diseño de Ariadna para realizar la Con la necesidad de tomar medidas reales aparecieron fuente los instrumentos y la necesidad de abstraer las propie- EEN dades geométricas de los objetos. Medir los objetos fue 25-02-04 una dificultad porque implica una comprensión signifi- cativa de las propiedades y de las dimensiones de las formas geométricas. Se miden propiedades de los obje- tos más que objetos reales y físicos. Cuando Sonia plan- tea coger la cinta métrica y al compañero más alto de la clase, lo hace convencida de que el columpio es muy al- to por lo que la regla no le sirve. Aroa, sin embargo, to- davía no ve esa distinción pero explica muy bien como proceder con la regla. Su intervención produjo un largo y apasionado debate porque ¿cuál es la altura del co- lumpio?, ¿la altura de uno de sus brazos como plantea Aroa?, ¿o la bisectriz como plantea Miquel? Ían: Tenemos que medir los objetos. Tenemos que bajar abajo y comprobar si las medidas están bien. Debemos fijarnos si son 3D o si son 2D; o si son cilindros o cualquier otra forma y tenemos que mirar si los columpios son catorce veces más al- tos que la papelera o si el balancín es dos veces más alto que los caballitos o si el árbol es diez veces más alto que la fuente. En cuanto el grupo toma conciencia de la importancia de conservar las re- laciones métricas de los objetos sienten la necesidad de negociar un signi- ficado, una palabra, algo que les permita entenderse. En ese momento, los niños y niñas aportaron la palabra escala y comenzaron a utilizarla. El significado de la proporción para construir una maqueta Simó: Todos los objetos de la maqueta han de ir a escala, proporcionados con la realidad. Si medimos del 1 al 100, la escala es por ejemplo 1/24 en la ma- queta. Los objetos de la maqueta deben estar medidos a escala. 111 | Uno Revista de Didáctica delas matemáticas +n. 35 + enero 2004 Desde y para el aula Siguiendo con el significado de la proporcionalidad de los objetos: Andrea: Por ejemplo, la papelera es cinco veces más pequeña que el edificio. Víctor: Por ejemplo, si esta cara hace 10 m, convertir los m en cm. Maestro: ¿Si conviertes los m en cm queda la distancia más corta? V Víctor: Si. El maestro dibuja en la pizarra una línea de 1 m, ayudándose con el me- tro de madera que hay en la clase. Y escribe «1 m = 100 cm, ¿1 mes 1 em?, ¿es más corto 1 m que 100 cm?» Gerard: ¡Él dice 1 m pasarlo a 1cm!V Víctor: Si el edificio es de 10 m, si hace 1000 cm son 10 em, cambias el m por el cm. Maestro: Fijate, esto que estás diciendo es una escala. El maestro propuso hacer un acuerdo para toda la clase. Dicho acuerdo se escribió y se colgó en un sitio destacado. El acuerdo fue la base para que todas y todos pudiéramos continuar con la planificación de nues- tros objetos. Acuerdo sobre la proporción de las cosas de la plaza del Doctor Serrat: Convertimos los m en cm, Por ejemplo, si un edificio hace 10 m, lo convertimos en 10 cm. Y así lo haremos con todos los objetos. Escala 1: 100 El significado objetivo del problema de elegir la escala adecuada El acuerdo tomado dio sosiego al grupo. La gente andaba preocu- pada por tener las medidas reales de sus objetos y por tenerlas todas. Hubo quien empezó a plantear las dificultades de conversión de unas unidades a otras pero, en medio de ese quehacer, Ariadna inquietó al grupo: «¡No puede ser! La fuente quedaría muy baja porque hace 3,15 m y quedaría una cosa así de pequeña (señalando la porción en una regla) y no podré hacer las conchas». Ese problema centró la preocupación de la mayoría del grupo: ¿Cómo elegimos la escala para poder colocar en la maqueta toda la in- formación que consideramos importante? La dificultad se fue elaboran- do al fomentar que los niños y las niñas hablaran para objetivar el problema geométrico. Por parejas, tuvieron que clarificar qué ocurría para después ponerlo en común. Ingrid y Franco: Primero os explicaremos el problema. El problema es que nosotros hicimos un acuerdo que consistía en convertir los m en cm, entonces nos dimos cuenta de que quedaría muy pequeño y ahora tenemos que buscar una solución. 113 | Uno Revista de Didáctica de las matemáticas e n. 35 + enero 2004 Foto 4 Valoración Desde y para el aula El nuevo acuerdo de la maqueta 1 m en la plaza será en la maqueta 2 cm., 3 m en la maqueta serán 6 cm. Escala 1:50 Al final se hizo un mural en colores donde se expresó lo siguiente: El problema de la maqueta Ariadna: El problema que tenemos es que con la escala 1:100 los objetos nos quedaban demasiado pequeños. Sonia: Los de algunos son grandes y los de otros son pequeños y como decía- mos de hacerlo a 1:100 quedaría minúsculo. Ían: El problema que tenemos es que l'Ariadna para hacer las conchas no las puede hacer. Gerard: La escala 1:100 es muy pequeña. La situación se solucionó revisando el acuerdo y tomando otro. En cada acuerdo el padre de Victor nos trajo un plano de la plaza a la escala acordada. Ese documento fue algo necesario e importante puesto que nos permitió ver las consecuencias que tenían nuestras decisiones sobre la representación. El proceso social fue, al mismo tiempo, un proceso matemático. Las acciones matemáticas eran, al mismo tiempo, acciones comuni- cativas. A modo de resumen, adjunto algunas de estas acciones sig- nificativas. Pienso que escuchar a tus alumnos es apasionante, algo que te implica y te lanza a otra dimensión del acto educativo. Claro que esa escucha debe ser con cierta dosis de ánimo por conocer a tu alumnado. Entonces adviertes la diversidad como algo más profundo que la categoría de alumnos de educación especial; porque la vida es diversi- dad y, del mismo modo que no hay dos huellas dactilares idénticas, nuestros alumnos piensan cada uno a su manera. Y esa riqueza..., sería una estupidez dilapidar esa riqueza. Contrastar opiniones sobre las formas de los objetos, argumentar- las. Llegar a ser capaz de incorporar el punto de vista de otro de la clase porque lo he escuchado y me ha convencido. O, simplemente, darme cuenta del error de mi medida al explicarle al de al lado mi objeto, son cosas que pasan cuando abres tu campo de visión educativo. Y claro, a 114 | Uno Revista de Didáctica de las matemáticas + n. 35 + enero 2004 Desde y para el aula Foto 14. Comprobar mis notas Foto 15. Dialogar y acordar Foto 16. Leer el pie de rey Foto 18. Situar Foto 19. Y disfrutar por el Z fruto del trabajo. 7 que nos planteamos la construcción de la maqueta y el papel que jugó la vida matemática en el aula. Ver el aula como un lugar donde cada cual también cuenta, un espacio de relación entre las personas, los saberes y la realidad nos hizo crecer. Yo pienso que también nos hizo mejores personas. Referencia del David Vilalta y Murillo. Maestro de CM en el CEIP Escola Dovella de Barcelona. autor "Seminario cultura matemática de las personas” en Gracias a mis compañeras de infantil que tanto me animaron, y a Carlos Galle- go, cuyos comentarios aportan miradas insospechadas. Este trabajo se ha realizado en el marco del acuerdo de colaboración firmado entre el ICE UAB y la FPCEE Blanquerna de la URL. 116 | Uno Revista de Didáctica de las matemáticas + n. 35 e enero 2004