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RELACIÓN DE PROBLEMAS. LECCIÓN 2
1. La función de producción de una empresa es Q(K, L ) = - 2K 2 + 8 K - L 2 + 6L. Determine la productividad marginal del capital ( K ) y del trabajo ( L ), si la utilización de los dos factores productivos en ese momento es de 2 unidades cada uno.
Sabiendo que el coste unitario de ambos factores es el mismo, si la empresa desea aumentar la cantidad utilizada de alguno de los dos ¿cuál escogería?
2. La función de utilidad de un consumidor que consume dos bienes en cantidades x e y es:
u ( x , y )= x^1 /^2 y^1 /^4
Determine la utilidad marginal de ambos bienes si en este momento se consumen 9 unidades del primer bien y 16 del segundo. Interprete el resultado obtenido.
3. Calcule la matriz jacobiana de la siguiente función y la hessiana de la función escalar que ocupa la primera componente, en el punto (1, 1/2): 4. Dada la función
y xz y x f ( x , y , z ) z^3 x ,^2
Calcule la jacobiana de la función en el (1, -1, -1).
5. En una fábrica, a partir de dos materias primas, P1 y P2, se obtienen dos bienes semiterminados S1 y S2 mediante la siguiente función de producción:
( u , v )= f ( x , y )= ( x^1 /^4 y^3 /^4 , x^2 + y )
donde x e y son las cantidades de materia prima utilizadas de P1 y P2 respectivamente, mientras que u y v son las cantidades obtenidas de S1 y S2. A partir de S1 y S2 se produce un bien final, F, mediante la función:
= x + y + xy y f ( x , y ) Lnx ,^22
g ( u , v )= u^2 + v^2 + uv
Calcule la productividad marginal de las dos materias primas, P1 y P2, en el punto (1, 1) en la producción del bien final aplicando la regla de la cadena.
6. Una empresa produce un bien a partir de dos productos intermedios que se utilizan en cantidades b y c , según la función de producción: (^) z ( b , c )= b^2 + Ln ( c ).
Estos productos necesitan dos materias primas, M1 y M2 en cantidades x e y , según las funciones de producción:
b ( x , y )= x^3 /^5 y^2 /^5 c ( x , y )= x^2 + y
Calcule la productividad marginal de la materia prima M1 teniendo en cuenta que se está utilizando una unidad de cada una de las materias primas.
7. Calcule el gradiente de la función compuesta g f , en el punto (1, 1, 1), siendo:
2 2
2 2 2 ( , )
guv u v
f xyz x y z Lnxyz u v = +
8. Dadas las funciones :
2
2 guvw u Ln v
f xy yLn x x y u v w = +
Calcule el gradiente de la función compuesta en el punto (1, 0).
9. Estudie la concavidad o convexidad de las siguientes funciones:
a. f (^) 1 ( x , y )= e − x ⋅ y b. f (^) 2 ( x , y , z )=− x^2 − y^2 − 5 z^2 c. f (^) 3 ( x , y , z )= x − 3 y + 4 z d. f (^) 4 ( x , y , z )= x^4 + y^4 e. f (^) 5 ( x , y , z )= x + 2 y + z
13. Una empresa dedicada a la producción de un bien utiliza en su proceso productivo dos productos semiterminados, S 1 y S 2 , en cantidades u y v respectivamente, y obtiene una cantidad del bien final, w , según la siguiente expresión :
u^2 v^2 w = guv =
a. Determine el tipo de rendimientos de escala que muestra dicha función e interprete el resultado obtenido. b. Suponga que la empresa adquiere una máquina mediante la cual obtiene los dos productos semiterminados, S1 y S2, a partir de tres materias primas: M1, M2 y M3, que la empresa utiliza en cantidades x, y y z respectivamente. Dicha transformación viene dada por la siguiente expresión:
( u , v )= f ( x , y , z )=^ (^ x^2 +( z − 1 )^3 , xy^1 /^2 )
Determine la productividad marginal de cada una de las tres materias primas en el bien final, si en este momento la empresa está utilizando las siguientes cantidades de las mismas: x = 1, y = 4, z = 2.
