Introducción a la teoría de anillos y homeomorfismos - Prof. Ballester, Apuntes de Álgebra

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Breve introducci´on a la teor´ıa de anillos

Harold Selvaggi

21 de marzo de 2003

4 ´INDICE GENERAL

Cap´ıtulo 1

Estructuras elementales

1.1. Definiciones b´asicas

Definici´on 1.1.1. 1. Sea S un conjunto cualquiera, una operaci´on bina- ria en S es una funci´on f : S × S → S.

2. De la misma forma una operaci´on unaria en S es una funci´on f : S → S.
3. Dado un conjunto S y una operaci´on binaria + : S × S → S diremos que (S, +) es un semigrupo si la operaci´on binaria verifica:

a) (a + b) + c = a + (b + c) ∀a, b, c ∈ S (asociativa)

4. Sea G un conjunto no vac´ıo, + una operaci´on binaria en G, − una operaci´on unaria en G y un elemento e ∈ G. Diremos que (G, +, −, e) es un grupo si verifica:

a) (G, +) es un semigrupo b) a + e = e + a = a ∀a ∈ G (neutro) c) a + (−a) = e ∀a ∈ G (opuesto)

Si adem´as a+b = b+a ∀a, b ∈ G se dice que el grupo es conmutativo, o abeliano.

5. Un conjunto A junto con dos operaciones binarias + y ∗, una operaci´on unaria − y un elemento e ∈ A es un anillo si verifica:

a) (A, +, −, e) es un grupo abeliano b) (A, ∗) es un semigrupo

c)

a ∗ (b + c) = a ∗ b + a ∗ c (b + c) ∗ a = b ∗ a + c ∗ a

distributiva

1.1. DEFINICIONES B ASICAS´ 7

Nota: Aunque todos comprendemos cuando hablamos de divisores, en la definici´on anterior no es del todo correcto utilizar este termino puesto que a´un no se ha definido lo que es un divisor. No obstante la definici´on es correcta puesto que lo importante de esto se ha notado como ab = 0 entonces a = 0 o b = 0.

Teorema 1.1.5. Sea A un dominio de integridad y sea 0 6 = a ∈ A si ax = ay entonces x = y. Demostraci´on:

Por hip´otesis ax = ay sumando el opuesto de ay tenemos ax − ay = 0 entonces a(x−y) = 0 y como A es un dominio de integridad a = 0 o x−y = 0 pero como a ≤ 0 se tiene que x − y = 0 entonces x = y.

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El hecho de que la propiedad asociativa sea v´alida en un conjunto para 3 elementos implica que esta sea v´alida para cualquier cantidad de elemen- tos. Lo que quiero decir es que el hecho de que (a + b) + c = a + (b + c) implica que (a 1 +... + an− 1 ) + an = a 1 + (a 2 +... + an). Esto nos permite asegurar que el elemento a 1 +... an siempre esta bien definido y que es in- dependiente del orden en que operemos. La demostraci´on de este teorema es bastante engorrosa, inclusive su enunciado, por lo que no lo demostraremos ni enunciaremos. No obstante este es un hecho importante que siempre hay que tener en cuenta.

Definici´on 1.1.3. Un subanillo de A es un subconjunto S de A que con las operaciones de A restringidas a S es si mismo un anillo.

Es evidente que las operaciones definidas en S cumplen todas las pro- piedades necesarias para que S sea un anillo, lo que resta verificar es que las operaciones sean cerradas en S y que S sea no vac´ıo. Esto es ver que si a, b ∈ S entonces a + b, ab ∈ S y que para todo a ∈ S entonces −a ∈ S.

Evidentemente para los grupos existe una definici´on de subgrupo com- pletamente analoga a la definici´on que se dio para anillos.

Teorema 1.1.6. Sea A un anillo y sea S un subconjunto de A, entonces S es un subanillo sii

1. S es no vac´ıo
2. a, b ∈ S ⇒ a − b, ab ∈ S

Demostraci´on:

Como S es un subanillo en particular es no vac´ıo. Adem´as si a, b ∈ S entonces a+b, ab ∈ S y para todo a ∈ S entonces −a ∈ S. De las propiedades anteriores vemos que a + (−b) = a − b ∈ S as´ı que ya hemos probado la ida.

8 CAP´ITULO 1. ESTRUCTURAS ELEMENTALES

Rec´ıprocamente desde que S es no vac´ıo se tiene que existe a ∈ S luego tengo que a − a = 0 ∈ S. Ahora para todo a ∈ S tengo que 0 − a = −a ∈ S. Si a, b ∈ S entonces −b ∈ S entonces a − (−b) = a + b ∈ S. Adem´as ab ∈ S por hip´otesis. Luego las operaciones en S verifican todas las propiedades necesarias por verificarlas en A as´ı que S es un anillo.

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1.2. Homeomorfismos de anillos

Definici´on 1.2.1. 1. Un homeomorfismo de grupos es una funci´on f : A → B donde A y B son grupos tal que:

a) f(a+b) = f(a)+f(b)

2. Un homeomorfismo de anillos es una funci´on f : A → B donde A y B son anillos tal que:

a) f es un homeomorfismo de grupos aditivos A+^ en B+ b) f(ab) =f(a)f(b)

Teorema 1.2.1. Sean A, B y C anillos y φ : A → B y ψ : B → C homeo- morfismos de anillos entonces ψ(φ) es un homeomorfismo de anillos. Demostraci´on:

Sean a, b ∈ A entonces ψ(φ(a + b)) = ψ(φ(a) + φ(b)) = ψ(φ(a)) + ψ(φ(b)) y adem´as ψ(φ(ab)) = ψ(φ(a)φ(b)) = ψ(φ(a))ψ(φ(b)) Lo que demuestra que ψ(φ) es un homeomorfismo de anillos.

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Teorema 1.2.2. Sean A, B grupos y f : A → B un homeomorfismo de grupos, entonces f (0A) = 0B Demostraci´on:

Como B es un grupo existe un elemento 0B. Ahora f (0A) = f (a − a) = f (a) − f (a) = 0B.

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Corolario 1.2.3. Sean A, B anillos y f : A → B un homeomorfismo de anillos, entonces f (0A) = 0B

Teorema 1.2.4. Sean A y B anillos con unidad y sea f : A → B un homeomorfismo de anillos entonces f (1A) = 1B Demostraci´on:

10 CAP´ITULO 1. ESTRUCTURAS ELEMENTALES

2. −(a + K) = (−a) + K
3. (a + K)(b + K) = ab + K

Adem´as la funci´on ν(x) = x + K es el epimorfismo de anillos natural. Demostraci´on:

(Se deja como ejercicio)