Mate Aplicada Programación, Apuntes de Matemáticas

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MATEMÁTICA

APLICADA

ING. DIEGO ESPINOSA CHAUVÍN

1.3.2 MÉTODO

SIMPLEX

• Determinar mediante el Método Simplex el momento en el que se llega a la solución óptima, tanto en problemas de maximización como de minimización.
• Identificar el tipo de solución del problema con el uso del Tablero Simplex a través de los conocimientos de Gauss Jordan, Vectores y Matrices.

METODOLOGÍA

• Para la aplicación y solución de un problema mediante el método simplex se deben tener en cuenta los siguientes pasos: PASO 1. Lleve la función objetivo a maximización mediante la aplicación de la primera regla de equivalencia de la sección anterior.

 Restricción ≥: Reste una variable de

sobrante y sume una variable artificial

para generar el vector unitario.

Penalice (restar) la función objetivo

con la variable artificial, asignándole a

ésta un coeficiente infinitamente

grande.

• Por ejemplo – MA1. (M tiende al

infinito).

 Restricción =: Sume una variable

artificial para generar el vector unitario

y penalice la función objetivo.

PASO 3. Lleve toda todos los coeficientes al tablero simplex tal como se muestra en la tabla siguiente.  En el Cj ubique todos los coeficientes de las variables en la función objetivo.  En el CB coloque los coeficientes de la función objetivo, pero sólo de las

PASO 4. Evalué si la solución actual es

óptima. Para esto calcule los Zj - Cj de la

siguiente manera:

ZJ − C J = ∑( CBKB ) − C J ; donde:

• CB son los coeficientes de las variables

básicas en la función objetivo; Cj son los

coeficientes de la función objetivo y KB es

cada uno de los vectores de las variables a

través de las diferentes soluciones.

m B=

• Los vectores CB y KB van cambiando de tablero en tablero a medida que se avanza hacia la solución óptima del problema.
• Si todos los Zj - Cj son mayores o iguales que cero; la solución se hace óptima.
• De lo contrario continúe con el paso

PASO 5. Seleccione la variable que entra a la base: entra a la base aquella variable que tenga el Zj-Cj más negativo. En caso de haber empate entre dos a más variables; el empate se rompe arbitrariamente. PASO 6. Seleccione la variable que sale de la base: Para seleccionar la variable que abandonará la base aplique la siguiente regla:

• MIN {XB/KB} teniendo en cuenta sólo aquellos valores de KB mayores que cero (positivos).
• KB es el vector columna de la variable que entra a la base. PASO 7. Selección del pivote: el pivote es aquella posición donde se intercepta la columna de la variable que entra (KB) y la fila de la variable que sale

EJEMPLO:

Vamos a resolver el siguiente problema:

MAXIMIZAR Z = f(x 1 ,x 2 ) = 3x 1 + 2x 2 Sujeto a: 2x 1 + x 2 ≤^18 2x 1

• 3x 2 ≤ 42 3x 1
• x 2 ≤ 24 x 1 ≥ 0 , x 2 ≥ 0

SE CONSIDERAN LOS SIGUIENTES PASOS:

1. Convertir las desigualdades en igualdades: Se introduce una variable de holgura por cada una de las restricciones, este caso H 1 , H 2 , H 3 para convertirlas en igualdades y formar el sistema de ecuaciones estandar. Usando en simplex el siguiente criterio: Signo: Introducir ≤ H n

2. Igualar la función objetivo a cero y despues agregar la variables de holgura del sistema anterior:

Z - 3 x

1

- 2 x 2

• Para este caso en particular la funcion objetivo ocupa la ultima fila del tablero, pero de preferencia siempre se deberá de colocar como la primer fila.
• Cuando minimizamos se toma el valor (+) positivo de Fo para convertirlo en negativo y cuando maximizamos tomamos el valor (-) negativo de Fo para convertirlo en positivo. 3. Escribir el tablero inicial simplex:
• En las columnas aparecerán todas las variables del problema y, en las filas, los coeficientes de las igualdades obtenidas, una fila para cada restricción y la última fila con los coeficientes de la función objetivo:

Tablero Inicial Base Variable de decisión Variable de holgura Solución X 1 X 2 H 1 H 2 H 3 H 1 2 1 1 0 0 18 H 2 2 3 0 1 0 42 H 3 3 1 0 0 1 24 Z - 3 - 2 0 0 0 0