PROGRAMACIÓN LIENAL - MATE BÁSICA, Ejercicios de Matemáticas

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Matemática Básica

Semana 9

UPN, PASIÓN POR TRANSFORMAR VIDAS

Introducción a la programación lineal Módulo 8

¿Qué necesito recordar?

- Solución de sistemas de ecuaciones

- Graficar sistema de inecuaciones

¿Qué significa resolver un sistema de ecuaciones? Calcular el punto de intersección de las ecuaciones Calcular el punto donde se cruzan las ecuaciones

x y

x y

^ −^ =

 +^ =

Calcular el punto que satisface a ambas ecuaciones ¿Cuál región se sombrearía en la gráfica de la inecuación 𝑦 > 2𝑥 − 4?

• TEMARIO

1. Estructura de un problema de programación lineal.

2. Localización de la solución de un problema de programación lineal

3. Programación lineal

4. Problemas

5. Conclusiones

• 1. Estructura de un problema de programación lineal. Un problema de programación lineal en dos variables 𝑥, 𝑦 consiste en maximizar (o minimizar) una función objetivo lineal Donde A y B son números reales, que no se anulan en forma simultánea. A y B están sujetas a ciertas condiciones, o restricciones, que pueden expresarse como inecuaciones lineales en “𝑥" y “ 𝑦”. 𝒁 = 𝑨𝒙 + 𝑩𝒚

1. Maximizar la función objetivo P= 5𝑥 + 8𝑦 sujeta a las siguientes restricciones:

x y

x y

x y

Solución 𝒙 𝒚 0 6 6 0

1 ° 𝑥 + 𝑦 = 6 Punto prueba (0,0): 0 + 0 ≤ 6 0 ≤ 6 (𝑉) 4 ° Entonces se sombrea la región donde está el punto elegido. a) Se localizan los semiplanos solución de cada una de las inecuaciones del sistema.

2. 1 Ejemplos

1. Maximizar la función objetivo P= 5𝑥 + 8𝑦 sujeta a las siguientes restricciones:

x y

x y

x y

Solución 𝑥 − 2𝑦 ≥ 0 𝒙 𝒚 0 0 2 1 1 ° x − 2y = 0 3 ° Punto prueba (0,4) 0 − 2 ( 4 ) ≥ 0 − 8 ≥ 0 (𝐹) 4 ° Entonces se sombrea la región contraria donde está el punto elegido. a) Se localizan los semiplanos solución de cada una de las inecuaciones del sistema.

2. 1 Ejemplos

b) Se realiza la intersección de todos los semiplanos y el recinto que resulta es la solución general o región factible.

Interceptando las rectas se tiene: d) Cálculo del valor máximo. Por lo tanto, el máximo valor es 36 vértices Valor de P = 5 x + 8 y (0,0) 𝑃 = 5 0 + 8 0 = 0 (6,0) P=5(6)+8(0)= (4,2) P=5(4)+8(2) =20+ = c) Hallaremos los vértices de la región factible Los vértice A y C ya lo tenemos, entonces hallaremos el punto F

Intersectamos las dos regiones

b) Se realiza la intersección de todos los semiplanos y el recinto que resulta es la solución general o región factible.

d) Cálculo del valor mínimo. Por lo tanto, el mínimo valor es 30 vértices Valor de P =3𝑥 + 4𝑦 (8,2) 𝑃 = 3 8 + 4 2 = 32 (6,3) P=3(6)+4(3)= (0,7.5) P=3(0)+4(7.5)=

Tema: Introducción a la programación lineal

Recomendaciones para resolver una aplicación de programación lineal

1. Identificar las variables del problema.
2. Escribir la función objetivo y las restricciones.
3. Trace la gráfica de la región factible.
4. Determine las coordenadas de los vértices de la región factible.
5. Reemplazar los vértices en la función objetivo.
6. Si la región factible es acotada, la solución es dada por el vértice el valor óptimo de la función objetivo.
7. Si la región factible es una región no acotada en el primer cuadrante y ambos coeficientes de la función objetivo son positivos, entonces el valor mínimo de la función objetivo ocurre en un punto de la esquina y no se tiene un valor máximo.

Un Delivery reparte productos de dos empresas, la empresa “La Baratura” le paga 5 soles por cada producto y la empresa “Don Pepe” le paga 7 soles, los cuales son mas grandes, el Delivery puede lleva dos bolsas en su movilidad: una de “La baratura” en la cual alcanza 120 productos y la otra de “Don Pepe” en la que alcanza 100 productos. El Delivery analiza que puede repartir 150 productos como máximo entre las dos empresas a la semana. ¿Cuántos productos como máximo debe repartir el distribuidor para tener un beneficio máximo a la semana? El Delivery lleva dos bolsas: una para los productos de “La Baratura”, en la que alcanza 120, 𝒙^ ≤^ 𝟏𝟐𝟎 y otra para los productos de “Don Pepe”, en la que alcanza 100 𝑦 ≤ 100 Analiza que puede repartir 150 productos como máximo de las dos empresas 𝒙^ +^ 𝒚^ ≤^ 𝟏𝟓𝟎 𝑥 ≤ 120 𝑦 ≤ 100 𝑥 + 𝑦 ≤ 150 𝑥 ≥ 0 , 𝑦 ≥ 0 Solución: Tenemos: 𝑀𝑎𝑥𝑖𝑚𝑖𝑧𝑎𝑟^ 𝐵^ 𝑥,^ 𝑦^ =^ 5𝑥^ +^ 7𝑦 Problema 1 (continuación…)

2: Trazar la región factible Tomar en cuenta que las restricciones 𝑥 ≥ 0 , 𝑦 ≥ 0 , nos indica que debemos trabajar en el primer cuadrante 𝑥 + 𝑦 ≤ 150 1° 𝑥 + 𝑦 = 150 𝒙 𝒚 0 150 150 0 3 ° Punto prueba (0,0) 0 + 0 ≤ 150 0 ≤ 150 (𝑉) 4 ° Entonces se sombrea la región donde está el punto elegido. 𝑥 ≤ 120 Problema 1 (continuación…) 2 °