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Matemáticas
El libro Matemáticas para 1. er^ curso de ESO es una obra colectiva concebida, diseñada y creada en el Departamento de Ediciones Educativas de Santillana Educación, S. L., dirigido por Teresa Grence Ruiz. En su elaboración ha participado el siguiente equipo: José Antonio Almodóvar Herráiz César de la Prida Almansa Ana María Gaztelu Villoria Augusto González García Pedro Machín Polaina Carlos Pérez Saavedra Domingo Sánchez Figueroa EDICIÓN César de la Prida Almansa Laura Sánchez Fernández EDITOR EJECUTIVO Carlos Pérez Saavedra DIRECCIÓN DEL PROYECTO Domingo Sánchez Figueroa
Las actividades de este libro no deben ser realizadas en ningún caso en el propio libro. Las tablas, esquemas y otros recursos que se incluyen son modelos para que el alumno los traslade a su cuaderno.
SERIE RESUELVE
ESo
Índice
Unidad SaBER SaBER HaCER
(^1) números naturales
6
- Sistemas de numeración 8
- Aproximación de números naturales 9
- Propiedades de las operaciones con números naturales 10
- Potencias de números naturales 11
- Potencias de base 10. Descomposición polinómica de un número 12
- Operaciones con potencias 13
- Raíz cuadrada 16
- Operaciones combinadas 18
- Expresar productos y cocientes de potencias como una sola potencia
- Calcular la raíz cuadrada de un número
- Realizar operaciones combinadas con potencias y raíces
- Escribir números romanos
- Calcular el divisor de una división en la que conocemos el dividendo, el cociente y el resto
- Calcular el radicando de una raíz conociendo su raíz entera y su resto
- Resolver problemas en que los datos están relacionados
2 divisibilidad
28
- Divisibilidad 30
- Múltiplos de un número 31
- Divisores de un número 32
- Números primos y compuestos 34
- Descomposición de un número en factores 36
- Máximo común divisor 38
- Mínimo común múltiplo 40
- Calcular todos los divisores de un número
- Determinar si un número es compuesto utilizando los criterios de divisibilidad
- Factorizar un número
- Resolver problemas utilizando el máximo común divisor
- Resolver problemas utilizando el mínimo común múltiplo
- Calcular un múltiplo de un número comprendido entre otros dos números
- Averiguar criterios de divisibilidad de algunos números
- Calcular una cifra para que un número sea divisible entre otro
- Calcular la factorización de un producto
- Saber si dos números son primos entre sí
3 números enteros
50
- Números enteros 52
- Comparación de números enteros 54
- Suma y resta de dos números enteros 56
- Suma y resta de varios números enteros 57
- Multiplicación y división de números enteros 60
- Operaciones combinadas 62
- Ordenar números enteros
- Sumar y restar varios números enteros
- Realizar sumas y restas con paréntesis
- Multiplicar y dividir varios números enteros
- Realizar operaciones combinadas con corchetes
- Resolver sumas y restas con paréntesis eliminando los paréntesis
4 Fracciones
72
- Fracciones 74
- Fracciones equivalentes 76
- Comparación de fracciones 80
- Suma y resta de fracciones 81
- Multiplicación y división de fracciones 82
- Expresar una fracción impropia como suma de un número natural y una fracción propia
- Reducir fracciones a común denominador
- Calcular la fracción irreducible
- Realizar operaciones combinadas con fracciones
- Representar una fracción en la recta numérica
- Calcular un término desconocido para que dos fracciones sean equivalentes
- Comparar un número y una fracción
- Calcular una parte del total
5 números decimales
92
- Números decimales 94
- Aproximación de números decimales 96
- Multiplicación y división por la unidad seguida de ceros 97
- Suma, resta y multiplicación de números decimales 98
- División de números decimales 100
- Expresión de una fracción como un número decimal 104
- Tipos de números decimales 105
- Ordenar números decimales
- Resolver operaciones combinadas de suma, resta y multiplicación con números decimales
- Obtener cifras decimales en un cociente
- Representar números decimales en la recta numérica
- Calcular un número decimal comprendido entre otros dos
6 Álgebra
112
- Expresiones algebraicas 114
- Monomios 116
- Ecuaciones 118
- Elementos de una ecuación 119
- Ecuaciones equivalentes 120
- Resolución de ecuaciones de primer grado 121
- Resolución de problemas con ecuaciones 124
- Calcular el valor numérico de una expresión algebraica
- Sumar y restar monomios
- Resolver ecuaciones con paréntesis
- Resolver ecuaciones con denominadores
- Resolver problemas mediante ecuaciones
- Averiguar si una igualdad algebraica es una identidad o una ecuación
- Resolver ecuaciones con un solo denominador
- Resolver ecuaciones que son una igualdad de fracciones
7 Sistema Métrico decimal
134
- Magnitudes y unidades 136
- Unidades de longitud 137
- Unidades de capacidad 140
- Unidades de masa 141
- Unidades de superficie 142
- Unidades de volumen 144
- Relación entre las unidades de volumen, capacidad y masa 146 - Transformar medidas de longitud de forma compleja a incompleja y viceversa - Operar con medidas de longitud - Transformar medidas de superficie de forma compleja a incompleja y viceversa - Transformar medidas de volumen de forma compleja a incompleja y viceversa - Relacionar medidas de volumen, capacidad y masa - Resolver problemas de densidad
Esquema de la unidad
La estructura de las unidades didácticas es muy sencilla, ya que se trata de facilitar la localización de los contenidos fundamentales, de los ejemplos resueltos y de las actividades propuestas.
A lo largo de toda la unidad marcamos con iconos aquellos contenidos o actividades en los que se trabajan de manera particular las competencias básicas.
Páginas de contenidos: SABER y SABER HACER como un todo integrado.
¿Se puede formar un^ Resuelve el Reto cuadrado con 42 monedas?¿Y con 49?
(^7) Raíz cuadrada 7.1. Raíz cuadrada exacta Laque, al elevarlo al cuadrado, obtenemos el número raíz cuadrada exacta de un número a es otro número a. b tal El radicando es el número^ a^ =^ b a , cuando,^ b^2 =^ a quees el símbolo de la raíz y decimos b es la raíz cuadrada de a. Símbolode raízRadicando^ F^ a^ F= b FRaíz Los números con raíz cuadrada exacta son cuadrados perfectos. eJeMPlo19. Calcula las raíces de estos cuadrados perfectos. a) b) 14 == 1, ya que 12, ya que 2^22 == 14 f )g) 3649 = = 6, ya que 6 7, ya que 7 22 = (^) = (^36 ) c) d) 916 = = 3, ya que 3 4, ya que 4 2 2 = (^) = 9 16 h)i ) 6481 = = 8, ya que 89, ya que 9 2 2 == 6481 e) 25 = 5, ya que 5^2 = 25 j ) 100 = 10, ya que 10 2 = 100 7.2. Si el radicando no es un cuadrado perfecto, la raíz cuadrada es entera. Raíz cuadrada entera La cuyo cuadrado es menor quediferencia entre el radicando raíz cuadrada entera de un número aa. El y el cuadrado de la raíz entera resto (^) de la raíz entera es la a es el mayor número b. b Resto = a - b^2 ACtIvIDADes 32 PRACtICA. Calcula estas raíces cuadradas exactas. 33^ a) APlICA.^121 Halla el valor deb)^144 c) a^ en estas raíces10 000^ d)^ 14 400 cuadradas no exactas. a) a. 5 y el resto es 7 b)c) aa .. 7 y el resto es 3 8 y el resto es 5
34 APlICA. el número 15? ¿De qué número es raíz cuadrada 35 APlICA. área es 196 cm ¿Cuánto mide de lado un cuadrado cuyo 2? (^36) que acabe en 2? ¿Y en 3? ¿Y en 7? ReFleXIoNA. ¿Existe algún cuadrado perfecto 37 ReFleXIoNA. sea 6? ¿Cuántos números cumplen esta condición? ¿Existe algún número cuya raíz entera
Calcula la raíz cuadrada de estos números.^ Calcular la raíz cuadrada de un número a) 169 b) 39 Pasos a seguir1. Se busca el mayor número cuyo cuadrado es menor o igual que elradicando. a)^111216922 = (^) =^ (^121) 144 "" 121 144 << (^169) 169 b)^562 239 = (^) = (^25) 36 "" 25 36 < < (^3939) 13 2 = 169 72 = 49 " 49 > 39
2. Si el cuadrado de ese número es igualal radicando, la raíz cuadrada es exacta.a) 169 = 13, ya que 13 (^2) = 169. 3. Si el cuadrado es menor, ese númeroes la raíz entera. Y la diferencia entre el número y el cuadradode ese número es el resto.
b) 66 es el mayor número cuyo cuadrado 2 = (^36) " 36 < 39 es menor que 39.La raíz entera es 6 y el resto es: 39 - 6 2 = 39 - 36 = 3
sABeR HACeR
Si intentamos hallar con lacalculadora la raíz cuadradade un número que no es un cuadrado perfecto, obtendremosun número decimal. El número que aparecea la izquierda del punto es la raíz cuadrada entera. 187 = (^) 13, La raíz entera de 187 es 13. 38 Calcula la raíz cuadrada entera y el resto de estosnúmeros. a) 125b) 96 c) 243d) 72 e) 160f ) 355 39 Completa en tu cuaderno. a) 85 = 42 + 4 b) c) 7793 = = 442 2 ++ (^44) d) e) 138154 = = 442 2 ++ (^44) 40^ f )Halla el radicando y escríbelo en tu cuaderno.^ 2 347^ =^42 +^4 a) b) 44 .. 69 y restoy resto (^89) c) d) 44 .. 813 y resto y resto (^615) e) 4. 30 y resto 26
41 Luis ha calculado¿Ha realizado correctamente los cálculos? 292 y afirma que el resto es 36. 42 Entre todas estas raíces hay una que tiene distintoresto que las demás. ¿Cuál es? a) b) 12452 d)e) 173403 43^ c)¿Cuál es el número de monedas que hay en el lado^228 f )^199 de un cuadrado formado por las siguientesmonedas? 44^ a) 64Encuentra un número natural comprendido entre^ b) 121^ c) 144^ d) 324 100 y 121, cuya raíz cuadrada entera tenga porresto: a) 8 ¿Cuál es el mayor resto que se puede tener en este b) 10 c) 12 d) 15 45 caso?Escribe todos los números que tengan como raíz entera 5. ¿Cuántos números hay? ¿Cuántosnúmeros tendrán como raíz entera 6? ¿Y 7?
ACtIvIDADes
La raíz cuadrada de un númeroy elevar al cuadrado ese número son operaciones inversas.Si 49 = 7 entonces 7 (^2) = 49 Si 7 2 = 49 entonces 49 = 7
16 17
Números naturales 1
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Polígonos. Triángulos^10 SABER • Polígonos. Elementos. Ángulos
- Triángulos. Relaciones entreen los polígonos sus elementos. Rectas y puntosnotables
- Teorema de Pitágoras SABER HACER
- Dibujar un triángulo conocidala medida de sus lados
- Determinar un lado desconocidoen un triángulo rectángulo
El teodolito Un teodolito es un instrumento para medir ángulos, con el que podemosrealizar mediciones a cierta distanciae incluso en lugares inaccesibles. Con un teodolito María y Juan han medidolos ángulos que forman con Andrés.
J A M
- ¿Qué tipo de triángulo forman María,Juan y Andrés?
- ¿Cuál es el ángulo que forma Juan conAndrés y María?
VIDA COTIDIANA
Siglo III a.C. La dioptra es uninstrumento astronómicoy topográfico. Consiste en un tubo de observacióncon un visor en ambosextremos unido a un soporte.Euclides, matemáticoy astrónomo griego, la utilizó para medir lasposiciones de las estrellas.
150 a.C. Ptolomeo, hacia el año 150 a.C.descubrió el cuadrante aplicándoloa observaciones astronómicas. (^1571) El teodolito fue inventado por LeonardDigges y aparece descrito en su libropóstumo Pantometría. (^1920) El ingeniero suizoEnrique Wild lograconstruir círculos graduados sobrecristal consiguiendoasí teodolitos de menor pesoy tamaño, y mayorprecisión, lo quehace que se puedan tomar las lecturascon más facilidad.
Cómo se clasifican rectas y ángulos Posiciones relativas de dos rectas Paralelas Secantes
Ángulos^ No se cortan^ Se cortan en un punto Llamamos ángulo a la abertura formadapor dos semirrectas que parten de un mismo punto. Los ángulos pueden ser: Vértice^ Lado Agudo Recto Obtuso Llano Mide menosde 90°. Mide 90°. Mide más de 90°y menos de 180°. Mide 180°. EJEMPLO Las manecillas de un reloj forman un ángulo que va variando a medida que pasan los minutos. 101112 9 65423 8 71 101112 9 65423 8 71 101112 9 65423 101112 8 71 9 65423 8 71 101112 9 65423 8 71 101112 9 65342 101112 8 71 9 65342 8 71 101112 9 65342 8 71 101112 9 65423 8 71 A las 3 se formaun ángulo recto. un ángulo agudo.A la 1 se forma A las 6 se formaun ángulo llano. ACTIVIDADES (^1) Di cómo es el ángulo que forman las agujas del reloj a todas 2 las horas en punto.¿Las manecillas de un reloj forman rectas paralelas o secantes? Cómo se calculan raíces cuadradas La raíz cuadrada de un número es otro número que elevado al cuadrado es igual al primero: a = b (^) " b^2 = a EJEMPLO 4 = 2 porque 2 (^2) = 4 16 = 4 porque 4 (^2) = 16 ACTIVIDADES 3 Halla las raíces cuadradas de los siguientes números. a) 36 b) 49 c) 64 d) 81 e) 100
CLAVES PARA EMPEZAR
Perilla de alta-bajamagnificación magnificaciónLente de baja
(^1787) Se construyeel primer teodolitopor el óptico y mecánicoRamsden.Los antiguos instrumentoseran demasiadopesadosy la lectura complicada, largay fatigosa.
Mira
Lente de altamagnificación
Nivel
Plataforma Tornillo de ajustedel plato de nivelaciónTornillo (^) Tornillo de elevación
Tornillo del acimut
Llave tipo hélice
Vernier
Objetivo Tornillo de enfoque
Disco verticalde ángulos
Círculo vertical
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Se especifican los contenidos ( Saber ) y los procedimientos ( Saber hacer ) de la unidad.
Vida cotidiana te propone un ejercicio sencillo, relacionado con la imagen de entrada.
Las Claves para empezar te permitirán recordar aquellos contenidos que te serán útiles para la unidad.
Comenzamos la unidad en torno a la historia, utilidades y curiosidades de algún invento.
Nuestra propuesta para Saber son unos textos claros y estructurados. Los Ejemplos te ayudarán a afianzar esos saberes.
Junto a los textos encontrarás informaciones complementarias. Además, en Resuelve el reto pondremos a prueba tus conocimientos, y tu razonamiento matemático.
En la parte Saber hacer aprenderás, paso a paso, los procedimientos necesarios para tu desarrollo matemático.
Las actividades te ayudarán a practicar, aplicar y reflexionar sobre los conocimientos. Las actividades que acompañan a Saber hacer tienen como objetivo afianzar y dominar estos procedimientos.
Competencia matemática, científica y tecnológica Comunicación lingüística
Competencia social y cívica Competencia digital
Conciencia y expresión artística Aprender a aprender
Iniciativa y emprendimiento
Introducción a la unidad: dos elementos básicos, una base sólida y una motivación adecuada.
Páginas de actividades finales: una forma práctica de aprender a aprender.
Páginas de competencia matemática: un paso más en la aplicación de los contenidos aprendidos.
Números naturales 1
149 En España los números de teléfono tienen nueve dígitos, excepto los números especiales como el 112, número únicopara emergencias; el 091, teléfono de la policía... Aunque hay diferencias entre las numeraciones de los teléfonos fijos y los móviles: • Los números de la red fija empiezan por 9, excepto
- Y los números de telefonía móvil comienzan por 6 o 7.^ dos operadoras que también ofrecen el 8.
En cierta ocasión, la madre de Marta tuvo un accidentedoméstico: se le derramó el café sobre la agenda y se le borraron algunas cifras de sus números de teléfono. • Hoy necesita llamar al Centro Médico. ¿Cuáles son los posibles números del Centro Médico?
- Si el número del Centro Asociado tenía todas las cifrasdistintas, ¿cuáles son los posibles números?
- El número del carpintero era un móvil que terminaba en 0 o en 1. ¿Cuáles son los posibles númerosdel carpintero?
En la vida cotidiana
Centro Médico 958543 0 Centro Asociado 95437 06 Carpintero 6573400
COMPETENCIA MATEMÁTICA OBJETIVO: Elegir una consola de videojuegos Una vez formados los grupos, seguid el siguiente proceso: 1.ª Fase.
- Buscad información sobre el tipo de consolas existentes en el mercado y haced una lista de sus características esenciales: tipo de almacenamiento, capacidad de memoria, sistema de acceso a internet, unidades de lectura,precio…
- Haced una lista de vuestros videojuegos preferidos y consultad para qué dispositivos existen. 2.ª Fase. • Analizad la diferencia de precios entre las distintas consolas y la posibilidad
- Determinad qué tipo de consola tienen vuestros amigos y la posibilidad de^ de poder comprarla de segunda mano.
- Analizad las distintas funciones de los mandos de cada consola y sus^ intercambiar juegos con ellos o poder jugar con ellos online. 3.ª Fase.^ accesorios.
- Poned en común la información recogida y acordad el tipo de consola que responde mejor a vuestros intereses.
- Realizar un informe que recoja las conclusiones a las que habéis llegado.
PRoYecto finAL. Trabajo cooperativo
Cubos (^154) En este dibujo puedes ver seis dados, etiquetados desde la (a) a la (f). Hay una regla que cumplentodos los dados: La suma de los puntosde dos caras opuestas de cada dado es siempre siete. Escribe en cada casilla de la tabla siguiente el númeroque tiene la cara inferior del dado correspondienteen el dibujo. (a) (b) (c) (d) (e) (^) (Prueba PISA 2003) (f )
Dados (^155) Ahora se han colocado los dados como en la imagen; los tres dados se han colocado uno encima del otro. como puedes observar, el dado 1 tiene cuatro puntosen la cara de arriba. Recuerda la regla del ejercicio anterior: La suma de los puntosde dos caras opuestas decada dado es siempre siete. ¿cuántos puntos hay en total en las cinco caras horizontales que no se pueden ver (cara de abajo del dado 1, caras de arribay de abajo de los dados 2 y 3)? (Prueba PISA 2003)
150 completa en tu cuaderno las cifras que faltan para que las siguientes igualdades se cumplan. a) b) 53 4 439 72 + - 742 4 4 ==5 5172 947 c) d) 6 453 987? 4 - (^67 4) = (^8) 25 662 = 5 465 151^ e)Razona si las siguientes igualdades son ciertas o no.^24 4?^23 =5 635 a) b) (^) ` 3 29 2 + j (^24) = 2 = 9 23 + 4 c) d) ( 24 5 +? 541 ) (^2) == 2 5 2 +? 321 e) f ) (^9 16) - = 32 + 1 = 9 - ( 3 + 1 )
152 Pon los 20 primeros números como suma de, a lo más, cuatro números al cuadrado. Por ejemplo: 7 = 22 + 1 2 + 1 2 + 1 2 153 Utiliza la calculadora para encontrar un número que tenga las mismas propiedades que el número 24.
- Ser anterior a un cuadrado perfecto (25).• Su doble más 1 es otro cuadrado perfecto: Ensaya con los números anteriores a los cuadrados^2?^24 +^^1 =^^49 perfectos. Por ejemplo, 40anterior a este cuadrado perfecto es 1 599: 2 = 1 600; el número 562 =^2 3 136^?^ 1 599 <^ + 3 199^^1 = <^ 3 1993 249 = 57 2 El número 3 199 no es un cuadrado perfecto; por tanto, 1 599 no cumple la propiedad que estamos buscando.
formas de pensar. Razonamiento matemático Pruebas PiSA
Dado 1 Dado 2 Dado 3
(a) (d)
(b) (e)
(c)
(f )
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En la vida cotidiana es una actividad relacionada con el invento inicial, donde podrás trabajar con algunos contenidos de la unidad.
La unidad finaliza con las Pruebas PISA. Estas pruebas internacionales pretenden comprobar tu aprendizaje competencial y conviene que las conozcas.
El Proyecto final te plantea objetivos que antes o después encontrarás en tu vida diaria. Con él mejorarás tus competencias para el trabajo cooperativo.
Con las Formas de pensar pondremos a prueba tu razonamiento matemático.
ACTIVIDADES FINALES Rectas, semirrectas y segmentos 53 Copia en tu cuaderno, nombra las semirrectas e indica qué segmentos se forman. a) (^) A B C D b) A BC c) B^ A C DE d) AD BC 54 Dibuja en tu cuaderno dos rectasy un punto P que no pertenezca a ellas. r y s secantes, a) Traza otra rectaa r pero no a s. t que pase por P y que sea secante b) Traza otra recta a s pero no a r. v que pase por P y que sea secante c) Traza otra rectaa r y s. w que pase por P y que sea secante 55 Observa el plano y contesta. c/ Verde c/ Añil c/ Roja
c/ Azulc/ Blanco c/ Amarilloc/ Arco Iris Si consideras las calles como líneas rectas: a) ¿Qué calles son paralelas a la calle Arco Iris? b) ¿Qué calles son perpendiculares a la calleArco Iris? c) ¿Cuáles son secantes a la calle Arco Iris?d) ¿Cómo son entre sí las calles Añil y Verde? e) ¿Cómo son entre sí las calles Roja y Añil?
56 Dadas dos rectas a) ¿Puedes trazar una recta perpendicular a r y s que son secantes: r y s a la vez? 57 b) ¿Y una paralela a ambas rectas?Considerando dos rectas r y s perpendiculares, traza una recta a) ¿Cómo son r l paralela a r l y s l entre sí? r y otra s l paralela a s. b) ¿Cómo sonc) ¿Cómo son r l r y y ss l entre sí? entre sí? 58 Dibuja tres rectas,de estas condiciones. r , s y t , que cumplan cada una a) No tienen ningún punto en común.b) Tienen un punto en común. 59 c) Tienen un punto en común dos a dos.Sean r y s dos rectas paralelas y t una recta secante a ellas. Seanrespectivamente. A y B los puntos de corte de t con r y s , a) Traza la mediatriz a los puntos de corte de m del segmento m con r y AB s , respectivamente.. Llama A l y B l b) Traza las mediatrices AA l y BB l. m l y m m de los segmentos c) Indica la posición relativa de m l y m m.
60 Calcular la distancia entre una recta y un punto Observa el dibujo y halla la distancia del punto a la recta r. P primero traza la recta perpendicular a. Con ayuda de una regla y una escuadra se r que pase por P , esta recta corta a r en un punto que llamamos Q.
segundo PQ , esa medida es la distancia del punto. Con la regla graduada, se mide el segmento P a la recta r.
Q
P r
SABER HACER P r
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81 Un globo sonda mide la temperatura de la atmósferaa distintas alturas. Se comprueba que, cada 200 m de ascensión, la temperatura disminuye 1 ºC. a) Escribe la expresión algebraica. 82 b) ¿Cuánto baja la temperatura si subimos 1 000 m?La tabla siguiente muestra el precio de los bolígrafos en función del número de bolígrafos que compramos. Bolígrafos 1 2 3 4 5 6 7 8 Completa en tu cuaderno la tabla y escribe la^ Precio (€)^ 0, 83 expresión algebraica que relaciona las dos variables.En un partido de baloncesto se hace una tabla con los puntos por equipo. Antes del final del 2.º cuarto tenemos: Minuto 4 6 8 10 12 14 16 Equipo Equipo A B (^106 128 1514 1818 2018 2224 ) Dibuja las gráficas de los equipos y haz un resumen delpartido.
Problemas con funciones 78 La siguiente tabla refleja el número de visitantes a un blog de Internet durante los primeros 10 días del mes. Día 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 a) ¿Es una función?^ Visitas^65 53 55 70 75 87 88 95 102 b) ¿Se puede expresar mediante una expresión algebraica?c) Dibuja la gráfica. 79 Las manzanas se venden a 0,85 €/kg. a) Escribe la expresión algebraica que relaciona b) ¿Cuánto dinero cuestan 6,5 kg de manzanas?el coste (^ y^ ) con la cantidad de kilos ( x ) comprados. 80 Un automóvil circula a 115 km/h. a) Escribe la expresión algebraica que relaciona el espacio recorrido por el vehículo (del tiempo empleado en recorrerlo ( (^) xy ) en función). b) Realiza su representación gráfica.c) ¿Cuánto tiempo tardará en recorrer 805 km?
Funciones y gráficas 13
Coordenadas cartesianas 1 Señala las coordenadas de estos puntos. A C B EG DF
Y (^11) X
Funciones 2 Una relación entre números enteros se expresa de la siguiente manera: «A cada número enterolo relacionamos con su doble más una unidad». Escribe la expresión de la función y completaen tu cuaderno la tabla. x y (^) - 2 - 1 0 33 7 10
3 Dada la función a) Haz una tabla de valores. y = - 2 x + 5: b) Represéntala gráficamente.c) ¿Pertenece el punto (3, - 1) a la función? Interpretación de gráficas 4 La gráfica representa el paseo que ha dado Julio: ha salido de casa, ha ido a comprar y ha regresado.
Distancia (km) O (^1) Tiempo (h) 2 3 4
(^765) (^432) 1 a) ¿Qué variables están representadas?b) ¿Cuánto tiempo ha durado el paseo? c) ¿Cuál es la distancia más lejana a la que ha ido?d) ¿Cuándo ha caminado más rápido, a la ida e) ¿Se ha parado en algún momento? ¿Cuándo?o a la vuelta?
DEBES SABER HACER
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Nuestras Actividades finales están secuenciadas para que aproveches de la mejor forma posible la aplicación de los contenidos estudiados.
Cada actividad te informa de la dificultad que tiene.
Los Saber hacer te ayudarán a seguir profundizando en los procedimientos.
Para finalizar, Debes saber hacer. Esta autoevaluación básica te permitirá comprobar si has alcanzado los objetivos mínimos de la unidad.
Las actividades finales terminan con una gran cantidad de Problemas que te permitirán adaptar tus conocimientos a contextos reales.
La fotografía En las primeras cámaras fotográficas, para fotografiar un objeto se necesitaba que estuviera más de 30 minutos totalmente quieto. En las cámaras actuales esto lo regula la velocidad de obturación. Con velocidades superiores a 1/60 segundos podemos conseguir congelar el movimiento de los objetos en movimiento. Sin embargo, con velocidades más lentas, inferiores a 1/60 segundos, conseguimos imágenes movidas.
- Con una velocidad de 1/30, ¿podré congelar el movimiento de un coche que circula por una calle?
VIDA COTIDIANA
Fracciones^4
SABER
- Fracciones. Fracciones equivalentes
- Comparación de fracciones
- Operaciones con fracciones
SABER HACER
- Expresar una fracción impropia como la suma de un número natural más una fracción propia
- Reducir fracciones a común denominador
- Calcular la fracción irreducible
- Resolver operaciones combinadas con fracciones
1841 W. Talbot desarrolló un procedimiento fotográfico que consistía en utilizar un papel negativo a partir del cual se podía obtener un número ilimitado de copias.
1947 Edwing H. Land, un inventor estadounidense, desarrolla el procedimiento fotográfico conocido como Polaroid, que permite obtener fotos a los pocos minutos de haber expuesto la película.
1969 Es el inicio de la carrera digital: W. Boyle y G. Smith diseñan la estructura del sensor fotográfico CCD. Pero no es hasta 1990 cuando aparece la primera cámara digital comercial.
Obturador
Sensor
Diafragma
Procesador
1861 La primera foto en color fue obtenida por el físico J. Clerk Maxwell, pero no es hasta 1907 cuando aparece el primer sistema comercializado.
Una fracción es una expresión
b
a
, donde a y b son números
naturales llamados numerador y denominador , respectivamente.
1.1. Interpretación de una fracción
- Fracción como parte de la unidad. Su denominador representa el
número de partes iguales en que se divide la unidad y su numerador,
el número de partes que se toman.
- Fracción como cociente de dos números. Para hallar su valor, se
divide el numerador entre el denominador.
- Fracción como operador de un número. Para calcular su valor, se
multiplica el número por el numerador y se divide entre el denominador.
1.2. Fracciones propias e impropias
Una fracción es propia si su numerador es menor que su
denominador. Es impropia si su numerador es mayor
que su denominador.
Fracciones
1
EJEMPLO
1. Expresa estos enunciados mediante una fracción. a) En un huerto que está dividido en 9 partes hay 4 sembradas. La fracción 9
(^4) representa la parte sembrada del huerto.
b) Repartimos 20 € entre 5 personas.
La fracción 205 representa el dinero que le corresponde a cada persona. Su valor es 20 : 5 = 4 €.
c) En una oficina, (^5)
de sus 40 trabajadores llevan gafas.
Actúa como operador "
(^2) de 40 =? 5
(^40 2) = 16 llevan gafas.
ACTIVIDADES
(^1) PRACTICA. Expresa los enunciados con una fracción. a) 7 de cada 10 estudiantes aprueban en junio. b) De 25 encuestados, 21 respondieron afirmativamente. c) De una producción de 10 000 vehículos, las tres cuartas partes se exportan al extranjero. d) Mi abuelo reparte 12 caramelos entre sus 4 nietos.
(^2) APLICA. Clasifica las fracciones del ejercicio anterior en propias e impropias. (^3) REFLEXIONA. Carolina lee un libro de 416 páginas. Hasta ahora ha leído tres octavas partes del libro. a) ¿Cuántas páginas ha leído? b) ¿Qué fracción del total del libro le queda por leer?
Una fracción con sus dos términos iguales es igual a 1.
9 9
Si es una fracción propia, su valor es menor que la unidad.
2 7
Si es impropia, su valor es mayor que la unidad.
3 2
Dos fracciones
b
a
y
d
c
son equivalentes , y se escribe
b
a
c
d
si se cumple que a? d = b? c.
En una fracción, al multiplicar o dividir el numerador y el denominador
por un número distinto de cero, se obtiene otra fracción equivalente.
Fracciones equivalentes
2
EJEMPLO
2. Determina si los siguientes pares de fracciones son equivalentes.
a) 8
y 3 6?^4 =^24 6? 4 = 8? 3
8? 3 = 24 "^ "
(^2) Son equivalentes.
b) 5
y 4 2?^7 14 2? 7? 5 4!^5
? = 20 "^ "
(^2) No son equivalentes.
EJEMPLO
3. Comprueba que 82 es equivalente a la fracción resultante de multiplicar por 3 su numerador y denominador. Multiplicamos por 3 numerador y denominador:
"^ =
Comprobamos que las fracciones son equivalentes:
2 · 24 = 48 = 8? 6 " 82 y 246 son equivalentes.
2.1. Reducción a común denominador
Reducir a común denominador dos o más fracciones consiste
en obtener otras equivalentes con igual denominador.
(^10) PRACTICA. Indica cuáles son equivalentes.
a) 3
y 2 b) 5
y 6 c) 15
y^3
(^11) APLICA. Calcula el valor de x para que sean equivalentes.
a) x 3 6
= 8 b) x
= 6 c) x 4
(^12) REFLEXIONA. Escribe tres fracciones equivalentes en cada caso. a) Un cuarto de hora b) Una semana al mes
(^13) REFLEXIONA. Si el numerador de una fracción lo dividimos por un número, y el denominador lo multiplicamos por el mismo número, ¿son equivalentes las fracciones? Pon un ejemplo.
ACTIVIDADES
Dos fracciones equivalentes representan la misma cantidad.
y
son equivalentes.
Reducir fracciones a común denominador
Reduce a común denominador las fracciones 7 12
y.
Pasos a seguir
1. Calculamos el m.c.m. de los denominadores de las fracciones.
2
(^3) m.c.m. (10, 12) = 2 2? 3? 5 = 60
2. Dividimos el m.c.m. entre el denominador de cada fracción, y el resultado obtenido lo multiplicamos por el numerador y el denominador de la fracción. Las fracciones resultantes son fracciones equivalentes a las primeras y tienen igual denominador.
F F
?
Las fracciones 6042 y 6040 son equivalentes a 170 y 128 , respectivamente, y tienen el mismo denominador.
SABER HACER Para calcular el m.c.m. de dos o más
números primero los descomponemos en factores. Después elegimos los factores comunes y no comunes con el mayor exponente.
(^14) Reduce a común denominador las siguientes fracciones.
a) 4
(^7) y
b) 8
y^9
c) 96 144
(^12) y 9
(^15) Reduce estos pares de fracciones a común denominador.
a) 2
y 5 f ) 6
y^7
b) 6
(^3) y g) 8
y^1
c) 5
y 2 h) 6
y^2
d) 20
y 7 i) 4
y^1
e) 9 4
y j) 7
y^3
(^16) Reduce a común denominador estos conjuntos de fracciones.
a) , 4
y c) 4 ,
y
b) , (^6)
y d) 8 , (^30)
y
(^17) Reduce a común denominador las siguientes fracciones.
a) , 5
y^7
b) , 2
y
c) 15 ,
y
d) 27 , 209 y 307
(^18) Reduce las siguientes fracciones a común denominador.
a) , 7
y 1 b) , 13 8
y^1
19 Reduce a común denominador estos grupos de fracciones.
a) , , 4
y^7
b) , , 3
y^5
c) , , , 5
y^1
(^20) Reduce estas fracciones a común denominador.
, , , , , 5
y^32
ACTIVIDADES
Fracciones 4
Calcular la fracción irreducible
Halla la fracción irreducible de 70
Pasos a seguir
1. Calculamos el m.c.d. del numerador y el denominador de la fracción.
=^2
(^3) m.c.d. (28, 70) = 2? 7 = 14
2. Dividimos los dos términos de la fracción entre el m.c.d. (^) :
=^28 14 =
F
Fracción irreducible
SABER HACER Para calcular el m.c.d. de dos
o más números primero los descomponemos en factores. Después elegimos los factores comunes con el menor exponente.
Si el m.c.d. es 1, la fracción no se puede reducir.
37 "m.c.d.^ ( ,3 7^ )^ =^1
(^7) no se puede reducir.
(^7) es una fracción irreducible.
(^25) Halla la fracción irreducible de las siguientes fracciones.
a) 45
(^25) c) 15
(^3) e) 2 48
b) 21
(^14) d) 45
(^9) f ) 15
(^26) Determina la fracción irreducible de cada una de las siguientes fracciones.
a) 26
(^40) c) 27
(^12) e) 55
b) 45
(^12) d) 2 18
(^0) f ) 45
(^27) Indica cuál de las siguientes fracciones tiene como fracción irreducible a 5
a) 20
(^9) c) 10
(^6) e) 35
b) 12
(^20) d) 40
(^21) f ) 2 45
(^28) Determina cuáles de las siguientes fracciones son irreducibles.
a) 35
(^25) d) 15
(^9) g) 26
b) 21
(^14) e) 45
(^28) h) 39
c) 5
(^3) f ) 12
(^5) i) 9
(^29) Entre todas estas fracciones, haz corresponder cada fracción con su fracción irreducible.
a) (^10)
c) (^12)
e) (^20)
g) (^10)
b) (^3)
d) (^5)
f ) (^4)
h)
(^30) Utiliza cada secuencia de números para crear dos fracciones irreducibles en cada caso. a) 2, 3, 6 e) 3, 6, 7, 9, 10 b) 3, 5, 10 f ) 3, 5, 6, 9, 10 c) 5, 6, 8, 9 g) 4, 5, 8, 10, 11 d) 2, 4, 6, 9 h) 2, 3, 4, 5, 8, 9
(^31) Simplifica hasta llegar a la fracción irreducible, indicando todos los pasos.
a) 140
(^120) c) 57
b) 275
(^210) d) 198
32 Simplifica estas fracciones hasta encontrar la fracción irreducible.
a) 2? 3
2
6 d) 5? 3
2 2
4 g) ?
5 4
4 3
b) 2? 3
3
2 e) ?
3
3 h) ??
2 3
4 2
c) ? 3
4 f ) ?
3 2
5 3 i) ?
2
2
ACTIVIDADES
Fracciones 4
Comparación de fracciones
3
EJEMPLOS
6. Compara las fracciones 3 7
y.
Como tienen el mismo denominador y 5 2 3 "^57273
7. Compara las fracciones (^9)
y.
Como tienen el mismo numerador y 9 2 3 9
EJEMPLO
8. Compara las fracciones
y.
Reducimos a común denominador: m.c.m. (6, 8) = 2 3? 3 = 24
= =^21
Comparamos los numeradores: (^24)
3.1. Fracciones con el mismo denominador o con el mismo
numerador
- Cuando dos fracciones tienen igual denominador, es mayor la
que tiene mayor numerador.
- Cuando dos fracciones tienen igual numerador, es mayor la
que tiene menor denominador.
3.2. Fracciones con distinto denominador y numerador
Cuando dos fracciones tienen diferentes numeradores y diferentes
denominadores, para compararlas se reducen a común
denominador. Entonces, es mayor la de mayor numerador.
(^33) PRACTICA. Ordena de menor a mayor.
a) , , , 2
(^5) b) , , , 15
(^34) APLICA. Completa en tu cuaderno con 1 , 2 o =.
a) 2
d b)^3
d c)^4
d
(^35) REFLEXIONA. Escribe en tu cuaderno una fracción comprendida entre estas fracciones.
a) 5
d c)^9
d
b) 7
d d)^8
d
ACTIVIDADES
<
RESuELVE EL RETO
Considera las fichas de dominó como fracciones de numerador menor o igual que el denominador. Quitando la blanca doble, ¿cuál sería la ficha de mayor valor? ¿Y la menor?
Multiplicación y división de fracciones
5
5.1. Multiplicación de fracciones
Para multiplicar fracciones se multiplican
sus numeradores y se multiplican sus
denominadores.
b
a
d
c
d
a
b
c
EJEMPLO
11. Calcula.
a) ?
(^4) = = = b)? ?
F
Simplificamos
EJEMPLOS
12. Calcula la fracción inversa.
a) 38
Fracción inversa
" 38 b) 7 = 17
Fracción inversa
13. Calcula.
a) :? 3
(^5) = = b)? ?
5.2. División de fracciones
La fracción inversa de una fracción es otra fracción que tiene
por numerador el denominador de la primera fracción y por
denominador, su numerador.
Fracción inversa de
b
a
a
b
"
Para dividir fracciones multiplicamos
la primera por la inversa de la segunda.
b
a
d
c
b
a
c
d
Otra forma de dividir dos fracciones es multiplicando sus términos en cruz. a b
c d
a · d b · c
F F
ACTIVIDADES
39 PRACTICA. Realiza las siguientes operaciones.
a) 4?
b) 9 :
c) :
d) 10? (^9)
(^40) APLICA. Calcula.
a) 3? 2
(^3) b) : 5 4
(^7) c) 4 : (^)? 9
(^1) d)? : 15
41 REFLEXIONA. Completa las siguientes multiplicaciones y divisiones en tu cuaderno.
a)? 8
d = 3 c) :
=^9
d
d
b) : 12 7 24
d d = 35 d) :
d = 25
d
NO OLVIDES
b
a b
a
n n
n
3
3
3 $ $
Es decir: =
e
d
o
n
Realizar operaciones combinadas con fracciones
Resuelve esta operación: + : 2
- e + - o e - 1 o =
Pasos a seguir
1. Realizamos las operaciones
que hay dentro de los paréntesis. "
4 m.c.m. (2, 5, 10)^ =^^2?^5 =^^10
+ - = + - = + - =^9
(^2) m.c.m. (1, 3) = 3
- = - = - = - =^5
2. Calculamos las multiplicaciones y divisiones de izquierda a derecha.
- e^ + - o^ + e - o = - +^5 =
= - + = - + = - +^2
3. Calculamos las sumas y restas
de izquierda a derecha.? "
4 m.c.m. (2, 10, 5)^ =^^2?^5 =^^10
- +^2
= - + = - + =^1 =
SABER HACER Es importante respetar el orden
de las operaciones para obtener el resultado correcto.
42 Calcula.
a) 116 - e 41 + 61 o h) 35 :^ e 91 + 61 o+ 94? 23
b)? 7
e + o 6 i) :^? 4
c) : 9
e -^1 o j)? : 3
d) 2 : 2
e - o e +^1 o k)? : 3
+ + -^7
e) : 3
e + 1 o - 2 l )? : 15
f )? 3
e + o^1 + 7
g)? 10
43 Encuentra los errores y corrígelos.
a)? ?
- = -^4
b) 3 :^ :
e (^) + o= +
c)? :^ : ?
e o e - o
(^44) Calcula el resultado de estas operaciones y comprueba que los resultados son distintos según se coloquen los paréntesis.
a) 2? : 5
b) 2? : 5
e - o +^5 d) 2? : 5
- +^5
ACTIVIDADES
Fracciones 4
(^61) Completa en tu cuaderno las expresiones para que las fracciones sean equivalentes.
a) (^3)
d d
c)
d
d
b) 5 15
d = 9 =^18
d
d) 9
d
d
(^62) Halla la fracción irreducible.
a) (^75)
c) (^60)
e) (^49)
b) 120
(^48) d) 99 121
f ) 72
(^63) ¿Cuántas fracciones irreducibles son equivalentes entre sí? Razona la respuesta.
Comparación de fracciones
64 Ordena de menor a mayor.
a) 56 , 53 , 55 , 54 c) 196 , 156 , 236 , 186
b) 9 , , ,
d) 14 , , ,
(^65) Ordena de menor a mayor cada grupo de fracciones, simplificando antes, siempre que sea posible.
a) 4 , , ,
c) 3 , , ,
b) , , , 9
(^4) d) , , , 12
Comparar un número y una fracción
(^66) ¿Es 3 menor que 2
primero. Se expresa el número como una fracción con el mismo denominador que la fracción dada. 3? 2
= =^6
segundo. Se comparan las fracciones.
2
< <^7
SABER HACER
(^67) Indica cuáles de las siguientes fracciones son mayores que 5: a) 7
(^36) b) 16
(^65) c) 11
(^45) d) 6
68 Indica cuáles de las siguientes fracciones son menores que 3:
a) 8
(^35) b) 6
(^23) c) 7
(^17) d) 12
Fracciones equivalentes
(^57) Determina si los siguientes pares de fracciones son equivalentes. a) 4
y 20 d) 4
y^36
b) 37 y 4921 e) 32 y 94
c) 56 y 1530 f ) 87 y 6372
(^58) Calcula, para cada fracción, tres equivalentes por amplificación y otras tres equivalentes por simplificación. a) 36
(^72) b) 125
(^60) c) 40
(^100) d) 90
Calcular un término desconocido para que dos fracciones sean equivalentes (^59) Calcula el término que falta para que estas fracciones sean equivalentes. a) 12 2
y^6
d
b) 9
y d
primero. Se multiplican en cruz los términos de las fracciones.
a)??
d
" d
b) 9??
d d
segundo. Se resuelve la multiplicación.
a) 12? 2 = d? 6 " 24 =d? 6
b) 6? 3 = d? 9 " 18 =d? 9
tercero. Se busca el número que cumple la igualdad. a) Se busca un número que multiplicado por 6 dé 24.
d = 4
b) Se busca un número que multiplicado por 9 dé 18.
d = 2
SABER HACER
(^60) Completa en tu cuaderno las expresiones para que las fracciones sean equivalentes.
a) (^3)
d
d) (^21)
d
b) 56 8
=^7
d
e) 13 36
=^52
d
c) 2 6
d =^21 f )
d
Fracciones 4
ACTIVIDADES FINALES
Operaciones con fracciones
(^69) Opera y simplifica cuando sea posible.
a) 9
- -^3
b) 3
+ -^4
(^70) Resuelve estas sumas y restas de fracciones.
a) (^3)
b) 4
- +^13
(^71) Efectúa estas operaciones.
a) 3 + 21 c) 283 - 5
b) (^9 )
(^72) Resuelve estas operaciones.
a) 2
+ -^2
b) 3
c) 4
- +^3
d) 2
- +^13
(^73) En las siguientes igualdades hay algunos errores. Encuéntralos y corrígelos.
a) (^3)
b) (^2)
c)
(^74) Realiza estas operaciones.
a) 5
b) (^4 2 )
c) 9
d) 5
e) 3
f ) 7
g) 6
(^75) Efectúa y simplifica cuando sea posible.
a) 23? 98 c) 59?^1011 e) 125? 6
b) 4?
d) 7?
f ) 8? 2
(^76) Calcula.
a) : 4
(^3) e) : 3
b) : 6
(^10) f ) : 5
c) 7 : 4
(^21) g) : 11
d) : 15
(^8 2) h) 1 : 2
(^77) Efectúa.
a)? 2
e 5 + 3 o c)? 2
e - o^1
b) 2 : 4
e + o 15 d) : 7
e -^1 o
(^78) Efectúa.
a) 5 :
e (^) - o (^) c) 3?
e (^) + o
b) e 54 + 101 o? 23 d) e 25 - 125 o:^203
(^79) Calcula.
a) 5?
b)? 5
-^9
c) 3 7?
d) : 9
+^9
80 Realiza estas operaciones.
a) 7
- +^3
b)? : 5
+^1
c) : 2
- +^7
d) : 5
- +^1
e) 7 :^?
f ) 2 :^ :
