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FORMULARIO ÁLGEBRA I
ÁLGEBRA Ing. Alfredo Vargas Oroza
a b 2 a^2 2 ab b^2 a b 3 a^3 3 a 2 b 3 ab^2 b^3
a b ^2 a^2 2 ab b^2 a b ^3 a^3 3 a 2 b 3 ab^2 b^3
a^2 b^2 ( a b )( a b ) a^4 b^4 ( a b )( a^3 a^2 b ab^2 b^3 )
a^3 b^3 ( a b )( a^2 ab b^2 ) ; a^3^ b^3 ( a b )( a^2 ab b^2 )
an^ bn ( a b )( an ^1 an ^2 b an ^3 b^2 ..... abn ^2 bn ^1 )
a b c ^2 2 ab 2 ac 2 bc a^2 b^2 c^2
a^4 b^4 a 2 2 ab b^2 a 2 2 ab b^2
a bn^ an nan ^ b nn an b nn n an b .. bn
( )^12233
5 5 4 3 2 2 3 4 5 1 ( 2 )( 3 )( 4 )( 5 )
( a b ) a ^5 ab ab ab ab b
n n m
m n n n n n n n m
n n
n m n m nm nm n n
xy x y xy x y x x x
x
x
x x x x x x x
1
ln( ab ) ln a ln b ; ln ax x ln a ; ln 1 0 ; ln e 1
b
n
a b n
b
a
a
a
b log
log
ln ln ln ; log
x
ln e b ln b x b e ;
x
log a b x b a
PROPOSICIONES
CONJUNCIÓN DISYUNCIÓN DISYUNCIÓN EXCLUSIVA
CONDICIONAL BICONDICIONAL NEGACIÓN CONJUNTA
LEYES DEL ALGEBRA DE PROPOSISIONES
LEYES DE IDEMPOTENCIA
p p p p p p
LEYES ASOCIATIVAS
( p q ) r p ( q r ) ( p q ) r p ( q r )
LEYES CONMUTATIVAS
p q q p p q q p
LEYES DE IDENTIDAD
p f p ; p v v ; p v p ; p f f
LEYES DE COMPLEMENTACIÓN
v f f v
p p v p p p p f
LEYES DE MORGAN
~ ( p q )~ p ~ q ~( p q )~ p ~q
p
^ Q
V V V
V F F
F F V
F F F
p Q
V V V
V V F
F V V
F F F
P q
V F V
V V F
F V V
F F F
p → Q V V V V F F F V V F V F
p ↔ Q V V V V F F F F V F V F
P ↓ q V F V V F F F F V F V F
COMPLEMENTO RELATIVO O DIFERENCIA
A \ B A B { x : x A y x B }
DIFERENCIA SIMÉTRICA COMPLEMENTO ABSOLUTO
A B ( A B )( B A ) AC^ x : x A
LEYES DEL ÁLGEBRA DE CONJUNTOS
LEYES DE IDEMPOTENCIA
A A A ; A A A
LEYES ASOCIATIVAS
A ( B C )( A B ) C ; A ( B C )( A B ) C
LEYES CONMUTATIVAS
A B B A ; A B B A
B A
B
A
A B \ A B
A B
A
AC
A
LEYES DISTRIBUTIVAS
A B C A B A C
A B C A B A C
LEYES DE IDENTIDAD
A U U A
A A A U A
LEYES DE COMPLEMENTO
A A U U
A A A A A
C C C C
C C
LEYES DE MORGAN
C C C
C C C
A B A B
A B A B
NÚMEROS COMPLEJOS
ADICIÓN Y MULTIPLICACIÓN DE NÚMEROS COMPLEJOS
a bi c di a b c d i
ab cd a cb d
SUSTRACCIÓN Y DIVISIÓN DE NÚMEROS COMPLEJOS
Sean z, w dos números complejos
1
^
z w
w
z
z w z w
Si w^ x yi entonces
i
x y
y
x y
x
w^12222
REPRESENTACIÓN TRIGONOMÉTRICA DE LOS NÚMEROS
COMPLEJOS Si establecemos un sistema de ejes cartesianos en el cual el eje y sirve para representar la parte imaginaria del número complejo, tenemos:
P(x+yi)
r
y r
x
θ
2 2
cos
sin
(cos sin )
z x iy
x r
y r
z r i
r x y z
a a tal que a ( a ) z
Ley asociativa de la multiplicación (a•b) •c=a•(b•c) Leyes distributivas a•(b+c)=a•b + a•c (b+c) •a=b•a+c•a ANILLO CONMUTATIVO Es aquel que cumple la Ley Conmutativa del producto, es decir: a b = b a ANILLO UNITARIO Es aquel que tiene neutro multiplicativo, es decir: a u = u a = a DIVISORES DE CERO Sea R un anillo con elemento neutro z Se dice que un elemento a ≠ z de R es un divisor de cero, si existe un elemento b ≠ z de R tal que: a b = z ; b a = z DOMINIO DE INTEGRIDAD Un anillo conmutativo, unitario sin divisores de cero es un Dominio de Integridad. Los anillos Z, Q, R, C son dominios de integridad CUERPO Un anillo F cuyos elementos no nulos forman un grupo multiplicativo, se llama cuerpo. Todo cuerpo tiene elemento unidad y todo elemento no nulo del cuerpo posee un inverso (simétrico multiplicativo); si la multiplicación es conmutativa, el cuerpo se dice conmutativo. Los axiomas que caracterizan a la estructura de un cuerpo son: (F, +) es un grupo abeliano. (F, -{0}, ۰) es un grupo abeliano. El producto es distributivo respecto a la suma.
PERMUTACIONES DE N COSAS TOMADAS DE r EN r
r
n P
= n(n-1)(n-2)………(n-r+1)
PERMUTACIONES DE N COSAS TOMADAS N A LA VEZ
n Pn n!
PERMUTACIONES CIRCULARES
1 1
n
Pn
Son aquellas en las que no existe primer ni último objeto y forman una figura cerrada, el número de ellas que se puede formar con n objetos viene definido por: 1
1 (^ 1)!
n
Pn n
^
permutaciones con repetición^1 ,^2 ...
n
Pn n
Se forman cuando un elemento se repite n1 veces, otro n2 veces y así sucesivamente
1 ,^2 ... 1 2
k! !.....!
n n n n k
n
P
n n n
COMBINACIONES DE n COSAS TOMADAS r EN CADA VEZ r
n C
n n (^) r r (^) r r
P
C
P
r n r
n
nCr
RELACIÓN ENTRE LAS RAÍCES Y LOS COEFICIENTES DE UNA
ECUACIÓN.
Para una ecuación de grado n y raíces a,b,c, …. ,k
x n^ p 1 xn ^1 p 2 xn ^2 ..... pn 1 x p ( x a )( x b )........( x k )
p 1 S 1 Suma de las raíces
p 2 S 2 Suma de las combinaciones de las raíces tomadas de dos en dos
p 3 S 3 Suma de las combinaciones de las raíces tomadas de tres en tres
pn ( 1 ) nSn Producto de las raíces.
DIVISIÓN SINTÉTICA DE HORNER
Si se desea dividir
4 x^3 20 x^2 23 x 6
entre x^ ^6
La comprobación de Horner permite verificar las raíces, -6 es raíz, por que el último residuo es cero, la primera línea contiene los coeficientes de la ecuación cúbica, la segunda los de la ecuación cuadrática, esto es equivalente a dividir
x x
= = =
Si f(x)=0 es de primera clase y grado impar tiene una raíz -1; de manera que f(x) es divisible entre x+1. si g(x) es el cociente, entonces g(x)=0 es una ecuación recíproca de la primera clase y de grado par. Si f(x)=0 es de segunda clase y grado impar tiene una raíz +1; de manera que f(x) es divisible entre x-1. si g(x) es el cociente, entonces g(x)=0 es una ecuación recíproca de la primera clase y de grado par. Si f(x)=0 es de segunda clase y grado par tiene una raíz +1 y otra raíz -1; de manera que f(x) es divisible entre x^2 -1. si g(x) es el cociente, entonces g(x)= es una ecuación recíproca de la primera clase y de grado par. Toda ecuación recíproca de grado par, puede ser reducida a una ecuación de grado mitad.
ECUACIONES CÚBICAS FÓRMULA DE CARDANO TARTAGLIA
La ecuación cúbica tiene la forma: x^3^ Px^2 Qx R 0
Eliminando el segundo término se reduce a: x^3 qx r 0 3 (^3 3) ; 3 3 27
q y z r y z
Si consideramos y^3 =t 1 ; z^3 =t 2 como raíces de una ecuación cuadrática podemos escribir: 3 (^2 ) 27
q t rt
Como x = y + z tenemos: (^1 3 ) 2 3 2 3
2 4 27 2 4 27
r r q r r q x
^ ^ ^
ECUACIONES DE CUARTO GRADO, SOLUCIÓN DE FERRARI
Sea la ecuación: x^4^ 2 px^3^ qx^2 2 rx s 0
Formamos la ecuación cúbica: 2k^3 -qk^2 +2(pr-s)k-p^2 s+qs-r^2 = que siempre tiene una raíz real que puede ser hallada por aproximaciones de Horner, conocido el valor de k se pueden hallar los valores de a y b de las ecuaciones (1) y (2) usando la ecuación (3) para determinar los signos de a y b 2k+p^2 - q = a^2 (1) ; k^2 - s = b^2 (2) ; ab=pk – r (3) Las raíces buscadas serán las soluciones de: x^2 +(p - a)x+(k-b) = x^2 +(p+ a)x+(k+b) =
SOLUCIÓN DE DESCARTES
Sea la ecuación reducida: x^4 +qx^2 +rx+s= A partir de la cual hallamos k^6 +2qk^4 +(q^2 -4s)k^2 -r^2 = La cual es una ecuación cúbica en k^2 que tiene siempre una solución positiva real, que puede ser hallada por aproximaciones de Horner, conocido el valor de k se puede hallar los valores de l y m de: 2l=q+k^2 - r/k ; 2m=q+k^2 +r/k ; lm=s La solución de la ecuación cuártica se obtiene resolviendo las dos cuadráticas x^2 +kx+l=0 ; x^2 -kx+m=
SUMA DE MATRICES Para sumar dos matrices se requiere que ambas tengan la misma dimensión, la suma A+B corresponde a una matriz C de la misma dimensión, cuyos elementos corresponden a la suma de los elementos que pertenecen a la misma fila y columna.
Si:
1,1 1,2 1, 2,1 2,2 2, 3,1 3,2 3,
1,1 1,2 1, 2,1 2,2 2, 3,1 3,2 3,
a a a A a a a a a a
b b b B b b b b b b
1,1 1,1 1,2 1,2 1,3 1, 2,1 2,1 2,2 2,2 2,3 2, 3,1 3,1 3,2 3,2 3,3 3,
a b a b a b A B a b a b a b a b a b a b
PRODUCTO DE MATRICES Dos matrices A y B se pueden multiplicar si el número de columnas de la primera matriz es igual al número de filas de la segunda, la matriz resultante tiene las filas de la primera matriz y las columnas de la segunda. Los elementos de la matriz producto corresponden a la sumatoria de los productos de los elementos de la i-éima fila de A por la j- ésima columna de B.
1,1 1,2 1, 1,1 1, 2,1 2,2 2, 2,1 2, 3,1 3,2 3, 3,1 3, 4,1 4,2 4,
a a a b b a a a A B b b a a a b b a a a
^
^
^
^
La matriz A tiene 4 filas y 3 columnas, la matriz B tiene 3 filas y 2 columnas, la matriz producto C= A·B tendrá 4 filas y 2 columnas y será igual a:
Se pueden permutar dos filas cualquiera. Toda ecuación se puede multiplicar por un escalar cualquiera k ≠ 0 de R. Se puede multiplicar una fila por un escalar y sumarla a cualquier otra.
MÉTODO DE GAUSS JORDAN Permite hallar la inversa de una matriz aplicando un método que consiste en aumentar la matriz a la derecha con la identidad y a través de transformaciones elementales trasladar la matriz identidad al lado izquierdo, la matriz que queda en lugar de la identidad es la inversa buscada.
Si:
1,1 1,2 1, 2,1 2,2 2, 3,1 3,2 3,
a a a A a a a a a a
1,1 1,2 1,3 1,4 1,5 1, 2,1 2,2 2,3 2,4 2,5 2, 3,1 3,2 3,3 3,4 3,5 3,
a a a a a a a a a a a a a a a a a a
La matriz inversa
1,4 1,5 1, 1 2,4 2,5 2, 3,4 3,5 3,
a a a A a a a a a a
RESOLUCIÓN DE SISTEMAS DE ECUACIONES
SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES NO HOMOGÉNEAS
Considérese el siguiente sistema de n ecuaciones con n incógnitas, donde no todos los hi = 0
1,1 1 1,2 2 1, 1 2,1 1 2,2 2 2, 2
,1 1 ,2 2 ,
n n n n
n n n n n n
a x a x a x h a x a x a x h
a x a x a x h
A este sistema se puede asociar la siguiente matriz aumentada [A H], donde [A] es la matriz de coeficientes y [H] la matriz columna con los valores hi
1,1 1,2 1, 1 2,1 2,2 2, 2
,1 ,2 ,
[ ]
n n
n n n n n
a a a h a a a h AH
a a a h
^
El sistema tiene solución, si y sólo si, las ecuaciones son linealmente independientes, dicha solución puede hallarse llevando la matriz a su forma canónica de fila, es decir, aquella que tiene la matriz identidad a la derecha de la misma.
INVERSIÓN DE MATRICES POR PARTICIÓN Sea una matriz M particionada en cuatro bloques de matrices de la siguiente manera
A B M C D
Y sea la una partición similar de la matriz inversa M-
M^1 X^ Y Z U
^
Siendo M-1 la inversa de M se verifica que:
p q
A B X Y^ I^ N
C D Z U N I
^ ^
^
O sea (1) (3) (2) (4)
p q
AX BZ I AY BU N
CX DZ N CY DU I
De la ecuación (2) obtenemos
DZ CX ; D ^1 DZ D ^1 CX ; Z D ^1 CX (5)
(5) en (1) (^1) ; 1 ) ; ( 1 ) 1 (6) AX BD CX I (^) p A BD C X I (^) p X A BD C ^ ^ ^
De (4)
; 1 1 (7) DU Iq CY U D D CY ^
Sustituyendo en (3)
AY BD ^1 BD ^1 CY N ; ( A BD ^1 C Y^ ) BD ^1
COFACTOR El cofactor de cada elemento de una matriz el igual al determinante que se obtiene luego de eliminar la fila y columna del elemento correspondiente, alternando los signos de cada determinante empezando por la primera fila. Encuentre la matriz de cofactores de: 3 4 1 2 1 3 5 0 1
A
^
Matriz de cofactores
^
^
^
^
^
Matriz de cofactores
^
MATRIZ ADJUNTA Es la traspuesta de la matriz de cofactores
INVERSA DE UNA MATRIZ POR EL MÉTODO DE LA ADJUNTA Si una matriz cuadrada tiene inversa, se puede hallar a través de la siguiente expresión:
A^1 Adj^ A
Det A
