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PRACTICA Nº 03
Tema: curvas en el espacio tridimensional.
Parametrización de una curva
- Determine una función
2 f : IRR que parametrice la curva indicada.
a) El segmento de la curva y 1 x comprendido entre x 2 yx 2 recorrido de
izquierda a derecha.
b) El cuadrado x y 1 recorrido en sentido antihorario.
c) El segmento de la curva 1
2 y x comprendido entre x 2 yx 2 recorrido de
derecha a izquierda.
- Determine una función
3 f : IRR que parametrice la curva indicada.
a) z x y ,yx
2 2
b) x y z 1 ,y 2 x
2 2 2
c)
2 2 2 x y 9 , z 9 x
- Dadas las siguientes curvas, encontrar su representación paramétrica.
a)
2 2 2 C : z 16 3 y ; z x 13 y.
b)
2 2 2 C : x y z 4; x y z0.
c) C : x y z a(xy); xya
2 2 2
d)
2 2 2 2 2 C : x y z 4; x y 2 .x
- Parametrice la curva intersección de las superficies 1.
2 2 z xy y x y
5. La curva cuya ecuación vectorial es f t( ) 2 t cos ,3t tsent, 1 t ,0 t 1 se define
sobre una superficie cuádrica. Hallar la ecuación de dicha superficie.
Longitud de arco
- Encuentre la longitud de la curva alabeada para la función vectorial f t( ) entre los
valores de “t” indicados
a)
(^3) 3/ (^2 3 ) ( ) , 4 , 3 9 3
t f t t t
0 t 3
b)
f t t t t
3 t 6
c) f t( ) a(1 cos ),t a t( sent) 0 t 2
d) f t( ) t Ln, (sec ), t Ln(sec t tan )t ,
t
e) ( ) (^) cos , ,
t t t f t e t e sent e , 0 tln( 3 )
- Hallar la longitud de arco de la curva descrita por ( ) ( 2 , 2 , 2 (cos))
2 f t sentsen t Ln t desde
el punto ) 2
( Ln hasta el punto ) 2
( Ln.
- Hallar la longitud de arco de la curva descrita por
2 2 C : z 2 ax; 9 y 16 xzdesde el
punto ( 0 , 0 , 0 )hasta el punto , 2 ) 3
( 2 , a
a a.
9. Sea C una curva descrita por la función
3 f : 0 , 1 R si f' ( 0 )( 1 , 2 , 2 ) y
f' '(t) 2 tT(t) (t)N(t) , calcular la longitud de la curva.
- Sean ) 4 4
2 2 2
t t
t t f t t t te
t y , ln 2 ) 2
f( 0 )( . Hallef(t).
- Demostrar que la curva
2 2 C : x 1 3 tt ;y 2 2 t 5 t es plana. Hallar el plano en que
se encuentra.
Plano Osculador, normal y rectificante
- Formar las ecuaciones del plano osculador, la normal y la binormal de la línea
x 2 az ;y 2 bz
2 2 en un punto cualquiera.
- Sea C la curva descrita por f (t )a(tsent, 1 cost, 4 sen(t/ 2 )) a constante. Hallar la
ecuación de la recta tangente y el plano normal a la curva en el punto( 2 , 0 , 0 ).
- Sea la curva
t t t C : xesen 2 t;ye cos 2 t;z 2 e , pasa por el punto P( 0 , 1 , 2 ).Hallar los
planos normal, rectificante y osculador; así como las rectas tangente, normal y binormal.
15. Sea C una curva de ecuación vectorial ( )t ( ,t Ln (sec ), t Ln(sec t tan )).t Hallar los
vectores T N y B, y la ecuación del plano osculador en el punto en que la curva corta al
plano YZ.
- Hallar el vector normal y una ecuación del plano osculador para t 0 1/ 2
cuando
1/ f t ( arcsent t, , (1 t) ).
- Dada la función vectorial
2 2
( )t ( sent 2, t 2, t 2 sent1).Hallar la torsión en
cualquier punto y determinar la ecuación del plano osculador ent / 4.
- Dada la siguiente curva,
2 2 2
2 2
x y z C x y z
^
Hallar la curvatura y la torsión en el punto (2,1,6).
- Considere la curva C, la intersección de las superficies
1
2 2 x y z 4 e x y x y z 4
a) Encuentre una parametrización para C
b) Encuentre el vector binormal en el punto (1,-1,4)
c) Encuentre la torsión en el punto (1,-1,4).
- Dada la curva parametrizada por
r( t )t sent, 1 cost, 4 sent 2
Calcular la curvatura y torsión, en el punto donde el plano normal a la curva es paralelo
al plano z=1.
1 Tomado de ejercicios 1-MAT024. Universidad Técnica Federico Santa María. Dpto. de Matemática. Campus
Santiago de Chile
