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Facultad de Arquitectura y Diseño Sistemas Estructurales 30
CERCHAS
Introducción
Las cerchas o armaduras son uno de los elementos estructurales que forman parte del conjunto de las estructuras de forma activa. Es por ello que para establecer los aspectos relacionados con las cerchas, a continuación se indica las propiedades de la cercha como elemento estructural sometido a tracción y compresión. Además se muestra las propiedades que rige el diseño de la cercha, así como las unidades adicionales requeridas, asimismo se indica el procedimiento para estimar las dimensiones de las secciones transversales de los componentes de la cercha.
Para distinguir las propiedades de la cercha primero se establece la definición donde se indica las ventajas, comportamiento, relación con el cable y arco, materiales empleados para la construcción, elementos necesarios y los principales usos dados a esta unidad estructural. Posteriormente se señala algunos métodos de resolución de cerchas así como el diseño y un ejemplo de aplicación.
Propiedades de las cerchas
Definición
La cercha es una composición de barras rectas unidas entre sí en sus extremos para constituir una armazón rígida de forma triangular, capaz de soportar cargas en su plano, particularmente aplicadas sobre las uniones denominada nodos (véase Figura 1); en consecuencia, todos los elementos se encuentran trabajando a tracción o compresión sin la presencia de flexión y corte (Beer y Johnston, 1977; Hsieh, 1982; Olvera, 1972).
Figura 1. Esquema de cercha.
(a) (b) (c) Figura 2. Relación entre cable, arco y cercha.
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Resolución de las cerchas
Método de los nodos
El método de los nodos considera el equilibrio para determinar las fuerzas en los elementos. Como toda la cercha está en equilibrio, cada nodo también lo está. En cada nodo, las cargas y reacciones junto con las fuerzas de los elementos, forman un sistema de fuerzas concurrentes que debido a las ecuaciones de equilibrio, permiten estableces las fuerzas en los elementos. Debido a que la cercha se analiza en un plano, las ecuaciones de equilibrio solo deben satisfacer los dos ejes por ser un sistema de fuerzas concurrentes.
∑ Fx^ =^0 ;^ ∑ Fy^ =^0 (1)
La Ecuación 1 indica que el equilibrio es en dos ejes, lo que implica que al establecer el equilibrio en un nodo, solo se debe determinar las fuerzas en un máximo de dos barras; dado que la distribución de nodos y barras en una armadura simple permite encontrar un nodo en que sólo haya dos fuerzas desconocidas. Al finalizar la resolución de un nodo, las fuerzas halladas se pueden trasladar a los nodos adyacentes y tratarse como cantidades conocidas en dichos nodos. Este procedimiento puede repetirse hasta que se hallen todas las fuerzas desconocidas (Das, Kassimali y Sami, 1999).
Para establecer el tipo de fuerza en la barra (tracción o compresión), según el sentido de las fuerzas obtenido por el cálculo en los nodos, la Figura 8 indica la relación entre los sentidos de las fuerzas en el nodo y en la barra.
Convenio en Nodos
Convenio en Barra
Figura 8. Convenio de fuerza en las barras.
Método de las secciones
La porción de la armadura que se escoge se obtiene trazando una sección a través de tres barras de armadura, una de las cuales es la barra deseada; dicho en otra forma, trazando una línea que divida la armadura en dos partes completamente separadas pero que no intercepte más de tres barras (Beer y Johnston, 1977; Hsieh, 1982).
Diseño de cerchas
Una vez resuelta la cercha, se procede a obtener las dimensiones de los elementos, siguiendo un diseño de tracción y compresión para el material indicado.
Diseño de cerchas de acero
Diseño por Tracción
Ciertos miembros de la cercha esta sometidos a fuerzas axiales de tracción (por lo general el cordón inferior) y la sección transversal puede tener varias formas, ya que para cualquier material, el único factor que determina la resistencia es el área transversal.
Nodo
Traccion
Nodo
Compresion
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El diseño consiste en seleccionar un elemento con área transversal suficiente para que la carga factorizada P (^) u no exceda la resistencia de diseño φ tFy Areq. En general el diseño es un procedimiento directo y las secciones típicas están formadas por perfiles y perfiles combinados más placas, tal como se indican en la Figura 9 donde el más común es el ángulo doble (Galambos, Lin y Johnston, 1999; Segui, 2000).
Figura 9. Secciones típicas de cerchas. Nota. De Diseño de Estructuras de Acero con LRFD (p. 32), por Segui, W., 2000. México D.F., México: Internacional Thomson Editores, S.A. de C.V.
donde: φ t =0,90; Pu ≡ Carga axial de tracción.
Comprobación no obligatoria^300
L
rmin ≥
Diseño por Compresión
El procedimiento general de diseño a compresión es de tanteos, donde se supone un perfil y luego se comprueba la resistencia del perfil. Si la resistencia es muy pequeña (insegura) o demasiado grande (antieconómica), deberá hacerse otro tanteo. Un enfoque sistemático para hacer la selección de tanteo es como sigue
- Seleccionar un perfil de tanteo.
- Calcular Fcr y øc Pn para el perfil de tanteo.
- Revisar el perfil de tanteo con la formula de interacción (Ecuación 4), si la resistencia de diseño es muy cercana a la carga se tiene la solución ( 0 , 7 ≤ Pu φ c Pn ≤ 1 ). De otra manera, se repite todo el procedimiento (Segui, 2000).
Figura 10. Efectos de la esbeltez. Nota. De Diseño de Estructuras de Acero con LRFD (p. 87), por Segui, W., 2000. México D.F., México: Internacional Thomson Editores, S.A. de C.V.
t y
u req
F
P
A
φ
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(incógnitas). Resalta que la dirección que lleva una fuerza es la misma dirección de la barra, por consiguiente, se conoce la relación que existe entre las componentes de la fuerza en el eje x o y.
En relación al criterio para realizar la secuencia de cálculos de los nodos, esta dependerá del que tenga menor cantidad de barras desconocidas. Siguiendo dicha premisa se realizó la secuencia, tal como se muestra a continuación:
Nodo 1
Se comienza por el nodo 1, ya que, está sometido al menor número de fuerzas desconocidas, que corresponden a las fuerzas en la barra 1-6 y la barra 1-2:
∑^ Fy =^0
6691 25, − 1163 − F y = 0 ⇒ F y =5528 28, kg
F
F
F
F
F kg
x
y
x
y
= ⇒ = ⇒ x =
∑^ Fx =^0
F 12 − 6910 31, = 0 ⇒ F 12 =6910 31, kg
Nodo 2
Se continua con el nodo 2, ya que se conoce del nodo anterior la fuerza en la barra 1-2, por lo que quedaba en este nodo solo dos fuerzas desconocidas (barra 2-6, barra 2-3):
∑^ Fy =^0 F 26 − 2327 = 0 ⇒ F 26 = 2327 kg
∑^ Fx =^0
F 23 − 6910 31, = 0 ⇒ F 23 =6910 31, kg
Nodo 6
Similar al nodo anterior, se conocen las fuerzas en las barras 2-6 y 1-6, por tanto se aprecian dos barras desconocidas:
∑^ Fy =^0
5528 25, − 2327 + F y = 0 ⇒ F y = −3201 25, kg
F
F
F
F
x F kg
y
x
y
= ⇒ = ⇒ x = −
∑^ Fx =^0
− F 67 + 6910 31, + 4001 56, = 0 ⇒ F 67 =10911 88, kg
El signo negativo de las componentes de la barra 6-3 indican que se dirige hacia abajo y la derecha.
Nodo 7
Dado que se calculó la fuerza en la barra 6-7, el nodo 7 quedó con dos barras incógnitas:
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∑^ Fx =^0
10911 88, − F 78 = 0 ⇒ F 78 =10911 88, kg
∑^ Fy =^0 F 37 = 0
Nodo 3
En el nodo 3 actuaban cinco barras, de las que se conocían la fuerza en tres, entonces se determinó la fuerza en las dos restantes:
∑^ Fy =^0
3201 25, − 7566 + F y = 0 ⇒ F y =4364 75, kg
F
F
F
F
x F kg
y
x
y
= ⇒ = ⇒ x =
∑^ Fx =^0
F 34 − 400156 , − 6910 31, + 545593 , = 0 ⇒ F 34 = 545593 , kg
Nodo 4
Al haberse calculado lo anteriores nodos, se observa que tanto el nodo 4 como el nodo 8 tienen dos barras incógnitas, entonces se escoge el nodo 4 en vista de que las barras incógnitas en este nodo no están inclinadas, lo cual facilita el cálculo:
∑^ Fx =^0
F 45 − 5455 93, = 0 ⇒ F 45 =5455 93, kg
∑^ Fy =^0 F 48 = 0
Nodo 5
∑^ Fy =^0 4364 75,^ −^ Fy^ =^0 ⇒^ Fy =4364 75,
F
F
F
F
F kg
x
y
x
y
= ⇒ = ⇒ x =
∑^ Fx =^0 5455 93, − 5455 931, = 0 ⇒ 0 = 0
El nodo 5 así como el nodo 8 tienen una barra desconocida. Es indiferente escoger cualquiera de los dos nodos, pero se realiza el nodo 5 por tener menos barras que inciden en el nodo.
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Se aplica la Ecuación 5
φ P (^) n = φ FcrA ; tenemos
φ Pn = 499 * 69 ⇒φ Pn = 34431 kgf
Por medio de la Ecuación de Interacción (Ecuación 4)
≤ 1 c n
u P
P
se comprueba que el perfil seleccionado cumpla con lo
requerido; tenemos
0 , 32 1 34431
10912 = ≤ ; por lo tanto el IPN 300 cumple
Cordón superior (Diseño a compresión)
k=1; l = 4 , 52 + 3 , 62 ⇒ l = 5,76 m
Se selecciona el IPN 300, donde en la Tabla de IPN tenemos A =69 cm^2 y r = 2,55 cm.
r
L
cm
cm
r
L
. No sirve IPN 300 porque
r
kL
Se selecciona 2 UPN 100, y a partir de la Tabla de UPN tenemos que 2 perfiles tiene A =21,2 cm^2 y r = 3,02 cm.
r
L
cm
cm
r
L
. Al emplear la tabla de Esfuerzos Admisibles a Compresión LRFD, tenemos
191 424 cm 2
kgf cr
tabla F
r
kL
.
Se aplica la Ecuación 5
φ P n = φ FcrA
; tenemos
φ Pn = 424 * 21 , 2 ⇒φ Pn = 8988 , 8 kgf
Por medio de la Ecuación de Interacción (Ecuación 4)
≤ 1 c n
u P
P
se comprueba que el perfil seleccionado cumpla con lo
requerido; tenemos
0 , 98 1 8988 , 8
8850 = ≤ ; por lo tanto 2 UPN 100 cumple
Resumen
Cordón Inferior IPN 160
Cordón Superior 2 UPN 100
Bibliografía
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Braja, D., Kassimali, A. y Sami, S. (1999). Mecánica para Ingenieros. Estática. México D.F, México: Editorial Limusa S.A. de C.V.
Engel, H. (2001). Sistemas de Estructuras. Barcelona, España: Editorial Gustavo Gili, S.A
Galambos, T., Lin, F. y Johnston, B. (1999). Diseño de Estructuras de Acero con LRFD. México D.F., México: Prentice Hall, Hispanoamericana, S.A.
Hsieh, Y.-Y. (1982). Teoría Elemental de Estructuras. Madrid, España: Prentice/Hall internacional.
Moore, F. (2000). Comprensión de las Estructuras en Arquitectura. México D.F., México: McGraw- Hill Interamericana Editores, S.A. de C.V.
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Olvera, A. (1972). Análisis de Estructuras. México D.F., México: Compañía Editorial Continental, S.A.
Salvadori, M. y Heller, R. (1998). Estructuras para Arquitectos. Buenos Aires, Argentina: Kliczkowski Publisher.
Segui, W. (2000). Diseño de Estructuras de Acero con LRFD. México D.F., México: Internacional Thomson Editores, S.A. de C.V.
