¡Descarga Matemática Básica (MA420) y más Resúmenes en PDF de Ingeniería Civil solo en Docsity!
Libro digital de Matemática Básica: (MA420) Línea Ingeniería
Item Type info:eu-repo/semantics/book
Authors Alva Cabrera, Rubén Jesús; Arrue Reyes, José; Callo Moscoso,
Luis Alberto; Cárdenas Zavala, Germain Leonardo; Fernández
Quispe, Nedín Esteban; Figueroa Neyra, Walter Antonio; Flores
Osorio, Alejandro Isaías; Medina Martínez, Antonio Marcos;
Mejía Delgado, Elías; Novoa Allagual, Armando Alfredo; Reynaga
Alarcón, Carlos; Ruiz Herrera, Jenniel; Serquén Pisfil, Alejandro;
Sueros Zarate, Jonathan Abrahán; Tiza Domínguez, Mario Saul;
Benturo Balavarca, Juan Carlos; Quinch Flores, Eduardo
Publisher Universidad Peruana de Ciencias Aplicadas
Rights info:eu-repo/semantics/openAccess; Attribution-
NonCommercial-ShareAlike 4.0 International
Download date 03/09/2021 12:56:
Item License http://creativecommons.org/licenses/by-nc-sa/4.0/
Link to Item http://hdl.handle.net/10757/
Profesores MA420 i
Libro Digital
Matemática Básica (MA420)
Línea Ingeniería
Autores:
Alva Cabrera, Rubén Jesús
Arrue Reyes, José
Benturo Balavarca, Juan Carlos
Callo Moscoso, Luis Alberto
Cárdenas Zavala, Germain Leonardo
Fernández Quispe, Nedín Esteban
Figueroa Neyra, Walter Antonio
Flores Osorio, Alejandro Isaías
Medina Martínez, Antonio Marcos
Mejía Delgado, Elías
Novoa Allagual, Armando Alfredo
Quincho Flores, Eduardo
Reynaga Alarcón, Carlos
Ruiz Herrera, Jenniel
Serquén Pisfil, Alejandro
Sueros Zarate, Jonathan Abrahán
Tiza Domínguez, Mario Saul
UNIVERSIDAD PERUANA DE
CIENCIAS APLICADAS
Profesores MA420 ix
Introducción:
Este texto, al cual llamaremos libro digital , está diseñado para utilizarse en el curso de Matemática
Básica para ingeniería (MA420), curso que se dicta en la Universidad Peruana de Ciencias Aplicadas
(UPC).
El contenido obedece a un objetivo fundamental: preparar adecuadamente a los alumnos para llevar
con éxito los cursos siguientes en cada una de sus carreras y por lo tanto contiene temas que servirán
de base a los mismos, además que la metodología usada obedece a un aprestamiento que el alumno
adquirirá para lograr su adaptación al proceso universitario.
El presente libro está pensado para que el docente, en cada sesión dedique un tiempo a:
✓ repasar lo más importante de los temas que se trabajaron en las sesiones anteriores.
✓ motivar el tema que corresponde a la sesión, ya sea presencial o virtual.
✓ que el alumno resuelva personalmente, en grupo o con las diferentes dinámicas que se puedan
emplear, los ejercicios y problemas planteados en cada sesión, a estos espacios de aprendizaje
los hemos llamado practiquemos en clase.
Después de cada sesión de clase el alumno tiene como reto seguir aprendiendo, para ello este libro
proporciona una lista de ejercicios propuestos a los que hemos llamado practiquemos más en casa y
a la vez una lista de ejercicios resueltos en vídeo, los cuales ayudarán al estudiante reforzar lo
aprendido en clase.
El libro también proporciona al estudiante todas las respuestas de los ejercicios y problemas
propuestos con la finalidad de que el estudiante pueda comprobar su autoaprendizaje y de ser
necesario revisarlas con el profesor Asistente de Aprendizaje a Distancia (AAD).
El éxito del curso no radica únicamente en el esfuerzo hecho para ofrecer este libro o en las clases
prácticas e integrales que trabajamos en este curso previo a las evaluaciones. Tampoco estará
centrado en el Profesor o en el asistente (AAD), sino fundamentalmente está dado por el esfuerzo y la
dedicación del alumno para lograr su propio aprendizaje. Los espacios para procurar aprendizaje están
propuestos, el aprovecharlos es lo que permitirá alcanzar el éxito deseado. En este aspecto hay una
frase de una canción que resume todo lo que se quiere indicar aquí: “…tienes que amar el tiempo de
los intentos…” , el procurarse un horario fijo de estudio y llevarlo a cabo, el participar constantemente
en clase, el preguntar, el trabajar correctamente en grupo, el investigar, el leer, el adelantar…, son los
tiempos de los intentos que se deben apreciar, si se logra esto, el éxito vendrá por añadidura.
Finalmente, en cada uno de los temas hacemos referencia al libro de James Stewart, séptima edición,
libro que nos sirvió como referencia básica para diseñar este texto y que sirve para que el estudiante
siga complementando sus aprendizajes dentro y fuera del salón de clase.
Mg. Alejandro Serquén Pisfil
Coordinador del equipo de autores
UPC, 2021
Profesores MA420 1
Plano cartesiano - distancia y punto
medio-pendiente de una recta-rectas
paralelas y perpendiculares
LOGRO DE LA SESIÓN DE CLASE: Al finalizar la sesión, el estudiante analiza y aplica los conceptos de distancia
entre dos puntos, punto medio y ecuaciones de una recta en la resolución de ejercicios, demostrando
responsabilidad y capacidad de aprender por su propia cuenta.
CONTENIDOS
MOTIVACIÓN
1.1. Distancia y punto medio.
- Definiciones y notaciones
- Ejemplos
1.2. Ecuación de la recta
- Pendiente de un segmento
- Definición de pendiente
- Ecuación de la recta punto pendiente
- Rectas verticales y horizontales
- Rectas paralelas y perpendiculares
1.3. Practiquemos en clase
1.4. Practiquemos más en casa
Profesores MA420 3
El plano coordenado es el vínculo entre el álgebra y la geometría. En el plano coordenado podemos trazar gráficas
de ecuaciones algebraicas. Las gráficas, a su vez, nos permiten “ver” la relación entre las variables de la ecuación.
En esta sección estudiamos la distancia entre dos puntos del plano cartesiano, punto medio de un segmento,
pendiente de un segmento y finalmente las diferentes formas de escribir la ecuación de la recta.
1.1 DISTANCIA Y PUNTO MEDIO ENTRE DOS PUNTOS
Si se conocen las coordenadas de dos puntos del plano, se puede hallar la
distancia que los separa. Para ello se deduce una sencilla fórmula que es
consecuencia directa del teorema de Pitágoras. Consideremos que los
puntos 𝑃
1
1
y 𝑄
2
2
son conocidos y se quiere hallar la distancia
entre 𝑃 y 𝑄. En la Figura 1 los puntos 𝑃 y 𝑄 se han representado en el
plano y se muestra el segmento 𝑃𝑄 cuya longitud se desea hallar. El
segmento 𝑃𝑄 es la hipotenusa del triángulo rectángulo 𝑃𝑅𝑄. Los catetos
de este triángulo miden respectivamente |𝑥
2
1
| y |𝑦
2
1
|. Al aplicar
el teorema de Pitágoras al triángulo rectángulo 𝑃𝑅𝑄 se obtiene la fórmula
para la distancia entre 𝑃 y 𝑄, la cual escribimos como sigue:
Siendo 𝑃(𝑥
1
1
) y 𝑄(𝑥
2
2
) los extremos de un segmento, llamemos a
punto medio (ver figura 2), que es el punto que divide al
segmento 𝑃𝑄 en dos partes iguales.
El punto medio de un segmento es único y equidista de los extremos del
segmento.
En resumen: las coordenadas del punto medio del segmento 𝑃𝑄 son:
1.2 ECUACIÓN DE LA RECTA
- Pendiente de un segmento de recta
Consideremos un segmento de recta determinado por dos puntos del
plano 𝑃
1
1
1
) y 𝑃
2
2
2
). La pendiente de este segmento es un
número real que mide la inclinación del segmento con respecto a la
horizontal.
Figura 3: Segmento
12
PP
1
x
2
x
x
( )
1 1
Px ; y
( )
2 2
Qx ; y
M ( x ; y )
Figura 2 : Punto medio entre dos puntos
R
Figura 1 : Distancia entre dos puntos
2
1
2
2
1
2
1
2
1
2
𝑥
𝑦
𝑦
𝑥
𝑦
1
𝑦
2
𝑦
𝑥
Profesores MA420 4
La pendiente 𝑚 del segmento no vertical determinado por los puntos 𝑃 1
1
1
y 𝑃
2
2
2
es el número:
¿Un segmento vertical tendrá pendiente? , explique su respuesta:
Si observamos en la figura adjunta, los puntos de un segmento vertical son tal que la
abscisa siempre es el mismo valor, entonces para el par de puntos (𝑎; 𝑦
1
) y (𝑎; 𝑦
2
) la
posible pendiente sería 𝑚 =
𝑦
2
−𝑦
1
𝑎−𝑎
𝑦
2
−𝑦
1
0
de donde observamos que no existe un
valor posible para 𝑚. Así los segmentos verticales no tienen pendiente.
Observación: del signo de la pendiente dependerá si el segmento (o recta) es creciente, decreciente o constante.
Es decir:
Si 𝑚 > 0 , el segmento (o recta) es creciente.
Si 𝑚 < 0 , el segmento (o recta) es decreciente.
Si 𝑚 = 0 , el segmento (o recta) es constante.
- Ecuación de la Recta: Forma Punto – Pendiente de la Recta
De la Figura 5, se tiene la pendiente:
𝑃 = (𝑥; 𝑦) Punto arbitrario en la recta.
0
0
0
) Punto conocido (punto de paso).
Despejando se tiene la siguiente ecuación:
La cual representa a la recta en su forma punto – pendiente.
Figura 5 : Forma punto - pendiente
( )
2
a ; y
( )
1
a ; y
a
0
x
x
0
y
P
L
0
P
Figura 4: Recta vertical
2
1
2
1
0
0
0
0
y
𝑦
𝑥
𝑥
Profesores MA420 6
- Rectas Paralelas y Perpendiculares
Cuando se conocen las ecuaciones de dos rectas 𝐿 1
y 𝐿
2
con pendientes 𝑚
1
y 𝑚
2
respectivamente, es muy simple determinar cuándo se trata de rectas paralelas, en
este caso sus pendientes son iguales, es decir:
La perpendicularidad entre rectas requiere que las pendientes satisfagan la
condición:
1.3 PRACTIQUEMOS EN CLASE
EJERCICIOS
1. Sean 𝐴
𝑦 𝐶( 4 ; 5 ) los vértices de un triángulo. Determine la longitud del segmento que une
el vértice 𝐴 y el punto medio del lado 𝐵𝐶.
2. Determine la ecuación punto pendiente de la recta que pasa por el punto ( 6 ; − 2 ) y su pendiente es − 1 / 2. 3. Determine la ecuación de una recta que pasa por los puntos (− 3 ; 4 ) 𝑦 ( 4 ; 5 ). Escriba la ecuación de la recta
en las 3 formas estudiadas y trace su gráfica indicando los puntos de corte con los ejes coordenados.
4. Determine la ecuación de la recta que pasa por el punto ( 2 ; 5 ) y es paralela a la recta 8 𝑥 − 4 𝑦 = − 12. Trace
su gráfica indicando los puntos de corte con los ejes coordenados.
5. Sean las rectas 𝐿 1
: 10 𝑥 − 4 𝑦 = 10 y 𝐿
2
: 6 𝑥 + 9 𝑦 = 18. Determine la ecuación de una recta que pasa por
el punto de intersección de las rectas 𝐿
1
y 𝐿
2
, y es perpendicular a la recta 𝐿
1
6. Determine una ecuación de la recta cuya gráfica se muestra a
continuación. Además, determine las coordenadas de los
puntos de corte con los ejes.
𝑚
1
∙ 𝑚
2
= − 1
2
L
1
L
2
L
1
L
Figura 9 : Rectas paralelas
Figura 10 : Rectas perpendiculares
1
2
𝑥
𝑦
𝑦
𝑥
Profesores MA420 7
RESPUESTAS DE PRACTIQUEMOS EN CLASE
1. 3,54 u
1
2
3. Los tres tipos de ecuaciones son:
Forma Punto – Pendiente de la Recta: 𝑦 − 5 =
1
7
Forma Pendiente – Intersección con el eje y : 𝑦 =
𝑥
7
31
7
Ecuación General de la Recta: 𝑥 − 7 𝑦 + 31 = 0
Para graficar cada recta, halle los puntos de corte con los ejes.
4. 𝑦 − 5 = 2 (𝑥 − 2 ), para graficar halle los puntos de corte con los ejes.
20
19
2
5
27
19
2
3
1.4 PRACTIQUEMOS MÁS EN CASA
Resuelve los siguientes ejercicios y si tienes dudas aprovecha la asesoría virtual con tu profesor AAD para
asegurar que tus soluciones son correctas y retroalimentar tu aprendizaje.
1. Los puntos 𝐴( 0 ; 0 ), 𝐵( 5 ; 2 ) y 𝐶(− 1 ; − 2 ) son los vértices de un triángulo. Determine la longitud del
segmento que une el vértice 𝐴 y el punto medio del lado BC.
2. Dados los puntos: 𝐴 (− 7 ; 4 ), 𝐵 ( 2 ; 8 ) y 𝐶( 0 ; − 2 )
a. Determine la distancia y el punto medio entre los puntos 𝐴 y 𝐶.
b. Determine la ecuación general de la recta que pasa por los puntos 𝐵 y 𝐶.
3. Dadas las rectas 𝐿
1
: 8 𝑥 − 6 𝑦 = 24 y 𝐿
2
: 9 𝑥 − 6 𝑦 = − 18 , determine la ecuación de la recta que pasa
por el punto de intersección de las rectas 𝐿
1
y 𝐿
2
, y es perpendicular a la recta 𝐿
2
4. Si la recta 𝐿
1
pasa por los puntos
y
y la recta 𝐿
2
pasa por los puntos
y
¿Las rectas 𝐿
1
y 𝐿
2
son paralelas, perpendiculares o ninguna de ellas?
5. Determine la ecuación de la recta que pasa por el punto medio del segmento 𝐴𝐵, con 𝐴
y
𝐵( 3 ; 2 ), y es perpendicular a la recta cuya ecuación es 3 𝑦 + 2 𝑥 = 3. Trace su gráfica indicando los
puntos de corte con los ejes coordenados.
6. Determine la ecuación de la recta que pasa por el punto ( 2 ; 5 ) y es paralela a la recta cuya ecuación es
− 4 𝑥 + 6 𝑦 = 24. Trace su gráfica indicando los puntos de corte con los ejes coordenados.
7. Determine la ecuación de la recta formada por los puntos que equidistan de los puntos ( 1 ; 6 ) y de ( 5 ; 2 ).
Profesores MA420 9
La circunferencia
LOGRO DE LA SESIÓN DE CLASE: Al finalizar la sesión, el estudiante analiza y aplica el concepto de
circunferencia en la soluciona ejercicios, demostrando responsabilidad y capacidad de aprender por su propia
cuenta.
CONTENIDOS
MOTIVACIÓN
1.1. La circunferencia
- Ecuación de la circunferencia
- Ejemplos
1.2. Practiquemos en clase
1.3. Practiquemos más en casa
Profesores MA420 10
MOTIVACIÓN
La Rueda
Una rueda es un objeto mecánico que tiene forma de un disco y que se
instala en un eje para que gire a su alrededor, las ruedas son una pieza
más dentro de una máquina más compleja.
Las ruedas primitivas estaban hechas con madera y presentaban un
orificio en su centro, que permitía que sean insertadas en un eje. Un paso
decisivo para el desarrollo de la rueda fue la inclusión de radios o rayos,
que son las barras que unen, de manera rígida, el centro de la rueda con
su región perimetral. Los radios ayudaron a la construcción de vehículos
más ligeros y, por lo tanto, más veloces.
Un radio o rayo de una rueda es cada una de las barras que une rígidamente la zona
central con la perimetral (contorno de la rueda).
Rayo
Contorno
