matematica discreta cuarto ciclo, Diapositivas de Matemática Discreta

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MATEMÁTICA DISCRETA

TEMA 5

ÁLGEBRAS DE BOOLE

CURSO 2001-

DEPARTAMENTO DE MATEMÁTICA APLICADA

FACULTAD DE INFORMÁTICA U.P.M.

Matemática Discreta.

y y y’ y’ x x’ z’ z z z’

y y y’ y’ x x’ z’ z z z’

y y y’ y’ x x’ z’ z z z’

x y z f(x,y,z) 0 0 0 1 0 0 1 0 0 1 0 1 0 1 1 1 1 0 0 1 0 1 1 1 0 1 1 1 1

EXPRESIONES BOOLEANAS

1. Dada la expresión E(x,y)=(x∧y')∨((y∧(x'∨y)). Hallar la tabla de verdad de la función f:B^2 →B definida por E.

2)Determinar S(f) para las funciones f:B^3 →B definidas por:

a) f(x,y,z)=x∧y b) f(x,y,z)=z,^ c) f(x,y,z)=(x∧y)∨z,^ d) f(x,y,z)=

3. Determinar todas las funciones booleanas binarias que cumplan: f(a',b)=f(a,b')=(f(a,b))'.

4. Dados los siguientes mapas de Karnaugh, escribir las expresiones booleanas que definen estos mapas:

5. Sea S el subconjunto de B^4 S = {(1,1,0,0), (1,1,1,1), (1,0,1,1), (1,0,0,0), (0,0,0,1), (0,1,0,0), (0,0,0,0), (0,1,0,1)} Simplificar la expresión booleana de la función f que toma valor 1 en el conjunto S y cero en el resto, mediante el mapa de Karnaugh.

6. Encontrar la expresión booleana más simplificada para la función f: B^4 →B cuyo conjunto S(f)={(0,0,0,1), (0,0,1,0), (0,1,0,0), (0,1,0,1), (0,1,1,1), (0,1,1,0), (1,1,0,0), (1,1,1,1), (1,0,1,0)}

7. Completar los huecos de la tabla de la derecha, teniendo en cuenta que la expresión que se desea obtener ha de ser lo más sencilla posible. Determinar esa expresión y dibujar el mapa de Karnaugh correspondiente.

8. Dada la función booleana f:B^4 →B f(x,y,z,t) = xyzt + xy'zt + xyzt' + xy'zt' + x'y'z't' + x'yz't' + x'y'z't + x'yz't a) Utilizando las propiedades de un Álgebra de Boole demostrar que f(x,y,z,t) = xz + x'z'. b) Verificar el resultado anterior utilizando los mapas de Karnaugh.

9. Simplificar al máximo las siguientes expresiones booleanas: a) (x'+y)'+y'z b) (x'y)'(x'+xyz') c) x(xy'+x'y+y'z) d) (x+y)'(xy')' e) y(x+yz)' f) (x+y'z)(y+z')

10. Demostrar utilizando el algoritmo de Quine-McCluskey que la expresión booleana en su forma canónica "suma de productos mínima" de la función f de B^5 en B tal que: f(1,1,1,1,1)=1, f(1,1,1,0,1)=1, f(1,1,0,1,1)=1, f(1,0,1,1,1)=1, f(1,0,1,0,1)=1, f(1,0,0,1,1)=1, f(1,1,0,0,1)=1, f(1,0,0,0,1)=1 tomando el valor 0 para los demás argumentos es: f(x 1 ,x 2 ,x 3 ,x 4 ,x 5 )=x 1 x 5.

y y y’ y’ x t’ x t x’ t x’ t’ z’ z z z’

y y y’ y’ x t’ x t x’ t x’ t’ z’ z z z’

y y y’ y’ x t’ x t x’ t x’ t’ z’ z z z’

Matemática Discreta.

18. Se considera un ascensor dotado de un dispositivo de seguridad, para que no puedan viajar niños pequeños solos ni pesos excesivos. Queremos que el ascensor se ponga en marcha cuando esté vacío o con pesos entre 25 y 300 kilos. Dotamos al ascensor de tres sensores: A sensible a cualquier peso, B sensible a pesos mayores de 25 kilos y C sensible a pesos superiores a 300 kilos. Diseñar el circuito más sencillo posible que cumpla dichas condiciones.

19. En una reunión celebrada entre 12 países de la Comunidad Europea se acuerda aceptar las resoluciones aprobadas por la mayoría de los miembros. España, Italia, Portugal y Grecia votan en bloque. Situación similar es la de Francia y Alemania. También hacen lo mismo Reino Unido e Irlanda por un lado y Bélgica, Holanda y Luxemburgo por otro. Dinamarca siempre vota lo contrario que Alemania y los tres países Bélgica, Holanda y Luxemburgo lo contrario que Irlanda. Encontrar los países que tienen mayor poder de decisión.

20. Para evitar errores de transmisión en ciertos mensajes codificados, es frecuente añadir un bit, llamado de control, a un bloque de bits. Así , por ejemplo, en la representación de cifras decimales mediante un código binario, 0 se representa como a 4 a 3 a 2 a 1 c = 00001; 1 se representa como a 4 a 3 a 2 a 1 c = 00010; 2 se representa como a 4 a 3 a 2 a 1 c = 00100; 3 se representa como a 4 a 3 a 2 a 1 c = 00111; etc. El bit de paridad c vale 1 si el número de unos del bloque es par y vale 0 en caso contrario. Definir una expresión c que verifique lo anterior para los dígitos del 0 al 9 de manera que sea lo más simplificada posible en la forma suma de productos.

21. La aparición de una cifra decimal en el visor de una calculadora se produce mediante un circuito con cuatro entradas, que se corresponden con el código binario del dígito, y siete salidas, fi ( con i=1..7 ), que se presentan como pequeños segmentos, iluminados o no en el visor, según el siguiente esquema : f

f

f

f

f f

f

1

6

5

4

7 2

3

Trazar la tabla de verdad de cada una de las funciones booleanas fi:B^4 →B que represente este fenómeno binario. Observar que hay elementos de B^4 para los que cada componente fi de F puede tomar 0 ó 1 indiferentemente, pues son casos imposibles (puesto que representan números mayores que nueve), teniendo esto en cuenta encontrar expresiones mínimas en forma de suma de productos para f 1 y f 2.

22. Una asamblea de 36 personas es convocada a votar para aceptar o rechazar distintas propuestas. La asamblea está dividida en cuatro grupos X, Y, Z, T, que cuentan con 5, 8, 10, y 13 miembros, respectivamente. A cada propuesta, todos los miembros de un grupo votan en el mismo sentido y nunca un grupo se abstiene. Las propuestas se aceptan si y sólo si alcanzan la mayoría absoluta. a) Determine la tabla de verdad de la función f ( x, y, z, t ) que toma valor 1 si se aprueba una propuesta y 0 si se rechaza. b) Determine una expresión booleana para f ( x, y, z, t ) en forma de suma de productos mínima.