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UNIVERSIDAD NACIONAL DEL CALLAO
FACULDAD DE INGENIERIA ELECTRICA Y ELECTRONICA
ESCUELA PROFESIONAL DE INGENIERIA ELECTRONICA
TRANSFORMADA DE FOURIER
DOCENTE: ING. RAUL PEDRO CASTRO VIDAL
INTEGRANTES:
RODRIGUEZ DAVILA RENZO ENRIQUE 1813220167
GUEVARA ROJAS ELTON JHON 1813220382
OLAYA ORIHUELA ADRIAN ALON 1813220247
MONTESINOS ALCÁNTARA MIJAEL JESÚS 1813220551
BENITES MONCADA JOSÉ DAVID 1813210116
LOYOLA TOLEDO RENATO 1813220141
Perú - Callao
Presentación
Las series e integrales de Fourier constituyen un tema clásico del
análisis matemático. Desde su aparición en el siglo XVIII en el
estudio de las vibraciones de una cuerda, las series de Fourier han sido
una piedra de toque para el desarrollo de los conceptos básicos del
análisis – función, integral, serie, convergencia... y la evolución de
estos conceptos ha ido abriendo a su vez nuevos rumbos en el
análisis de Fourier. Así lo expresa Zygmund en el prólogo de su
famoso libro sobre series trigonométricas (1958):
Esta teoría ha sido una fuente de nuevas ideas para los analistas
durante los dos últimos siglos y probablemente lo seria en los
próximos años. Muchas nociones y resultados básicos de la teoría de
funciones han sido obtenidos por los matemáticos trabajando sobre
series trigonométricas. Es concebible pensar que estos des-
cubrimientos podía haber sido realizados en contextos diferentes, pero
de hecho nacieron en conexión con la teoría de las series
trigonométricas. No fue accidental que la noción de función
aceptada ahora generalmente fuera formulada en la celebrada memoria
de Dirichlet (1837) que trata de la convergencia de la serie de Fourier,
o que la definición de integral de Riemann en su forma general
apareciese en el Habilitationsschrift de Riemann sobre series
trigonométricas, o que la teoría de conjuntos, uno de los
desarrollos más importantes de las matemáticas del siglo XIX,
fuera creada por Cantor en su intento de resolver el problema de los
conjuntos de unicidad para series trigonométricas. En épocas más
recientes, la integral de Lebesgue se desarrolló en estrecha conexión
con la teoría de series de Fourier y la teoría de funciones generalizadas
(distribuciones) con la de las integrales de Fourier.
Introducción
Las series e integrales de Fourier constituyen un tema clásico del
análisis matemático. Desde su aparición en el siglo XVIII en el
estudio de las vibraciones de una cuerda, las series de Fourier han sido
una piedra de toque para el desarrollo de los conceptos básicos del
análisis – función, integral, serie, convergencia...–, y la evolución de
estos conceptos ha ido abriendo a su vez nuevos rumbos en el análisis de
Fourier. Así lo expresa Zygmund en el prólogo de su famoso libro sobre
series trigonométricas (1958):
Esta teoría ha sido una fuente de nuevas ideas para los analistas
durante los dos últimos siglos probablemente lo sera en los próximos
años. Muchas nociones y resultados b de básicos la teoría de funciones
han sido obtenidos por los matemáticos trabajando sobre series
trigonométricas. Es concebible pensar que estos des- cubrimientos
podrían haber sido realizados en contextos diferentes, pero de hecho
nacieron en conexión con la teoría de las series trigonom´etricas. No
fue accidental que la noción de función aceptada ahora
generalmente fuera formulada en la celebrada memoria de
Dirichlet (1837) que trata de la convergencia de la serie de Fourier,
o que la definicon de integral de Riemann en su forma general
apareciese en el Habilitación sschrift de Riemann sobre series tri-
gonometricas, o que la teoría de conjuntos, uno de los desarrollos
más importantes de las matemáticas del siglo XIX, fuera creada
por Cantor en su intento de resolver el problema de los conjuntos
de unicidad para series trigonométricas. En ´épocas más recientes, la
integral de Lebesgue se desarrolló en estrecha conexión con la
teoría de series de Fourier y la teoría de funciones generalizadas
(distribuciones) con la de las integrales de Fourier.
TRANSFORMADAS DE FOURIER
PARES DE TRANSFORMADAS
Las transformadas de Laplace 𝐹(𝑠) de una función 𝑓(𝑡) se define con
un integral , pero se usa mucho la representación simbólica 𝑓(𝑡) =
− 1
{𝐹(𝑠)} para denotar la transformada inversa de Laplace de
. En realidad , la transformada inversa de Laplace también es una
transformada integral. Si 𝐿
−𝑠𝑡
∞
0
entonces la transformada inversa de Laplace es
− 1
𝑠𝑡
𝛾+𝑖∞
𝛾−𝑖∞
La última integral se llama integral de contorno; para evaluarla se
necesita usar variables complejas. El punto es éste: las transformadas
integrales aparecen en pares de transformadas. Si 𝑓(𝑥) se
transforma en 𝐹(𝛼) con una transformada integral
𝑏
𝑎
Entonces se puede recuperar la función 𝑓 mediante otra transformada
integral
𝑑
𝑐
Llamada transformada inversa. Las funciones 𝐾 𝑦 𝐻 se llaman
kernels (núcleos) de sus transformadas respectivas. Identificamos
−𝑠𝑡
como kernel de la transformada de Laplace y 𝐻
𝑒
𝑠𝑡
2 𝜋𝑖
como el kernel de la transformada inversa de Laplace.
PARES DE TRANSFORMADAS DE FOURIER
La integral de Fourier es el origen de tres nuevas transformadas
integrales. Las ecuaciones
𝑖𝛼𝑥
∞
−∞
𝑐
− 1
∞
0
EXISTENCIA
Las condiciones bajo las que existe ( 7 ) , ( 9 ) 𝑦 ( 11 ) son más estrictas
que las de la transformada de Laplace. Por ejemplo, debe comprobar
que 𝐹{ 1 }, 𝐹
𝑠
𝑐
{ 1 } no existen. Las condiciones suficientes para
la existencia son que 𝑓 sea absolutamente integrable sobre el intervalo
adecuado y que 𝑓 y 𝑓´ sean continuas por tramos sobre todo intervalo
finito.
PROPIEDADES OPERACIONALES
Como nuestro objetivo inmediato es aplicar estas nuevas
transformadas a problemas, necesitamos examinar las transformadas
de las derivadas.
TRANSFORMADA DE FOURIER
Supongamos que 𝑓 es continua y absolutamente integrable sobre el
intervalo (−∞, ∞) , y que 𝑓´ es continua por tramos en todo intervalo
finito. Si 𝑓
→ 0 cuando
𝑥 → ± ∞, entonces la integración por partes da
∞
−∞
𝑖𝛼𝑥
𝑖𝛼𝑥
∞
−∞
𝑖𝛼𝑥
∞
−∞
𝑖𝛼𝑥
Esto es
De igual manera , con las hipótesis adicionales de que 𝑓´ es continua
sobre
, 𝑓"(𝑥) es continua por tramos sobre todo intervalo
finito y que 𝑓´
→ 0 cuando 𝑥 → ±∞ , se tiene que
2
2
Es importante observar que las transformadas seno y coseno no son
adecuadas para transformar la primera derivada ( o , en realidad ,
cualquier derivada de orden impar).Se demuestra con facilidad que
𝑠
𝑐
Y
𝑐
𝑠
La dificultad es evidente; la transformada de 𝑓´
no se expresa en
términos de la transformada integral original.
TRANSFORMADA SENO DE FOURIER
Supongamos que 𝑓 y 𝑓´ son continuas, 𝑓 es absolutamente integrable
sobre el intervalo [0,∞) y 𝑓" es continua por tramos sobre todo
intervalo finito. Si 𝑓 → 0 y
𝑓´ → 0 cuando 𝑥 → ∞ , entonces
𝑠
∞
0
cos 𝛼𝑥 𝑑𝑥
∞
0
= −𝛼[𝑓
cos 𝛼𝑥 {
𝑠𝑒𝑛 𝛼𝑥 𝑑𝑥]
∞
0
2
𝑠
Esto es,
𝑠
2
𝜕
2
𝑢
𝜕𝑥
2
2
𝜕𝑢
𝜕𝑡
𝑑
𝑑𝑡
𝑑𝑈
𝑑𝑡
Entonces la transformada de Fourier de la ecuación diferencial parcial,
2
2
Se convierte en la ecuación diferencial ordinaria
2
2
Resolviendo la última ecuación, se obtiene 𝑈
−𝑘𝛼
2
𝑡
. Ahora,
la transformada de la condición inicial es
∞
−∞
𝑖𝛼𝑥
0
1
− 1
𝑖𝛼𝑥
0
𝑖𝛼
−𝑖𝛼
Por la fórmula de Euler
𝑖𝛼
= cos 𝛼 + 𝑖 𝑠𝑒𝑛 𝛼
−𝑖𝛼
= cos 𝛼 − 𝑖 𝑠𝑒𝑛 𝛼.
Al restar estos dos resultados y despejando 𝑠𝑒𝑛 𝛼 , se obtiene 𝑠𝑒𝑛 𝛼 =
𝑒
𝑖𝛼
−𝑒
−𝑖𝛼
2 𝑖
.Por lo tanto podemos rescribir la transformada de la condición
inicial como
0
𝑠𝑒𝑛𝛼
𝛼
. Al aplicar esta condición 𝑈
−𝑘𝛼
2
𝑡
se
obtiene
0
𝑠𝑒𝑛𝛼
𝛼
y por tanto
0
−𝑘𝛼
2
𝑡
Entonces se tiene por la transformada inversa ( 8 ),
0
∞
−∞
−𝑘𝛼
2
𝑡
−𝑖𝛼𝑥
Esta integral se puede simplificar un poco usando la fórmula de Euler
−𝑖𝛼𝑥
= cos 𝛼𝑥 − 𝑖 𝑠𝑒𝑛𝛼𝑥 y observando que
∞
−∞
−𝑘𝛼
2
𝑡
Ya que el integrando es una función impar de 𝛼. Por lo tanto,
finalmente tenemos que
0
𝑠𝑒𝑛𝛼. cos 𝛼𝑥
∞
−∞
−𝑘𝛼
2
𝑡
EJEMPLO 2 Dos útiles transformadas de Fourier
Resulta un ejercicio sencillo de integración por partes que las
transformadas de Fourier del seno y coseno de 𝑓
−𝑏𝑥
0 , 𝑏 > 0 , son, respectivamente
𝑠
−𝑏𝑥
−𝑏𝑥
∞
0
2
2
𝑐
−𝑏𝑥
−𝑏𝑥
∞
0
cos 𝛼𝑥 𝑑𝑥 =
2
2
EJEMPLO 3 Uso del transformado coseno
La temperatura en una placa semiinfinita se determina a partir de
2
2
2
2
−𝑦
Determine 𝑢
TRANSFORMADA DISCRETA DE FOURIER
a) IMPORTANCIA
Se conoce que la Transformada de Fourier es una herramienta de análisis muy importante
para sistemas y señales en tiempo continúo y discreto, sin embargo, es necesario contar con
un instrumento que nos permita calcular de manera eficiente la transformada de Fourier de
una señal. La Transformada Discreta de Fourier surge de esta necesidad, por lo que podemos
decir a groso modo que se trata de un muestreo equispaciado en frecuencia de la
Transformada de Fourier de una secuencia de tiempo discreto.
Por otro lado esta transformación discreta toma un lugar importante en el mundo
contemporáneo como consecuencia del uso masivo de computadoras, dispositivos en los que
se necesita obtener los valores numéricos de los fenómenos de variables continuas que
conocemos de manera digitalizada para que puedan ser procesados por la computadora, lo
que implica trabajar con un número finito de datos, esto a su vez nos lleva a utilizar variables
discretas; es aquí cuando la Transformada Discreta de Fourier es de gran ayuda.
En concreto, esta transformada discreta es ampliamente utilizada en el procesamiento de señal
digital donde la función puede ser la presión de una onda de sonido o un radio de señal.
Igualmente, en el procesamiento de imágenes donde las muestras pueden ser los valores de
píxeles a lo largo de una fila o columna de una de imagen. También se utiliza para resolver
de manera eficiente las ecuaciones diferenciales parciales, y para realizar otras operaciones
tales como circunvoluciones o multiplicar números enteros grandes. Además, dado que se
trabaja de una cantidad finita de datos, puede ser implementado en los ordenadores como se
mencionó anteriormente, mediante algoritmos numéricos; como la transformada rápida de
Fourier (FFT), el cual es un algoritmo computacional muy eficiente para el cálculo de la
misma Transformada Discreta de Fourier.
b) CONCEPTOS PREVIOS
La Serie Discreta de Fourier
Sea una señal periódica en tiempo discreto con periodo N, que satisface
𝑥̃
[ 𝑛
] = 𝑥̃
[ 𝑛 + 𝑁
] , ∀ 𝑛 ∈ 𝕫
Se considera las exponenciales discretas con pulsación o frecuencia fundamental 𝜔
0
=
2 𝜋
𝑁
𝑊
𝑁
𝑘𝑛
= 𝑒
−𝑗
2 𝜋
𝑁
𝑘𝑛
, 𝑘 ∈ 𝕫
De donde se ha definido 𝑊
𝑁
= 𝑒
−𝑗
2 𝜋
𝑁
, tenemos que
𝑊
𝑁
𝑘𝑛
= 𝑊
𝑁
(𝑝𝑁+𝑘)𝑛
, ∀ 𝑝 ∈ 𝕫
Esto significa que sólo existen 𝑁 exponenciales discretas distintas con frecuencia fundamental
𝜔
0
, siendo justamente esta la diferencia en comparación con una señal continua.
Por lo tanto, se puede obtener lo siguiente
𝑎
[ 𝑘
]
∑ 𝑥̃
[ 𝑛
]
𝑁− 1
𝑛= 0
. 𝑊
𝑁
𝑘𝑛
(1)
𝑥̃ [𝑛] =
1
𝑁
∑ 𝑎[𝑘]
𝑁− 1
𝑛= 0
. 𝑊
𝑁
−𝑘𝑛
(2)
Lo que se acaba de obtener son justamente la ecuación de análisis y ecuación de síntesis
respectivamente.
c) DEFINICION
Podemos definir la DFT brevemente, diciendo que convierte una secuencia finita de
muestras de una función igualmente espaciadas, en una secuencia con un mismo
período N. La idea es que, si se conoce el resultado de la aplicación de la aproximación
de la transformada de Fourier a una función del tiempo, a esa misma señal
“muestreada” se le aplica la transformada discreta y se comparan los resultados con
los de la continua.
Sea el caso de una secuencia periódica 𝑥̃
[ 𝑛
] con periodo 𝑁, se puede escribir la
Transformada de Fourier de tiempo discreto de la siguiente manera
𝑋
̃
(𝑒
𝑗𝜔
) = ∑
2 𝜋
𝑁
𝑎[𝑘]𝛿 (𝜔 −
2 𝜋𝑘
𝑁
)
∞
−∞
(3)
Y por consiguiente
𝑥̃
[ 𝑛
]
1
2 𝜋
∫ 𝑋
̃
(𝑒
𝑗𝜔
)
2 𝜋
0
𝑒
𝑗𝜔𝑛
𝑑𝜔 (4)
Luego, si se considera 𝑥̃
[ 𝑛
] donde 0 ≤ 𝑛 ≤ 𝑁 − 1 , tenemos que 𝑥̃
[ 𝑛
] = 𝑥[𝑛]
Ahora, se considera una señal periódica
𝑝̃ [𝑛] = ∑ 𝛿
∞
−∞
[𝑛 − 𝑙𝑁] (5)
Si se realiza la convolución de la señal 𝑥[𝑛] y 𝑝̃ [𝑛] , es decir 𝑥̃ [𝑛] = 𝑥[𝑛] ∗ 𝑝̃ [𝑛] , se puede
establecer que la señal 𝑥̃ [𝑛] se puede escribir de la siguiente manera
𝑥̃ [𝑛] = ∑ 𝑥
∞
−∞
[𝑛 − 𝑙𝑁] ( 6 )
Usando la Transformada de Fourier de la señal 𝑝̃ [𝑛] denotada como
𝑃
( 𝑒
𝑗𝜔
) = ∑
2 𝜋
𝑁
𝛿(𝜔 −
2 𝜋
𝑁
)
∞
−∞
( 7 )
𝐼
( 𝑋
[ 𝑘
]) = − ∑ 𝑥
[ 𝑛
]
. 𝑠𝑒𝑛 (
2 𝜋
𝑁
𝑘𝑛)
𝑁− 1
𝑛= 0
( 14 )
A partir de los cuales se calcula el
| 𝑋[𝑘]
| (espectro de amplitud) y la potencia media
cuadrática definida como
𝑋
[ 𝑘
]
2
= 𝑅
( 𝑋
[ 𝑘
])
2
( 𝑋
[ 𝑘
])
2
( 15 )
D) RELACION ENTRE LA TDF Y TF
Existe una relación entre la Transformada Discreta de Fourier y la Transformada de
Fourier que se puede intuir de la demostración realizada.
Se puede decir que la Transformada Discreta de Fourier es un muestreo de la
Transformada de Fourier dado que, si reemplazamos la frecuencia fundamental y se
cumplen las condiciones citadas anteriormente, ambas transformaciones coinciden.
TF:
𝑋(𝑒
𝑗𝜔
) = ∑ 𝑥[𝑛]. 𝑒
−𝑗𝜔𝑛
∞
−∞
( 16 )
TDF:
𝑋[𝑘] = ∑ 𝑥[𝑛]. 𝑒
−𝑗
2 𝜋
𝑁
𝑘𝑛
𝑁− 1
𝑛= 0
( 17 )
Relación entre TF y TDF:
𝑋
[ 𝑘
] = 𝑋
( 𝑒
𝑗𝜔
) ⌊𝜔 =
2 𝜋
𝑁
𝑘 ( 18 )
I. TRANSFORMADA DISCRETA DE FOURIER INVERZA
A. DEFINICION
A partir de la Transformada de Fourier obtenemos la secuencia en el dominio del tiempo
𝑥[𝑛], lo que permite generar la señal 𝑥[𝑛] a partir de sus muestras espectrales 𝑋[𝑘], se
define como
𝑥
[ 𝑛
]
1
𝑁
∑ 𝑋
[ 𝑘
] .
𝑁− 1
𝑛= 0
𝑒
−𝑗
2 𝜋
𝑁
𝑘𝑛
, 0 ≤ 𝑛 ≤ 𝑁 − 1 ( 19 )
También se puede expresar haciendo uso del twiddle factor
𝑥
[ 𝑛
] = ∑ 𝑋
[ 𝑘
] .
𝑁− 1
𝑛= 0
𝑊
𝑁
−𝑘𝑛
( 20 )
Como se puede apreciar existe simetría entre los dominios del tiempo y la frecuencia,
siendo la única diferencia entre la TDF directa y la TDF inversa es el factor de escala
1
𝑁
y
el cambio de signo en la función exponencial.
A modo de reflexión podemos decir que la TDF directa y la TDF inversa nos permiten
representar una señal 𝑥[𝑛] o un sistema LTI en uno y otro dominio sin pérdida de
información.
II. TRANSFORMADA DISCRETA MULTIDIMENSIONAL DE FOURIER
A. DEFINICION
La transformada discreta multidimensional de Fourier es una versión muestreada de la
Transformada de Fourier en tiempo discreto al evaluar en muestras de frecuencia que
están uniformemente espaciadas. Se sabe que la TDF común que conocemos,
transforma una secuencia unidimensional o en su defecto una matriz 𝑥
𝑛
, la cual es una
función de una sola variable discreta “n”. Así como la TDF unidimensional expresa la
entrada como una superposición de sinusoides, la TDF multidimensional expresa la
entrada como una superposición de ondas planas o sinusoides multidimensionales
donde dirección de oscilación en el espacio es
𝑘
𝑁
y las amplitudes son 𝑋
𝑘
. La
descomposición citada es sumamente importante para el procesamiento de imágenes
digitales ya que puede ser calcular como una secuencia de TDF unidimensionales a lo
largo de cada dimensión, como consecuencia, se puede dar un enfoque fila-columna al
algoritmo para calcularlo dando lugar a los algoritmos FFT multidimensionales.
B. TDF MULTIDIMENSIONAL DIRECTA
Por lo tanto, la TDF multidimensional de una matriz 𝑥
𝑛 1
,𝑛 2
,…,𝑛 𝑚
la cual es una función
de “d” variables discretas, donde 𝑛
𝑑
= 0 , 1 , … , 𝑁
𝑖
− 1 y 𝑖 = 1 , 2 , … , 𝑚, viene dada por
𝑘
1
,𝑘
2
,…,𝑘
𝑚
𝑛
1
,𝑛
2
,…,𝑛
𝑚
−𝑖
2 𝜋
𝑁
1
𝑛
1
𝑘
1
− … −𝑖
2 𝜋
𝑁
𝑚
𝑛
𝑚
𝑘
𝑚
𝑁
𝑚
− 1
𝑛
𝑚
= 0
𝑁
1
− 1
𝑛
1
= 0
Para 0 ≤ 𝑘
𝑖
≤ 𝑁
𝑖
− 1
También se puede expresar en términos del twiddle factor de la siguiente manera
Es claro que:
𝑧
[ 𝑛
] 𝛼𝑋[𝑘] + 𝛽𝑌[𝑘] (26)
Es claro que la propiedad sigue siendo válida si las DFT se toman con una longitud
común 𝑁 ≥ 𝑁
3
.
B. COMPLETITUD
La transformada discreta de Fourier es una transformación lineal e invertible.
ℱ ∶ ℂ
𝑁
⟶ ℂ
𝑁
( 27 )
donde ℂ denota el cuerpo de los números complejos. En otras palabras, para cada 𝑁 >
0 , cualquier vector complejo 𝑁 − 𝑑𝑖𝑚𝑒𝑛𝑠𝑖𝑜𝑛𝑎𝑙 tiene una DFT y una IDFT que
consisten también en vectores complejos 𝑁 − 𝑑𝑖𝑚𝑒𝑛𝑠𝑖𝑜𝑛𝑎𝑙𝑒𝑠.
C. ORTOGONAL
Los vectores 𝑒
2 𝜋𝑖
𝑁
𝑘𝑛
forman una base ortogonal sobre el cuerpo de los vectores
complejos 𝑁 − 𝑑𝑖𝑚𝑒𝑛𝑠𝑖𝑜𝑛𝑎𝑙𝑒𝑠:
∑ (𝑒
2 𝜋𝑖
𝑁
𝐾𝑛
)(𝑒
−
2 𝜋𝑖
𝑁
𝐾´𝑛
)
𝑁− 1
𝑛= 0
= 𝑁𝛿
𝐾𝐾´
( 28 )
Donde 𝛿
𝐾𝐾´
es la delta de Kronecker. Esta condición de ortogonalidad puede ser
utilizada para obtener la fórmula de la IDFT a partir de la definición de la DFT, y es
equivalente a la propiedad de unicidad.
D. TEOREMA DE DESFASE
Multiplicando 𝑥
𝑛
por una fase lineal 𝑒
2 𝜋𝑖
𝑁
𝑘𝑛
para cualquier entero m equivale a un
desplazamiento circular de la salida 𝑋
𝑘
: 𝑋
𝑘
se reemplaza por 𝑋
𝑘−𝑚
, donde el subíndice
se repite periódicamente (periodo N). De forma similar, un desplazamiento circular de
la entrada 𝑋
𝑘
por una fase lineal. Matemáticamente, si
{ 𝑥
𝑛
} representa el vector x
entonces:
Si:
ℱ(
{ 𝑥
𝑛
} )
𝑘
= 𝑋
𝑘
( 29 )
Entonces:
ℱ ({𝑥
𝑛
. 𝑒
2 𝜋𝑖
𝑁
𝑛𝑚
})
𝑘
= 𝑋
𝑘−𝑚
( 30 )
y
ℱ
({ 𝑥
𝑛−𝑚
})
𝑘
= 𝑋
𝑘
. 𝑒
−
2 𝜋𝑖
𝑁
𝑘𝑚
( 31 )
E. TEOREMA DE PLANCHEREL Y PARSEVAL
Si 𝑋
𝑘
y 𝑌
𝑘
son las DFTs de 𝑥
𝑛
y 𝑦
𝑛
respectivamente, entonces el teorema de Plancherel
establece que:
∑ 𝑥
𝑛
𝑦
𝑛
∗
𝑁− 1
𝑛= 0
=
1
𝑁
∑ 𝑋
𝑘
𝑌
𝑘
∗
𝑁− 1
𝑛= 0
( 32 )
𝐷𝐹𝑇
ርሮ
donde el asterisco denota conjugación compleja. El teorema de Parseval es un caso
especial del teorema de Plancherel, y dice que:
∑
| 𝑥
𝑛
|
2
𝑁− 1
𝑛= 0
=
1
𝑁
∑
| 𝑋
𝑘
|
2
𝑁− 1
𝑛= 0
( 33 )
Estos teoremas son también equivalentes a la condición de unicidad.
F. POLINOMIO DE INTERPOLACION TRIGONOMETRICA
El polinomio interpolador trigonométrico
𝑝
( 𝑡
)
1
𝑁
[𝑋
0
1
. 𝑒
𝑖𝑡
+... +𝑋 𝑁
2 − 1
. 𝑒
(
𝑁
2 − 1
)𝑖𝑡
2
. 𝑐𝑜𝑠 (
𝑁𝑡
2
)
2 + 1
. 𝑒
(
−𝑁
2 + 1
)𝑖𝑡
+... +𝑋
𝑁− 1
. 𝑒
−𝑖𝑡
] ( 34 )
Para N par.
𝑝
( 𝑡
)
1
𝑁
[𝑋
0
1
. 𝑒
𝑖𝑡
+... +𝑋 𝑁
2
. 𝑒
(
𝑁
2
)𝑖𝑡
2
. 𝑒
(
−𝑁
2
)𝑖𝑡
+... +𝑋
𝑁− 1
. 𝑒
−𝑖𝑡
] ( 35 )
Para N impar.
donde los coeficientes 𝑋
𝑘
vienen dados por la DFT de 𝑥
𝑛
anterior, satisface la propiedad
de interpolación
𝑝 (
2 𝜋𝑛
𝑁
) = 𝑥
𝑛
para 𝑛 = 0 , … …. , 𝑁 − 1 ( 36 )
Para N par, véase que la frecuencia de Nyquist
𝑋
𝑁/ 2
𝑁
cos (
𝑁𝑡
2
) ( 37 )
se maneja de forma especial.
Esta interpolación no es única: el aliasing implica que se podría sumar N a cualquier
frecuencia compleja sinusoidal (por ejemplo, cambiando 𝑒
−𝑖𝑡
por 𝑒
𝑖(𝑁− 1 )𝑡
) sin que se
altere la propiedad de interpolación, pero dando valores diferentes entre 𝑥
𝑛
puntos. De
todos modos, esto tiene dos propiedades interesantes. En primer lugar, consiste en
sinusoides cuyas frecuencias tienen las magnitudes más pequeñas posibles: la
interpolación es limitada en banda. Y, en segundo lugar, si 𝑥
𝑛
son números reales,
entonces 𝑝(𝑡) es también real.
En contraste, el polinomio de interpolación trigonométrica más obvio es el que cuyo
rango de frecuencias va de 0 a N-1 (en lugar de −
𝑁
2
𝑝𝑎𝑟𝑎 +
𝑁
2
como se ha visto
previamente), similar a la fórmula de la DFT inversa. Esta interpolación no minimiza la
pendiente, y en general no toma valores reales para un 𝑥
𝑛
real; su uso es un error común.
Algunos pares de DTF:
𝑛
𝑘
𝑁− 1
𝑛= 0
2 𝜋𝑖
𝑁
𝑘𝑛
𝑘
𝑛
𝑁− 1
𝑛= 0
−
2 𝜋𝑖
𝑁
𝑘𝑛
