Matematica divertida, Apuntes de Matemáticas

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Edición Original: Dover Publications Inc.. New York, 1986

Titulo original: Ehtertaíning Mathematical Puzzles

Traducción: Mirta Rosenberg

Diseño de Tapa: A. R.

Colección JUEGOS & Co.

Los Acertijos de Sam Loyd (vol. 1), selección y presentación de Martin Gardner

Magia Inteligente, Martin Gardner

Los Acertijos de Canterbury, Henry Ernest Dudeney

Mutemática para divertirse, Martin Gardner

MATEMÁTICA

PARA DIVERTIRSE

Para Jimmy

Introducción

A1 seleccionar el material de esta colección, he hecho todo lo posible por encontrar acertijos que fueran inusuales y divertidos, que sólo requirieran el más elemental conocimiento de matemática, pero que al mismo tiempo proporcionaran una mirada estimulante a los niveles más altos del pensamiento matemático.

Los acertijos (muchos de los cuales aparecieron en mi columna "On the Light Side" - "Del lado liviano" - de Science World ) están agrupadas por secciones que se ocupan de diferentes áreas de la matemática. Un breve comentario al principio de cada sección sugiere algo acerca de la naturaleza y la importancia de la clase de matemática que debe utilizarse para resolver los acertijos de cada sección. En las respuestas, he tratado de incluir tantos detalles como permitiera el espacio para explicar cómo se resuelve cada problema, y señalar algunos de los invitantes senderos que se alejan de los problemas en cuestión hacia áreas más intrincadas de la jungla matemática.

Tal vez al jugar con estos acertijos descubras que la matemática es más divertida de lo que creías. Tal vez te hagan desear estudiar la asignatura en serio, o sientas menos vacilaciones para abocarte al estudio de una ciencia para la que se requiera cierto conocimiento de matemática avanzada.

Por cierto, nadie puede dudar hoy del enorme valor práctico de la matemática. Sin su utilización, los descubrimientos y los logros de la ciencia moderna hubieran sido imposibles. Pero muchas personas no advierten que los matemáticos verdaderamente disfrutan de la matemática. Les doy mi palabra de que da tanta-^ satisfacción resolver un problema interesante por medio del pensamiento como voltear las diez clavas de madera con una sola bola de bowling.

En una de las más divertidas fantasías de L. Frank Baum, La Ciudad Esmeralda de 0z, Dorothy (junto con el Mago y su tío y su tía) visita la ciudad de Fuddlecumjig en el sector Quadling de Oz. Sus notables habitantes, los Fuddles, están hechos de pedazos de madera pintada ingeniosamente encastrados como rompecabezas tridimensionales. En cuanto un extranjero se les acerca, se desarman hasta formar una pila de piezas separadas en el piso, para que el visitante tenga el placer de volver a armarlos. Cuando el grupo de Dorothy está saliendo de la ciudad, la tía Em comenta:

"Esa es realmente gente extraña. pero de veras que no me doy cuenta de para qué sirven."

"Bueno, nos divirtieron durante varias horas", replica el Mago. "Estoy seguro de que eso nos fue útil".

"Creo que son más divertidos que jugar al solitario o al ta-te-ti” agrega el tío Henry. "Por mi parte, me alegra que los hayamos visitado".

Espero que puedan resistir la tentación de mirar la respuesta antes de haber intentado con toda seriedad resolver el problema. Y espero que cuando terminen con estos acertijos, estén contentos, igual que el tío Henry, de haber permitido que los confundieran.

Martin Gardner

CONTENIDO

PARA LEER MÁS

Acertijos Fáciles

Matemáticas Recreativas , Yacob Perelman. Editorial Mir, Moscú, 1965. Traducción al español de un libro del principal recopilador y creador de acertijos soviético.

Acertijos no tan Fáciles

Los Acertijos de Canterbury, Henry E. Dudeney, Granica, Buenos Aires, 1988.

Nuevos Pasatiempos Matemáticos , Martin Gardner, Alianza Editorial. Madrid. 1972. Recopilación de las columnas del autor en la revista "Scientiflc American".

Los Acertijos de Sam Loyd selección de Martin Gardner, Granica, Buenos Aires, 1988.

PRIMERA PARTE

ACERTIJOS

ARITMÉTICOS

LOS ZOQUETES DE COLORES

Hay diez zoquetes rojos y diez zoquetes azules mezclados en el cajón del armario. Los veinte zoquetes son exactamente iguales, salvo por el color. El cuarto está absolutamente a oscuras y tú quieres dos zoquetes del mismo color. ¿Cuál es el menor número de zoquetes que debes sacar del cajón para estar seguro de que tienes un par del mismo color?

SOLUCIÓN

Mucha gente, al tratar de resolver este acertijo, se dice: "Supongamos que el primer zoquete que saco es rojo. Necesito otro rojo para hacer el par, pero el próximo puede ser azul, y el próximo, y el próximo, y así hasta sacar del cajón los diez zoquetes azules. El siguiente zoquete tiene que ser rojo, así que la respuesta debe ser doce zoquetes".

Pero este razonamiento pasa algo por alto. No es necesario que el par sea de zoquetes rojos. Sólo es necesario que los dos zoquetes sean de igual color. Si los dos primeros no son iguales, es seguro que el tercero será igual a uno de los otros dos, de modo que la respuesta correcta es tres zoquetes.

PROBLEMA DE PESO

Si una pelota de basket pesa ½ kilo más la mitad de su propio peso, ¿cuánto pesa?

SOLUCIÓN

Antes de responder a este acertijo, es necesario saber exactamente qué significa cada palabra. Por ejemplo, se podría enfocar de esta manera: "La pelota de basket pesa ½ kilo. La mitad de su

peso debe ser ¼ de kilo. Sumamos estos valores y obtenemos la respuesta de ½ + ¼ = ¾ de

kilo."

Pero el problema consiste en descubrir el peso de la pelota, y si resulta ser de tres cuartos, entonces no puede ser de medio kilo como se afirma al principio. Resulta claro que hay una contradicción en este punto, así que debemos haber interpretado mal la pregunta.

Hay solamente una interpretación que tiene sentido. El peso de la pelota de basket es igual a la suma de los dos valores: 1/2 kilo y un valor desconocido que es la mitad del peso de la pelota de basket. Esto puede representarse en una balanza de platillos tal como se ve en la ilustración.

Si se retira media pelota de basket de cada platillo de la balanza, ésta seguirá en equilibrio.

Habrá un peso de 1/2 kilo en un platillo y media pelota de basket en el otro, de modo que media pelota de basket debe pesar 1/2 kilo y la pelota entera debe pesar el doble, o sea un kilo.

En realidad, sin saberlo, ¡hemos resuelto el problema por medio del álgebra! En vez de usar la ilustración, representemos media pelota de basket con la letra x. Y en vez de mostrar los dos platillos en equilibrio en una balanza, utilicemos el signo algebraico de igualdad. Ahora podemos escribir esta simple ecuación:

½ + x = x + x

Si se quita la misma cantidad de ambos lados de esta ecuación, seguirá "equilibrada". Así, si quitamos una x de cada lado, nos queda:

½ = x

Recordemos que x representaba la mitad de la pelota de basket. Si media pelota pesa ½ kilo, entonces la pelota entera debe pesar un kilo.

de plata, de 1 a 31, con cinco pedazos de plata si las longitudes de esas cinco piezas son de 1, 2, 4, 8 y 16 centímetros.

La tabla siguiente consigna los números binarios para cada día de marzo. Advertirás que para el 27 de marzo el número es 11011. Esto nos dice que los 27 cm de plata de la casera estarán formados por las piezas de 1, 2, 8 y 16 cm. Elige un día al azar y advierte con cuánta rapidez puedes calcular exactamente cuáles piezas de plata sumadas dan la cantidad que corresponde al número del día.

LOS TRES GATOS

Si tres gatos atrapan tres ratas en tres minutos, ¿cuántos gatos atraparán 100 ratas en 100 minutos?

SOLUCIÓN

La respuesta usual de este viejo acertijo es la siguiente: si a tres gatos les lleva tres minutos atrapar tres ratas, debe llevarles un minuto atrapar, cada rata. Y si les lleva un minuto cazar una rata, entonces los mismos tres gatos cazarán 100 ratas en 100 minutos.

Desafortunadamente, no es tan simple; esa respuesta presupone algo que por cierto no está expresado en el problema. Supone que los tres gatos han concentrado su atención en la misma rata hasta cazarla en un minuto, para luego dedicarse en conjunto a otra rata. Pero supongamos que en vez de hacer eso cada gato cace una rata diferente, y le lleve tres minutos atraparla. En ese caso, tres gatos seguirían cazando tres ratas en tres minutos. Les llevaría seis minutos cazar seis ratas, nueve minutos cazar nueve ratas, y 99 minutos cazar 99 ratas.

Ahora debemos enfrentar una curiosa dificultad. ¿Cuánto tiempo les llevará a esos mismos tres gatos cazar la rata número 100? Si les sigue insumiendo tres minutos la cacería, entonces los tres gatos demorarán 102 minutos para cazar las 100 ratas. Para cazar cien ratas en cien minutos - suponiendo que sea ésa la manera en la que los gatos cazan a sus ratas- por cierto necesitaremos más de tres gatos y menos de cuatro.

Por supuesto, es posible que cuando los tres gatos se concentran sobre la misma rata, tal vez puedan acorralarla en menos de tres minutos, pero nada en el enunciado del problema nos dice de qué modo podemos medir exactamente el tiempo que demandará esa operación. La única respuesta correcta al problema, entonces, es ésta: la pregunta es ambigua y no puede responderse si no se da más información acerca de la manera en que esos gatos cazan ratas.

SEGUNDA PARTE

ACERTIJOS

CON DINERO

Acertijos con dinero

"Si me das tu pistola de agua", dice el pequeño Tommy a su compañerito de juegos, "yo te daré mi camión". Esta clase de comercio es llamada "trueque". En las sociedades primitivas es la única manera en la que las cosas pueden "comprarse" y “venderse".

Si se piensa un momento en el tema se verá que es un sistema muy pobre. Un hombre que desee vender su vaca y comprarse un caballo no podrá hacerlo mientras no encuentre a otro que quiera vender su caballo y comprarse una vaca. Pueden pasar años antes de que encuentre a ese hombre. Y supongamos que un hombre quiera cambiar su vaca por una oveja que pertenece a un amigo y un cerdo que pertenece a otro. ¡No puede cortar su vaca por el medio y cambiar cada mitad por separado. De modo que ya ven, en cualquier sociedad complicada en la que se venden y compran muchas cosas, es necesario tener algo llamado dinero, algo que puede dividirse en cualquier cantidad que se desee y que tiene un valor con el que todo el mundo está de acuerdo.

En el pasado se ha usado casi cualquier cosa como dinero, pero el dinero de hoy consiste en monedas hechas de metal o billetes impresos. La matemática tiene pocos usos más importantes que el de saber resolver problemas de dinero. Los siguientes cinco problemas pondrán a prueba tu capacidad en este aspecto, y tal vez te enseñen unas cuantas cosas que antes no entendías del todo.