Matemática Financiera: Interés Compuesto - Ejercicios y Ejemplos, Ejercicios de Matemática Financiera

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FACULTADAD DE CIEMCIAS ECONOMICAS, ADMISTRATIVAS

Y DE COMERCIO

MATEMATICA

FINANCIERA

INTERES COMPUESTO

Variaciones de la fórmula del Monto en función de la tasa de

interés y las capitalizaciones:

EJEMPLO Nº

Calculemos el monto de un capital de $ 10.000,00 a interés compuesto durante 26 años y 6

meses, si la tasa de interés es del 8% anual capitalizable de la siguiente forma:

M = C

[

j

m

]

m ∗ t

a) Tasa del 8% efectiva:

M =10.

(

)

M =10.021,

i) Tasa del 8% capitalización continua:

M =10.000 e

(0.08 )( 26.50)

M =83.311,

EJEMPLO Nº

Si una empresa obtiene un préstamo de $ 4.000 a 7 años de plazo, con una tasa de interés del

18% anual capitalizable semestralmente, ¿qué monto debe pagar a la fecha de vencimiento y

qué interés?

se calcula i y n

n =

= 12 periodos

m =

m = 2

i =

=0.09= 9 % semestral

C =4.

M =4.000( 1 +0.09)

12

M =4.000(1.09)

12

M =4.000(2.812664)

M = $ 11.250,

Interés compuesto que debe pagar :

I = M-C

I =11.250,65−4.

I = $ 7.250,

 Monto compuesto con períodos de capitalización

fraccionarios

EJEMPLO Nº

Para el cálculo el monto de una deuda de $ 5.000 a interés compuesto durante 7 años y 5 meses

de plazo, con una tasa de interés del 8% anual capitalizable semestralmente, se tiene:

a) Cálculo matemático

n =

=14,83 semestres

i =

i =0.

M =5.000 ( 1 +0.04 )

M =5.000 ( 1.04 )

M = $ 8.944,

b) El cálculo comercial, aplica la parte entera de n en la fórmula del monto compuesto

(interés compuesto) y la parte fraccionaria en la fórmula del monto de interés simple.

En otras palabras, el método comercial aplica interés compuesto a la parte entera e interés

simple a la parte fraccionaria. En el ejemplo anterior, con el método comercial se tiene:

M =5.000(1.04 )

12

[ 1 +0.

(

)

]

M =5.000 ( 1.60103) ( 1.03)

M = $ 8.245,

EJEMPLO Nº

a)

t

1

b)

t

2

a) Con el año comercial

M =4.000.000 .00 e

(0.07 ) (0.2694)

M =4.000.000 .00 e

M =4.076 .155,

Interés =4.076 .155,89−4.000.

Interes =76.155,

b) Con el año calendario:

M =4.000.000 e

(0.07 ) 0.

M =4.000.000 e

M =4.075.092, 15

Interés =4.075 .092,15−4.000.

Interes =¿ 75.092,

Esta forma de cálculo da un resultado mayor que si se realizara con la fórmula del interés

simple: I = Cit y la del Monto = C + I

c) Con el año comercial y tasa de interés anual

I =4.000.000 ( 0.07 )

(

)

I =75.444,

M =4.000.000+ 75.444,

M =4.075.444,

d) Con el año calendario y tasa de interés anual

I =4.000.000 ( 0.07 )

(

)

I =74.410,

M =74.410,95+ 4.000.

M =4.074 .410,

EJEMPLO Nº

Calcular el valor actual 95 días antes de su vencimiento de un documento

financiero suscrito a 2-1.0 días de plazo, por un monto de $ 6.000.000,00,

si se considera una tasa de interés del 5% anual con capitalización

continua:

Resolución:

C = M e

− it

a) Con el año comercial:

C =6.000 .000 e

−0.

95

360

C =6.000 .000 e

−0.

C =5.921.353,

b) Si se calcula con el interés simple:

C =

(

)

C =

C =5.921.890,

c) Con el año calendario:

M = 20 ( 1.01)

12

M = $ 22, 53

A una tasa de interés efectiva del 22,53%:

M = 20 ( 1 +0.2253)

M = $ 22,

 Fórmula de equivalencia tasa nominal / tasa efectiva

EJEMPLO Nº

Así, para conocer a qué tasa efectiva de interés equivale una tasa nominal

del 15% anual capitalizable trimestralmente, se realiza el siguiente cálculo:

1 + i

j

m

m

En este caso :

i =? j = 15 % m = 4

1 + i

4

1 + i

4

( 1 + i )=(1.037)

4

( 1 + i )=1.

i =1.156− 1

i =0.156 %

EJEMPLO Nº

Así, para conocer a qué tasa efectiva de interés equivale una tasa nominal

del 19% anual capitalizable trimestralmente, se realiza el siguiente cálculo:

1 + i

j

m

m

En este caso :

i =? j = 19 % m = 4

1 + i

4

1 + i

4

1 + i

4

( 1 + i )=1.

i =1.201− 1

i =0.201 %

 Por exponentes o radicales

EJEMPLO Nº

También se puede plantear el problema inverso: ¿A qué tasa nominal

capitalizable trimestralmente es equivalente una tasa efectiva del 0,156%?

Para la solución de este problema utilizamos la ecuación de equivalencia:

1 + i

(

j

m

)

m

i +0,

(

j

)

4

j

4

Para encontrar la respuesta pueden emplearse dos métodos: exponentes o

radicales y logaritmos.

Elevamos ambos miembros a la misma potencia y la igualdad no se altera.

1

4

(

j

)

4

4

j

 Por logaritmos

EJEMPLO Nº

log

=log

(

j

)

4

0.475330= 4 log

(

j

)

=log

(

j

)

0.015844=log

(

j

)

antilog ( 0.015844)= 1 +

j

j

j

j

0.037 ( 4 )= j

j =0.

j =14,8 %

EJEMPLO Nº

log

=log

(

j

)

2

0.025305= 2 log

(

j

)

=log

(

J

)

0.0126525=log

(

j

)

antilog ( 0.0126525)= 1 +

j

j

j

j

0.029561 ( 2 )= j

j =0.

j = 5,912 % anual, capitalizable semestralmente.

 Fórmulas para tasas equivalentes con

capitalización continua

EJEMPLO Nº

¿A qué tasa efectiva es equivalente una tasa del 8% anual con

capitalización continua, en una serie de depósitos?

i c

= e

i

c

i

c

¿A qué tasa anual con capitalización continua es equivalente una tasa

efectiva del

0.083287= e

i

0.083287+ 1 = e

i

¿ 1.083287= i ∈ e

0.080= i

i = 8 %

EJEMPLO Nº

i =0.

i =5.09 %

Con la tasa de interés del 3,9% anual, capitalizable mensualmente:

1 + i =

(

)

12

i =1.039703− 1

i =0.

i =3.97 %

EJEMPLO Nº

Solución Practica

Con tasa efectiva del 5,15%:

M = 6000 ( 1 +0.0515)

2

M = $ 6.633,

Con tasa del 5,1 % anual, capitalizable semestralmente:

M = 6000

(

)

4

M = $ 6.635,

Con tasa del 4% anual, capitalizable trimestralmente:

M = 6000

(

)

8

M = $ 6497.

Con tasa del 3,9% anual, capitalizable mensualmente:

M = 6000

(

)

24

M = $ 6485.

 Tasa de interés anticipada

EJEMPLO Nº

¿A qué tasa de interés efectiva anticipada es equivalente una tasa anticipada del 8% anual,

capitalizable cuatrimestralmente?

m =

m = 3

1 + i =( 1 −

− 3

i =1.084464− 1

i =0,

i =8,446 %

EJEMPLO Nº

¿A qué tasa de interés anticipada anual, capitalizable cuatrimestralmente, es equivalente una

tasa efectiva anticipada del 9,56827%?

(

j

)

− 3

− 1

3

j

j

( 0.03) 3 = j

j = 9 % anual , capitalizable cuatrimestral anticipada.

 Cálculo de la tasa de interés

EJEMPLO Nº

¿A qué tasa efectiva se convertirá un capital de $ 20.000 en un monto de $ 25.000, en 8 años?

M = C ( 1 + i )

n

M

C

=( 1 + i )

n

=( 1 + i )

8

1.25=( 1 + i )

8

M = $ 70.

t = 5 ; m = 4 ; m. t = 20

M

C

(

j

m

)

m.t

1

20

(

j

)

20

20

1

20

(

j

)

(

j

)

( 0.028376) 4 = j

0.113504= j

j =11.3504 % anual , capitalizable trimestralmente.

 Cálculo del tiempo en interés compuesto

EJEMPLO Nº

¿En qué tiempo, expresado en años, meses y días, un capital de $ 2.000 se convertirá en $ 2.

a una tasa de interés del 16% efectiva?

M =2.

C =2.

i = 16 %

M

C

=( 1 + i )

n

n

n

log 1,25= n log(1,16)

log 1.

log 1.

= n

= n

n =1.5 años

Para calcular el tiempo en años, meses y días se plantea una regla de tres considerandos el año

comercial:

1 año −−−−−−−¿ 360 días

0.5−−−−−−−¿ x días

x =

x = 180 días

Tiempo = 6 meses

EJEMPLO Nº

¿En qué tiempo un capital de $ 3.500 se convertirá en $ 6.625 a una tasa de interés del 28%

anual, capitalizable mensualmente?

M = $ 6.

C = $ 3.

j =0,

M

C

(

j

m

)

12. t

(

)

12. t

12. t

Por logaritmos:

log 1.89= 12 t log ( 1.021)

log

= 12 t

= 12 t

30 = 12 t ( meses )

= t ( años )

2.5= t ( años )