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Capitulo No^ 2.Anualidades Prepagables o Anticipadas o de Imposición.
CAPÍTULO No^2 ANUALIDAD CIERTA, TEMPORAL,INMEDIATA, PREPAGABLE o ANTICIPADAS o de IMPOSICIÓN, CONSTANTE,SIMPLE. Anualidad cierta (se conocen las condiciones de antemano, es decir ,se conoce el plazo, la tasa, la capitalización,..) temporal (tiene un número determinado de pagos o depósitos), inmediata (se valora la renta al inicio y al final) prepagable o anticipada o de imposición (el flujo de efectivo se realiza al inicio de cada período) constante (todas las rentas son iguales), y simple (el período de la renta y la tasa deben estar en la misma unidad de tiempo), si el período de la renta es anual la tasa efectiva debe ser anual; si el período de la renta es semestral la tasa efectiva debe ser semestral;…) Valor futuro o Monto de una anualidad prepagable o anticipada o de imposición. Se realizan “n” depósitos o pagos iguales de Au.m=R u.m. cada una a una tasa efectiva del “i” expresado en tanto por uno por período, en “n” períodos iguales de tiempo. Los depósitos o pagos de A = R = u.m.. realizados al inicio de cada período generan intereses compuestos, hasta la fecha final. Aplicando una ecuación de equivalencia financiera tomando como fecha focal el final del período “n”. El primer deposito o pago de “A = R ”se realiza al inicio del primer año, está colocado a interés compuesto durante n años, al final de la transacción se tiene: F 1 =A (1+i) n^. El segundo depósito o pago de “A = R ” se realiza al inicio del segundo año, está colocado a interés compuesto durante (n – 1) años, al final de la transacción se tiene: F 2 =A (1+i)n^ ^1. El tercer depósito o pago de “A = R ” se realiza al inicio del tercer año, está colocado a interés compuesto durante (n – 2) años, al final de la transacción se tiene: F 3 =A (1+i) n^ ^2.
Capitulo No^ 2.Anualidades Prepagables o Anticipadas o de Imposición. El cuarto depósito o pago de “A = R” se realiza al inicio del cuarto año, está colocado a interés compuesto durante (n – 3) años, al final de la transacción se tiene: F 4 =A(1+i) n^ ^3. ………………………………………………………………………………………… El (n – 1) ésimo depósito o pago de A = R” se realiza al inicio del año (n – 1), está colocado a interés compuesto durante 2 años, al final de la transacción se tiene: F(n–1) =A (1+i) 2. El n- ésimo depósito o pago de A = R” se realiza al inicio del año n, está colocado a interés compuesto durante 1 año, al final de la transacción se tiene: Fn=A (1+i) 1
El valor futuro (VF) de las n cuotas (depósitos o pagos) es la suma de toda las cuotas con sus respectivos intereses.
FCS FactordeCapitalizacióndelaserie uniforme
n n n i n
VF A i i i i i i i ,
( 1 ) 1 (^1 ) 1 (^1 ) 1 (^1 ) 1 2 1 1 1 0
(^) in
n VF A ( 1 i ) (^1 ii )^1 A ( 1 i ) FCS ;
^
Notas: a) El modelo matemático (fórmula) nos da el valor futuro o capital formado o el monto de las n cuotas prepagables o justamente después que el último pago ha sido efectuado. b) El modelo matemático(fórmula) contiene cuatro variables: valor futuro(VF) ,cuota o pago o deposito( A), número de períodos(n) y la tasa efectiva por
A(n 1 )
A (1+i) n^ ^^2
A (1+i) 2
0 HT
FF A(1+i)n
A (^1) A 3 (^1 2) n (^2) n 1 n
A (1+i) 1
A (1+i) n^ ^^1
VF
n períodos (n 1) períodos (n 2)períodos
A 2
2períodos 1períodos An
Capitulo No^ 2.Anualidades Prepagables o Anticipadas o de Imposición. Cálculo de la cuota periódica (A) en función del valor futuro (VF) del número de períodos(n) y de la tasa por período(i).
De
^
i VF A ( 1 i ) (^1 i )^ n^^1 despejando ( 1 )( 1 ) 1
( 1 ) (^1 )^1
(^) (^) n (^) i in VF i
i i i
A VF ;
Ejemplo No 2 Elmer de la Cruz decidió hoy comprar dentro de cinco meses un equipo cuyo precio de lista es de 50 000,00 u.m (suponga que el precio no varía). ¿Cuánto debe ahorrar al inicio de cada mes durante ese periodo de tiempo ,en una institución financiera cuya tasa nominal anual es del 30,6% capitalizable mensualmente.? Solución. Elmer de la Cruz decidió comprar hoy dentro de cinco meses un equipo , debe ahorrar durante cinco meses(al inicio de cada mes): la primera cuota al inicio del período uno (momento cero) la segunda al inicio del período dos (fin del período uno),…, la quinta al inicio del período cinco (fin del período cuatro). A 1 = A 2 =….=A 5 =A
TEM TNA.^ capitm . 12 mensual ^0. 12306 0 , 0255 o 2,55%; n = 5; vf = 50 000,00 u.m.
^ ^
^
i VF A 1 i^1 i^51
^
50000 A ( 1. 0255 ) (^1.^0255 )^51
(^1) , 0255 ( 1 , 0255 ) 1
A 5 A = 9 266,54 u.m
Interpretación. Para comprar el equipo cuyo precio de lista es de 50 000,00 u.m. dentro de cinco meses Elmer de la Cruz debe ahorrar desde hoy cinco cuotas prepagables de
A 5
Ho y =0 (^1 2 3 4 )
VF
HT A 2 A 3
Dentro de 1 (^) Dentro de 2 (^) Dentro de 3 Dentro de 5
A 1 A 4
Dentro de 4
TEM=i=0,0255; n = 5 meses^ compra
Capitulo No^ 2.Anualidades Prepagables o Anticipadas o de Imposición. A=R = 9266,54 u.m. a una tasa efectiva mensual :TEM = 2,55% = 0,0255 en tanto por uno. ……………………….. Con Excel, Función financiera pago: = pago(tasa; nper; va:vf;tipo) Tasa=0,0255; nper = 5 años; pago =..?; va = 0; vf = 50000,00 ; tipo =1 porque los pagos se realizan al inicio de cada período.
Cálculo del número de períodos(n) en función del valotr futuro (VF) de la cuota o pago (A) y de la tasa por período(i) Ejemplo No 3 Cuántos cuotas prepagables iguales mensuales de 250,00 u.m. serán necesarios depositar para acumular un monto de 3 014,87u.m. si la tasa nominal anual es de 18,3% capitalizable mensualmente. Solución. A = 250,00 u.m. VF= 3 014,87 u.m. n =… meses. TNA = 0,183 capit.mensual.
TEM TNA.^ capitm . 12 mensual ^012 ,^183 0 , 01525
^ ^
^
TEM
VF A 1 TEM^1 TEM^ n^^1 ^ ^
^
3014 , 87 2501 , 01525 1 ,^01525^ n^1
( 1 , 01525 ) n 3014250 ,^87 ( 1 ,( 015250 ,^01525 ) ) 1
^ 1
n log( 1 , 01525 ) log^3014 ,^87 (^0 ,^01525 )
(^) log( 1 , 01525 )
log^3014250 ,^87 ( 1 ,( 015250 ,^01525 ) ) 1 n n = 11 meses.
Capitulo No^ 2.Anualidades Prepagables o Anticipadas o de Imposición. anual cargada en el financiamiento es de 13,2% = 0,132 en tanto por uno. Con Excel, Función financiera tasa: = tasa(nper;pago; va:vf;tipo) Tasa= ..?; nper = 5 años ; pago = 800 va = 0; vf = 5 891.89u.m. ; tipo = porque los pagos se realizan al inicio de cada período.
Tasa efectiva anual es de 13,19998% ó 0,1319998 en tanto por uno
Valor presente de una anualidad anticipada. Actualizando los n depósitos iguales a A u.m. fecha focal momento cero, Sea P el valor presente de todos los depósitos. A 1 =A 2 =A 3 = =An
(^) donde A A A A A i
A
i
A
i
A
i P A n n ntér os
n (^) n nn
1 2 ( 1 ) min
( 1 1 )^0 ( 1 2 )^1 ( 1 )^12 ( 1 )^1 :
(^) ntér os
n n ntér os
P A i i in (^) in A i i i min
1 2 1 min
(^0 121) ( 1 )
1 ( 1 )
1 ( 1 ) 1 1 ( 1 )
1 ( 1 )
1 ( 1 )
1 ( 1 )
1
VF Hoy = 0 1 (^2) n 2 n (^1) n
HT
A (^1) A (^2) A 3 A(n-1) (^) An
Actualizando los n depósitos
FF
Capitulo No^ 2.Anualidades Prepagables o Anticipadas o de Imposición.
Suma de los n términos de una progresión geométrica donde t 1 = 1 y q (^1) ^1 i
^
n in
n n
n n
n n n PG (^) i i i FSA i i i
i
i
i
i
i
i
i
i
i q S t q
( 1 )^11
n in
n P A ( 1 i ) (^1 i ( 1 i ) i )^1 A ( 1 i ) FSA ;
También. El valor presente de una anualidad es aquella cantidad P de dinero que con sus intereses compuestos, en el tiempo n de la anualidad, dará un monto VF 1 = P(1+i)n
El monto F=VF =P(1+i)n^ será pagado con A cuotas a una tasa efectiva i durante n periodos
^
i P ( 1 i ) n^ A ( 1 i ) (^1 i )^ n^1 ^ n in
n P A ( 1 i ) (^1 i ( 1 i ) i )^1 A ( 1 i ) FAS ;
Cálculo del valor actual o valor presente (VA=P) en función de la cuota (A) de la tasa de interés(i) y del número de cuotas(n). Ejemplo No 5 Juan Jaramillo alquila a la empresa ARIES.S.A un inmueble en 7 000,00 u.m. mensuales adelantadas, una de las cláusulas del contrato de arrendamiento establece que el arrendatario debe depositar en la cuenta de ahorros del arrendador la renta pactada. Si la tasa pasiva es de 1.85%.hallar el valor actual del alquiler de un año. Solución.
Hoy = 0 P
VF 1 =P(1+i)n HT
i; n
(^0 1 2) n n 1 n
A 1 A 2 A 3 An 1 An^ HT
^ i VF 2 A ( 1 i )(^1 i )^ n^^1 VF 2
Capitulo No^ 2.Anualidades Prepagables o Anticipadas o de Imposición.
Cálculo de la tasa efectiva mensual: TEM TNA.^ capm. mensual ^012 ,^156 0 , 013
Hoy y dentro de 5 meses implica 6(seis Cuotas anticipadas)
^
i P ( 1 i ) n^ A ( 1 i ) (^1 i )^ n^1
^
TEM
P ( 1 TEM )^6 A ( 1 TEM ) (^1 TEM )^61
^ ^
^
18000 ( 1. 013 )^6 A 1 , 013 1 ,^01361
6
6 A
A = 3 097,70 u.m. Con Excel. Funcion cuota o pago: =pago(tasa; nper; va;vftipo) Tasa =0,013; nper = 6 ; va= 18 000; vf = 0; tipo = 1 por que son anualidades prepagables.
Pago =A = 3 097,6990 3 097,70 u.m. Cálculo del número de períodos( n) en función del valor presente o valor actual(P) la cuota o pago(A) y la tasa de interes por período(i). Ejemplo No 7 Carlos Torres solicita un préstamo de 65 000,00 u.m. al banco XYZ,la deuda será cancelada mediante cuotas mensuales anticipadas de 2 547,48 u.m. a una tasa nominal anual del 25,5% capitalizable mensualmente.Hallar el número de cuotas. Solución.
Hoy=0^ A1^ A2^ n = 6 A3 ; TEM = i^ A4^ A5^ A6^ HT
VF (^0 1 2 3 4 ) 6 P
Capitulo No^ 2.Anualidades Prepagables o Anticipadas o de Imposición.
Cálculo de la tasa efectiva mensual: TEM TNA.^ capm. mensual ^0 , 12255 0 , 02125
A= 2547,48 u.m., n = ...?, anualidades prepagables.
^ i P ( 1 i ) n^ A ( 1 i ) (^1 i )^ n^1
65000 ( 1 , 02125 ) 2547 , 48 1 , 02125 (^1 ,^021250 , 02125 )^1 ,
n ^^ n n = 36 meses
Con derive
Cálculo de la tasa por período( i )en función del valor actual o valor presente (VA= P) de la cuota o pago(A) y del número de períodos(n). Ejemplo No 8 Alberto Paredes solicita un préstamo de 80 000,00 u.m. al banco XYZ,la deuda será cancelada mediante 24 cuotas mensuales prepagables de 4 237, u.m..Hallar la tasa activa mensual. Solución. P = 80 000,00 u.m.,A = 4 237,52 ., n = 24. i = TEM=..? ; (1+TEM)^12 = (1+TEA)^1
^ i P ( 1 i ) n^ A ( 1 i ) (^1 i )^ n^1
18 , 87896694 4237 , 52
80000 , 00 ( 1 ) ( 1 )(^1 )^1 24
24 A
P i i E i i
Por aproximaciones sucesivas
Hoy =0^ A1^ A2^ TEM = i=0,02125A3^ A(n 1)^ An^ HT
VF 0 1 2 (n^ 2)^ n- 1 n P
Hoy = n =24 ; TEM = i=?
A (^1) A 2 A 3 R 23 R 24 HT
VF 0^1 2 23 24 P
Capitulo No^ 2.Anualidades Prepagables o Anticipadas o de Imposición.
^ i P ( 1 i ) n^ A (^1 i )^ n^1
^ TEB P ( 1 TEB )^10 A (^1 TEB )^101
(^)
^
P ( 1 , 0177 )^1020001 ,^0177101 Pvencidas = 18 183,29u.m.
c) Calcular y explicar la diferencia entre a y b c-1) El valor presente de las rentas anticipadas Pantici = 18 505,14 u.m.es mayor al valor presenta de las rentas vencidas Pvencidas = 18 183,29u.m. en 321,85 u.m. en P= Panticip – Pvencidas = 321,85 u.m. c-2)La diferencia P= Panticip – Pvencidas = 321,85 u.m.se debe a los intereses corresponden a los intereses que genera Pvencidas = 18 183,29u.m. durante un año a una TEB = 0, I =(18 183,29)(0,0177)(1) = 321,84 u.m La diferencia de centavos se debe al proceso de redondeo
Ejemplo No 10 El propietario de un departamento de 500 000u.m. recibe las siguientes propuestas: a) 20% de cuota inicial y el saldo en 12 cuotas bimestrales vencidas de 46 260 u.m a una tasa nominal semestral del15% capitalizable bimestralmente; b) 24 pagos mensuales prepagables o anticipados o de imposición de 31 217 u.m.a una tasa nominal cuatrimestral del 16% capitalizable mensualmente. Que propuesta le conviene más? Solución. a) 20% de cuota inicial y el saldo en 12 cuotas bimestrales de 46 260 u.m a una tasa nominal semestral del15% capitalizable bimestralmente; Corresponde a Anualidades pospagables,vencidas u ordinarias. cuota inicial del 20% = 0.20(500000) = 100 000, n = 12 cuotas bimestrales
TEB TNSdel^0 ,^15 capitalizam 3 blebimestralmente 0 , 05 , A = R = 46 260 u.m
11 12
A=46260 (^) A=462 60 A= 100000
A=
Hoy 0 1 2 TEB = 0,05 o 5%; n = 12 bimest
Capitulo No^ 2.Anualidades Prepagables o Anticipadas o de Imposición. Calculamos el valor presente P de todas las anualidades ordinarias A
^ ^
TEB
P ( 1 TEB ) n^^1246260 (^1 TEB )^ n^121
^
P ( 1 , 05 )^1246260 (^1 ,^05 )^121
P =410 014,02 u.m Le pagaron por el departamento = 100 000,00 + 410 014,02=510 014,02 u.m b) 24 pagos mensuales anticipados de 31 217 u.m.a una tasa nominal cuatrimestral del 16% capitalizable mensualmente.
m
TEM TNC del capitalizablemensualmente
Calculamos el valor presente P de todas las anualidades ordinarias A
(^)
^ ^
TEM
P ( 1 TEM ) n^^24312171 TEM (^1 TEM )^ n^241
(^)
^
P ( 1 , 04 )^24312171. 04 (^1 ,^04 )^241 P =495 003,03 u.m
le conviene la propuesta a
AUTOEVALUACION. En todos los problemas diseñar el diagrama de flujo de efectivo 1) Suponga que la Empresa ABC reserva 3 000,00 u.m. al principio de cada cuatrimestre para a crear un fondo para una futura remodelación. Si los depósitos lo realiza en una institución financiera cuya nominal semestral es del 6% capitalizable cuatrimestralmente. Hallar que cantidad tendrá el final del noveno cuatrimestre.
- Elmer de la Cruz decidió hoy comprar dentro de siete bimestres un equipo cuyo valor de venta es de 40 000 u.m (suponga que el precio no varía). ¿Cuánto debe ahorrar al inicio de cada bimestre durante ese periodo de tiempo ,en una institución financiera cuya tasa nominal trimestral es del 30% capitalizable bimestralmente.?
23 24
A= 31 217 A=31 217 (^) A=31 217 A=31 217
Hoy 0 1 2 TEM^ = 0,0^4 o^ 4%; n = 24 meses
FF P
Capitulo No^ 2.Anualidades Prepagables o Anticipadas o de Imposición.
- Cuántos pagos anticipados iguales mensuales de 10 000,00 u.m. serán necesarios depositar para acumular un monto de 118 077,96 u.m. si la tasa nominal anual es de 36% capitalizable mensualmente.
- Por un artefacto electrodoméstico financiado a 18 meses, se paga en cuotas mensuales anticipadas de 632,75 u.m. Si el monto total cancelado es de 12 842,78 u.m. Hallar la tasa efectiva anual cargada en el financiamiento. 13) Ana Cabieses alquila a la empresa CARACOL S.A.C un inmueble en 8 5 00,00 u.m. mensuales adelantados, una de las cláusulas del contrato de arrendamiento establece que el arrendatario debe depositar en la cuenta de ahorros del arrendador la renta pactada. Si la tasa pasiva es de 1. 5 %.hallar el valor actual del alquiler de un año.
- Carlos Torres solicita un préstamo de 65 000,00 u.m. al banco XYZ,la deuda será cancelada mediante cuotas anticipadas de 8 693,75 u.m. a una tasa activa es de 6,25%. Hallar el número de cuotas.
- Suponga que va a depositar 12 cuotas trimestrales de 4 000 u.m en una institución financiera cuya tasa nominal semestral es del 6,34% capitalizable trimestralmente. a) Calcular el Valor presente si los depósitos son prepagables o anticipados o de imposición. b) Calcular el valor presente si los depósitos son pospagables o vencidos u ordinarios. c) Calcular y explicar la diferencia entre a y b.
- El propietario de un departamento de 600 000u.m. recibe las siguientes propuestas: a) 20% de cuota inicial y el saldo en 12 cuotas trimestrales vencidas de A = R = 83 034.58 u.m a una tasa nominal semestral del 28.% capitalizable trimestralmente; b) 18 cuotas bimestrales prepagables o anticipados o de imposición de A = R =85 511,33 u.m una tasa nominal semestral del 24.% capitalizable bimestralmente;
