¡Descarga Ejercicios de Capitalización Compuesta: Interés Compuesto y Monto y más Apuntes en PDF de Matemática Financiera solo en Docsity!
Interés compuesto Objetivo general: Conocer el concepto de interés compuesto y sus aplicaciones en la liquidación de documentos financieros, endeudamiento e inversiones ah cualquier plazo. Presentación: Conocimiento y maneja del interés compuesto es necesario en las operaciones financieras a largo plazo, eh operaciones de inversión de capital, en los cálculos del monto, del interés y del tiempo. Este tipo de interés se va capitalizando de acuerdo con el tiempo, medido en periodos de capitalización o conversión. Igualmente, el concepto y aplicación del valor actual es básico en el interés compuesto para manejar en documentos eh inversiones financieras el largo plazo. Generalmente el interés simple se utiliza a corto plazo, hasta un año y el interés compuesto a largo plazo, más de un año. Interés Compuesto: El interés de un capital al que se le va acumulando los réditos para que se produzcan otros, cuando se calcula interés compuesto, el capital aumenta por la adición de los intereses vencidos al final de cada uno de los periodos a que se refiere la tasa de interés. Siempre que no se pague efectivamente el interés al final de un periodo, sino que se adicione al capital se dice que los intereses se van capitalizando el interés compuesto se caracteriza por que el interés generado, en una unidad de tiempo se suma al capital y este valor nuevamente gana intereses y se acumula al nuevo capital y así sucesivamente tantas veces como periodo de capitalización se hayan establecido. Calcular el monto, el interés simple y el interés compuesto de un capital de 4 millones a una tasa de interés del 10% durante 6 periodos. Cálculo del interés Simple I = C * i * t I = Interés C= Capital i = tasa de interés t = Tiempo CALCULO I = 4 000 000 * 10% * 6 I = 2 400 000 Cálculo del Monto M = C(1+i*t) M = Monto
C = Capital i = Tasa de Interés t = Tiempo CALCULO M = 4 000 000 (1 + 10% * 6) M = 6 400 000 Cálculo del Interés Compuesto Para el primer periodo M = C(1+it) M = 4 000 000 (1 + 10% * 1) M = 4 400 000 Para el segundo periodo M = C(1+it) M = 4 400 000 (1 + 10% * 1) M = 4 840 000 Para el tercer periodo M = C(1+it) M = 4 840 000 (1 + 10% * 1) M = 5 324 000 Para el cuarto periodo M = C(1+it) M = 5 324 000 (1 + 10% * 1) M = 5 856 400 Para el quinto periodo M = C(1+it) M = 5 856 400 (1 + 10% * 1) M = 6 442 040 Para el sexto periodo M = C(1+it) M = 6 442 040 (1 + 10% * 1) M = 7 086 244 Puede notarse la diferencia, en el mismo tiempo y con la misma tasa de interés del monto total que producen: Monto del interés simple: 6 400 000 Monto de interés compuesto: 7 086 244 En el siguiente cuadro se demuestra el comportamiento del interés simple y interés compuesto y sus respectivos montos. Periodo Monto Interés Simple Interés Monto Interés Compuesto Interés Diferencia 1 4 400 000 400 000 4 400 000 400 000 0 2 4 800 000 800 000 4 840 000 840 000 40 000 3 5 200 000 1 200 000 5 324 000 1 324 000 124 000 4 5 600 000 1 600 000 5 856 400 1 856 400 256 400 5 6 000 000 2 000 000 6 442 040 2 442 040 442 040 6 6 400 000 2 400 000 7 086 244 3 086 244 686 244
- 9% capitalizable en forma semestral por 10 años Periodo de Capitalización (n) = Tiempo * la Capitalización = 20 Tasa de Interés (i) = Interés dividido para el periodo de capitalización = 0. 3. 12% capitalizable en forma anual por 4 años Periodo de Capitalización (n) = Tiempo * la Capitalización = 4 Tasa de Interés (i) = Interés dividido para el periodo de capitalización = 0.
- 6% capitalizable en forma semestral por 2 años Periodo de Capitalización (n) = Tiempo * la Capitalización = 4 Tasa de Interés (i) = Interés dividido para el periodo de capitalización = 0.
- 10% capitalizable en forma trimestral por 11 años Periodo de Capitalización (n) = Tiempo * la Capitalización = 44 Tasa de Interés (i) = Interés dividido para el periodo de capitalización = 0.
- 8 enteros ¾ % capitalizable en forma semestral por 20 años 8*4 = 32+3 = 35/4 = 8.75% Periodo de Capitalización (n) = Tiempo * la Capitalización = 40 Tasa de Interés (i) = Interés dividido para el periodo de capitalización = 0.
- 8 enteros ½ % capitalizable en forma mensual por 9 años 8*2 = 16+1 = 17/2 = 8.5% Periodo de Capitalización (n) = Tiempo * la Capitalización = 108 Tasa de Interés (i) = Interés dividido para el periodo de capitalización = 0.
- 10 enteros ½ % capitalizable en forma trimestral por 7 años 10*2 = 20+1 = 21/2 = 10.5% Periodo de Capitalización (n) = Tiempo * la Capitalización = 28 Tasa de Interés (i) = Interés dividido para el periodo de capitalización = 0.
- 11% capitalizable en forma mensual por 5 años Periodo de Capitalización (n) = Tiempo * la Capitalización = 60 Tasa de Interés (i) = Interés dividido para el periodo de capitalización = 0.
- 15% capitalizable en forma trimestral por 5 enteros ½ años 5*2 = 10+1 = 11/2 = 5. Periodo de Capitalización (n) = Tiempo * la Capitalización = 22
Tasa de Interés (i) = Interés dividido para el periodo de capitalización = 0.
- 8% capitalizable en forma trimestral por 3 años y 3 meses Periodo de Capitalización (n) = Tiempo * la Capitalización = 13 Tasa de Interés (i) = Interés dividido para el periodo de capitalización = 0.
- 9% capitalizable en forma mensual por 5 años y 7 meses Periodo de Capitalización (n) = Tiempo * la Capitalización = 67 Tasa de Interés (i) = Interés dividido para el periodo de capitalización = 0. Determinar el importe compuesto o monto y el interés compuesto de los siguientes ejercicios M = C (1+ i/n) ^n M = Monto I = Tasa de interés N= Numero de periodo de capitalización M = C + I I = Interés C = Capital M = Monto Determine el monto e interés compuesto para un capital de 1 000 dólares al 9% capitalizable en forma mensual durante 1 año M = C (1 + 9%/12) ^ M = 1 000 (1.0075) ^ M= 1 093. I = M-C I = 1 093.81 – 1 000 I = 93. Determine el interés compuesto y el monto si dejan 3 000 dólares en depósito al 8% por 12 años con intereses capitalizables en forma trimestral M = 3 000 (1 + 8%/4) ^ M = 3 000 (1.02) ^
M = 20 000 (1.7908) ^
M = 35 816.
I = M-C
I = 35 816.95 – 20 000
I = 15 816.
Tasa del 12% anual capitalizable trimestralmente M = C (1+ j/n) ^n M = 20 000 (1 + 0.12/4) ^ M = 20 000 (1.8061) ^ M = 36 122. I = M-C I = 36 122.22 – 20 000 I = 16 122. Tasa del 12% anual capitalizable mensualmente M = C (1+ j/n) ^n M = 20 000 (1 + 0.12/12) ^ M = 20 000 (1.8166) ^ M = 36 333. I = M-C I = 36 333.93 – 20 000 I = 16 333. Tasa del 12% anual capitalizable diariamente M = C (1+ j/n) ^n M = 20 000 (1 + 0.12/360) ^1 800 M = 20 000 (1.8219) ^1 800 M = 36 438. I = M-C I = 36 438.73 – 20 000
I = 16 438.
Tasa del 12% anual capitalizable en forma continua M = C (e) ^it* M = 20 000 (2.718281828) ^ (0.12) (5) M = 20 000 (1.8221) ^0. M = 36 442. I = M-C I = 36 442.38 – 20 000 I = 16 442. Si una empresa obtiene un préstamo de 3 000 dólares a 6 años de plazo, con una tasa de interés del 15% anual capitalizable semestralmente que monto debe pagar a la fecha de vencimiento y que interés M = C (1+ j/n) ^n M = 3 000 (1 + 0.15/2) ^ M = 3 000 (2.3817) ^ M = 7 145. I = M-C I = 7 145.34 – 3 000 I = 4 145. Monto compuesto con periodos de capitalización fraccionarios: Cuando el tiempo de pago no coincide con el periodo de capitalización, se presenta el caso de los periodos de capitalización fraccionarios. Si el tiempo de pago de una deuda es de 4 años y 9 meses y la tasa de interés del 14% capitalizable semestralmente. N =
N = 9.
Para el calculo del monto compuesto con periodos de capitalización fraccionarios pueden aplicarse 2 métodos: a. El método matemático: Que toma el valor exacto de N en la formula del monto compuesto. b. El método comercial:
- Calcular por los 2 métodos el matemático y comercial, el monto compuesto de 2 000 dólares a 7 años y 8 meses de plazo al 9% anual capitalizable trimestralmente. Método Matemático n =
i =
M = C (1+
i n )n M = 2 000 (1 + 0.0225)30. M = 2 000 (1.9786) M = 3 957. Método Comercial N =
M = C (1+
n ) n^ * (1+ i n *f) M = 2 000 (1+0.0225)^30 (1+0.0225 *
M = 2 000 (1.9494) (1.015)
M = 2 000 (1.9786)
M = 3 957.
Aplicación de la capitalización continua en plazos menores de un año En algunas operaciones de documentos financieros, como contratos a término opciones de compra, opciones de venta, se utiliza la tasa de interés anual con capitalización continúa tomando el año calendario o el año comercial y como base el numero de la letra “e” en plazos menores a un año. Calcular el monto e interés que genera un documento financiero, de 3 000 000 de dólares durante 92 días, si se considera una tasa de interés del 4% anual con capitalización continua. t 1 = Con el año comercial
t 2 = Con el año calendario
i = 0. Año Comercial M 1 = C (e)it M 1 = 3 000 000 (2.7182) 0.040. M 1 = 3 030 823. I 1 = M-C I 1 = 3 030 823.94 - 3 000 000 000 I 1 = 30 823. Año Calendario M 2 = C (e)it M 2 = 3 000 000 (2.7182) 0.040. M 2 = 3 030 399. I 2 = M-C I 2 = 3 030 399.57 - 3 000 000 000 I 2 = 30 399. Esta fórmula de cálculo da un resultado mayor que si se realizara con la formula del interés simple. Año Comercial I 1 = C * i * t I 1 = 3 000 000 * 0.04 * 0. I 1 = 30 666. M 1 = C + I M 1 = 3 000 000 + 30 666. M 1 = 3 030 666. Año Calendario I 2 = C * i * t I 2 = 3 000 000 * 0.04 * 0.
Es la que realmente actúa sobre el capital una sola vez en el año y se denomina “i” Se dice que dos tasas anuales de interés con diferentes periodos de conversión (capitalización) son equivalentes si producen el mismo interés compuesto al final del año. La tasa nominal y efectiva son equivalentes cuando producen la misma cantidad de dinero al final del año. Ej.: Un capital de un dólar al 18% anual capitalizable mensualmente será M = C (1+ j n )n M = 1 (1+
)^12
M = 1 (1+0.015)^12
M = 1 (1.1956)
M = 1.
A una tasa de interés efectiva del 19.56182% M = C (1+ j n )n M = 1 (1+
)^1
M = 1 (1+0,01630)^1
M = 1 (1,0163015)
M = 1.
En este ejemplo se puede apreciar que la tasa nominal 18% anual capitalizable mensualmente equivalente a la tasa efectiva 19.56182% puesto que los producen el mismo resultado al final de año. Formula de la ecuación de equivalencia (1+i) = (1+ j n )n Que es la ecuación de equivalencia, que relaciona una tasa efectiva con una tasa nominal capitalizable varias veces en el año y viceversa con tasas de interés vencidas. Tasas equivalentes son aquellas tasas que, con diferentes periodos de capitalización producen el mismo interés compuesto A que tasa efectiva de interés, equivale una tasa nominal del 18% anual capitalizable trimestralmente, para ello realizamos lo siguiente
(1+i) = (1+ j n )n (1+i) = (1+
)^4
(1+i) = 1. 1 + i = 1. i = 1.1925186 – 1 i = 0.1925186 * 100 i = 19.25% También se puede plantear el problema inverso: a que tasa nominal capitalizable trimestralmente es equivalente una tasa efectiva del 19. (1 + 0.1925186) = (1+ j 4
)^4
Para resolver el siguiente problema puede emplearse los siguientes métodos: por exponentes, por radicales, por logaritmos. (1 + 0.1925186) = (1+ j 4
(1 + 0.1925186)1/4^ = (1+
j 4
)^1
Por el método de exponentes (1 + 0.1925186)0.25^ = 1 + j 4 1.045 = 1 + j 4 1.045 – 1 = j 4 0.045 = j 4 j = 0.18*100 = 18% Por el método de los radicales (1 + 0.1925186) = (1+ j 4
(1 + 0.1925186)1/4^ = (1+
j 4
j 2 1,039230485-1= j 2 0,03923048454= j 2 0,03923048454 x 2= j = 0,0785= 7,85% Por el método logarítmico (1,08) = (1+ j 2
)^2
Log (1, 08) = 2 Log (1+ j 2
0,03342375549= 2 Log (1+ j 2
= Log (1+ j 2
0,01671187774 = Log (1+ j 2
Antilog 0,01671187774= (1+ j 2
j 2 1,039230485-1 = j 2 0,03923048453 = j 2 2(0,03923048453) = j= 0,078460= 7,85% Esta relación se puede demostrar en forma practica Ejemplo Calcular el monto e interés compuesto que producirá un capital de 200 000$ durante 5 años y 9 meses si se coloca: a) una tasa del 12% efectiva y b) a una tasa del 15,4065923% con capitalización semestral. M= C (1+ j n ¿n N= 5 x 12 + 9 12
M= 200,000 (1 +0,16¿5,
M= 469530,
I = M-C
I= 269530,
N =
5 x 12 + 9 6
M= 200,000(1+ 0,154065923)11,
M= 1039159,
I= M-C
I= 839159,
Fórmulas para tasas equivalentes para capitalización continua Se tiene que diferenciar si son tasas para calcular el monto o valor actual a. Para el Monto: Ic = ei^ – 1 A que tasa efectiva es equivalente una tasa del 6% anual con capitalización continua en una serie de depósitos Ic = e0.06^ – 1 Ic = 0. Ic = 6. A que tasa Anual con capitalización continua es equivalente una tasa efectiva del
6.183654655 = ei^ – 1 0.06183654655 + 1 = ei 1.061836547 = ei Log 1.061836547 = i Log e log 1. log e = i = 0. i = 6% A que tasa anual con capitalización mensual es equivalente una tasa del 9% anual con capitalización continua (1+ j n ¿n^ = en
analizar en forma matemática cual es a mejor alternativa, utilizando la ecuación de equivalencia Una empresa desea invertir 6 000 dólares durante 2 años y tiene las siguientes opciones: a) a una tasa del interés del 4.14% efectiva b) a una tasa del interés 4.1% anual capitalizable semestralmente, c) a una tasa del interés 4% anual capitalizable trimestralmente d) a una tasa del interés 3.9% anual capitalizable mensualmente. Cual opción le conviene y cual le produce mas intereses En este tipo de ejercicios se los puede realizar de 2 formas: analíticamente, utilizando la ecuación de equivalencia o prácticamente utilizando la formula del monto con interés compuesto Solución analítica Se compara la tasa efectiva con b) con la tasa del interés del 4.1% anual capitalizable semestralmente 1 + I = (1 + j n ¿n 1 + I = (1 +
¿^2
1 + I = 1.
I = 1.041 – 1
I = 0.
Ib = 4.14% Esta es la mejor opción c) con la tasa del interés del 4% anual capitalizable trimestralmente 1 + I = (1 + j n ¿n 1 + I = (1 +
¿^4
1 + I = 1.
I = 1.04060 – 1
I = 0.
Ic = 4.06% d) con la tasa del interés del 3.9% anual capitalizable mensualmente
1 + I = (1 +
j n ¿n 1 + I = (1 +
¿^12
1 + I = 1.
I = 1.039704733 – 1
I = 0.
Id = 3.97% La mejor oferta es la segunda con la tasa de interés del 4.1% anual, capitalizable semestralmente que me da una tasa efectiva del 4.14%. Solución Practica. Se calcula con los datos del capital, tiempo y tasa de interés Ma = C (1 + i n ¿n Ma = 6 000 (1 +
¿^2
Ma = 6 507. Ia = M – C Ia = 6 507.08 – 6 0000 Ia = 507. b) con la tasa del interés del 4.1% anual capitalizable semestralmente Mb = C (1 + i n ¿n Mb = 6 000 (1 +
¿^4
Mb = 6 507. Ib = M – C Ib = 6 507.34 – 6 0000 Ib = 507.
