Matemática Financiera, Esquemas y mapas conceptuales de Matemáticas Orientadas a las Enseñanzas Académica

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MATEMÁTICA FINANCIERA

Carlos Bresani Tamayo Alan Burns O’Hara

Pablo Escalante Gavancho Giancarlo Medroa Delgado

Juan Chipana Rodríguez

Economaker

CONTENIDO

¿Qué son los intereses?

Desde tiempos muy

remotos los agentes

económicos

enfrentan situaciones

donde sus ingresos

son diferentes a sus

gastos. En esos

momentos, necesitan

detectar fuentes de

préstamos y

oportunidades de

inversión. En el

desarrollo de esas

operaciones deben

pagar, o sea su caso,

cobrar una ganancia

conocida como

intereses. En el

presente capítulo

estudiaremos como

afecta estos intereses

al capital mediante el

régimen de interés

simple.

1. CONCEPTO DE INTERÉS SIMPLE

El interés es la retribución que recibe el capital financiero. Por ejemplo, si uno deposita sus ahorros en un banco, éste le pagará cada cierto tiempo, una cantidad de dinero. El monto que se gana por concepto de intereses, depende de la tasa de interés, la cual es un porcentaje que se aplica al capital. En el régimen de interés simple los intereses ganados no generan nuevos intereses (no hay capitalización). Es decir, que en todos los periodos los intereses se calculan sobre el valor inicial, tal como se aprecia en la Figura 1. Figura 1. Esquema de interés simple Como se aprecia en la figura anterior, dado que los intereses no se capitalizan (no se convierten en capital), los intereses que se ganan por periodo se mantienen constantes. El importe de los intereses depende del capital, la tasa de interés y el número de periodos. Es decir: I  C. i. n …

EJERCICIO

1. Considerando el régimen de interés simple resuelva los siguientes problemas

2. RELACIÓN DE UNIDADES DE TIEMPO

En los ejercicios iniciales, la tasa de interés está expresada en la misma unidad de tiempo que el número de periodos (años), por esa razón simplemente reemplazamos en la fórmula. Sin embargo, en la mayoría de los casos las unidades de tiempo son diferentes, por lo que tenemos que realizar algunas conversiones previas al cálculo de los intereses. Antes de ver estas conversiones mencionaremos algunas unidades y sus equivalencias, en la Tabla 1. Tabla 1. Relación de unidades de tiempo. Por ejemplo, imaginemos que invierte un capital de S/.100 a una tasa de 2% mensual, por 4 semestres ¿cuál es el monto resultante? Para calcular el monto será necesario homogeneizar las unidades de tiempo, teniendo dos alternativas. CONVERTIR EL NÚMERO DE PERIODOS La primera alternativa consiste en llevar el número de periodos (n) a la unidad de tiempo de la tasa de interés (meses en el ejercicio). Sabiendo que el periodo es de 4 semestres; y según la tabla 1, que cada semestre tiene 6 meses, planteamos la siguiente regla de tres simples: 1 semestre _______ 6 meses n = 4 semestres________ X

Para la pregunta planteada puede representarse un diagrama de flujo de efectivo, tal como el que se aprecia en la Figura 3, en la que se ha fijado el periodo 1 como fecha focal. Como la fecha focal es el periodo 1, llevamos todos los importes a dicha fecha para establecer una ecuación: Los S/.10,000 se acumulan por un periodo: 10,000 (1+0.10) Los S/.4,000 se mantienen igual porque ya se encuentra en la fecha focal. X se actualiza por un periodo:

X

Figura 3. Diagrama de Flujo. Figura 4. Cambios hacia fecha focal. Con los cambios hacia la fecha focal establecemos una igualdad entre los egresos versus los ingresos (flechas hacia abajo versus flechas hacia arriba):

X

X 7,000 (1.10)  S / .7,700 (importe de la segunda cuota).

El resultado depende de la fecha focal.

4. DESCUENTO SIMPLE

4.1. DEFINICIÓN

El descuento simple es una operación financiera que consiste en obtener el pago anticipado; es decir un adelanto de pago de Títulos Valores: letras, pagarés, entre otros que son documentos generales de créditos por cobrar. El banco paga el importe del documento deduciendo los intereses anticipadamente, por el tiempo que falta para el vencimiento de las obligaciones. El descuento que realiza el banco constituye esa diferencia entre el monto de la deuda a vencimiento, y el importe recibido adelantado al presente, valor que finalmente implica una ganancia a favor del banco. En la práctica habitual estas operaciones se deben a la necesidad de los acreedores de anticipar los cobros pendientes, para contar así con dinero fresco (liquidez). La Figura 5 muestra un diagrama de tiempo con las fechas y elementos relacionados a un descuento de documento. Figura 5. Fechas y elementos en el descuento de un documento.

1. CONCEPTO DE INTERÉS COMPUESTO

En el interés simple los intereses no se capitalizan; por ello, en todos los periodos el monto ganado en concepto de intereses es el mismo. En el régimen de interés compuesto los intereses ganados generan nuevos intereses porque se han convertido en capital (capitalización). Por lo tanto, los intereses ganados en los periodos sucesivos van a ser mayores, tal como se aprecia en la Figura 1. Figura 1. Régimen de interés compuesto. En la figura anterior apreciamos cómo crecen los intereses debido a que al final de cada año los intereses vuelven a formar parte del capital. Ya tenemos la respuesta a la pregunta ¿por qué los banqueros e inversionistas son cada vez más ricos? Con ayuda del esquema anterior, podemos especificar un conjunto de características del régimen de interés compuesto.

EJERCICIOS

1. Calcule la tasa equivalente para:

1. INTRODUCCIÓN A LAS RENTAS

1.1. DEFINICIÓN Y ELEMENTOS

Una RENTA está formada por una serie de pagos periódicos para constituir un monto o para cancelar una deuda. Por ejemplo, cuando usted quiere comprar un auto que vale $20,000 y pide un préstamo en un banco que cobra el 1% mensual. El banco determina que puede pagar dicho crédito en 48 cuotas mensuales de $526.68. Estos pagos mensuales constituyen una renta. La frecuencia de los pagos puede ser quincenal, mensual, bimestral, trimestral, cuatrimestral, semestral o anual, etc.; dependiendo de las condiciones de la operación financiera. Es decir que en este tipo de operaciones financieras se presentan los siguientes elementos: RENTA (R o Rk): Es el importe de cada pago; se le llama también término o cuota. En el ejemplo, los $.526.68 de cuota. TASA DE INTERÉS (i): Es la tasa que rige la operación financiera. En el ejemplo, 1% mensual. PERIODO: Es el tiempo transcurrido entre dos pagos consecutivos. En el ejemplo, los pagos son mensuales. PLAZO (n): Es el intervalo de tiempo entre el comienzo del primer período y el final del último. El plazo expresa el número total de periodos o el número total de pagos. En el ejemplo, son 48 meses. VALOR ACTUAL (A): Es la suma del valor actual de los pagos valorados en la fecha de inicio del plazo. En el ejemplo, el valor del auto al contado, es decir $.20,000. Esto se debe a que dada la tasa de interés hay una equivalencia financiera entre el valor de contado y la suma de todos los pagos (actualizados). MONTO (S): Como ya hemos estudiado el monto se relaciona con el valor futuro. Es decir que, si depositamos todos los pagos a la tasa de interés fijada por el banco y consideramos los intereses ganados, el importe total será el monto de la renta. (El monto es el importe total de todos los pagos más sus intereses).

2. RENTAS PERPETUAS

2.1. DEFINICIÓN

Las rentas perpetuas o perpetuidades están constituidas por una serie de términos periódicos, cuyo número de pagos o cobros es infinito o ilimitado. Además la fuente que les da sustento no sufre agotamiento. Ellas se emplean en operaciones financieras que tienen fines especiales como: Las fundaciones de carácter educativo o de beneficencia. En seguridad social. En el análisis de alternativas de inversión. En el análisis de la reposición de bienes de capital, etc. 2.2. RENTAS PERPETUAS VENCIDAS En este tipo de rentas los pagos o cobros se realizan al final de cada periodo, tal como se aprecia en el diagrama de flujo de la Figura 7. Figura 7. Diagrama de flujo de rentas perpetuas vencidas.

1. Calcule el monto de una anualidad de 20 abonos trimestrales que crece a una razón geométrica de 1.06; si la primera cuota es de S/.1,068 y la tasa de interés es de 5.5 % efectivo anual, ¿cuánto gana en intereses?
2. Felipe Reyes tiene un nuevo empleo y ha decidido depositar el 20% de su sueldo en una cuenta de ahorros que paga una tasa de 1.5% mensual. El sueldo de Felipe Reyes se reajusta trimestralmente al 2%, Calcule el monto capitalizado luego de 5 años, si su sueldo mensual inicial es S/.12,800.