Cálculo de Límites: Conceptos y Cálculo, Apuntes de Matemáticas

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SESIÓN 04: LÍMITE DE UNA FUNCIÓN

Definición. Cálculo de límites. Límites laterales. Límites Infinitos

− − − −   

−







x

y

Una congestión vehicular, en donde un determinado

automóvil se “aproxima” al vehículo de enfrente, pero

sin golpearlo o rozarlo.

✓

Una fábrica, en donde el “límite” de producción está de

acuerdo a la cantidad de trabajadores que posee.

✓

Sabias que la idea de límite se encuentra al observar…

Las carreteras, cuando se señala el límite

máximo de velocidad permisible.

✓

LOGRO

Al finalizar la sesión, el

estudiante resuelve e interpreta

problemas aplicados al estudio

de fenómenos naturales,

económicos y tecnológicos;

haciendo uso correcto del

cálculo de límites.

CONTENIDOS

LÍMITES

DEFINICIÓN DE

LÍMITES

LÍMITES

LATERALES

LÍMITES

INFINITOS

Toda esta información se resume diciendo que:

( )

)

)

“El límite de la función 2

4 ( )

2

−

−

x

x f x

cuando 𝑥 tiende a 2 , es igual a 4 ”

y lo escribiremos como:

lim

𝑥→ 2

2

El límite es único El^ límite^ es^ un^ valor^ numérico^ Se^ ve^ en^ el^ eje^ de^ las^ Y

2

4 ( )

2

−

−

x

x Además: f x 2

4 ( )

2

−

−

x

x f x

LÍMITE DE UNA FUNCIÓN

Si 𝑓(𝑥) se acerca más y más al número 𝐿 cuando 𝑥 se

aproxima al valor de 𝑥 0 , entonces este comportamiento se

expresa simbólicamente como:

f x L

x x

→

lim ( )

0

Definición formal.

Sea 𝑓: 𝐷𝑜𝑚(𝑓) → ℝ una función en cada número de

algún intervalo abierto que contenga a 𝑥 0 , excepto

posiblemente en el valor de 𝑥 0 mismo; decimos que:

=        −   −  →

f x L x D x a f x L

f x a

lim ( ) 0 , 0 : 0 ( )

Definición épsilon-delta de límites

2 ) Definición de Límite

𝐿

𝑥 0

𝐿 + 𝜀

𝐿 − 𝜀

𝛿 − 𝑥 0 𝑥 0 + 𝛿

𝑋

𝑌 𝒚^ =^ 𝒇(𝒙)

LÍMITE DE UNA FUNCIÓN

4 ) Indeterminación matemática

LÍMITE DE UNA FUNCIÓN

¿Cómo eliminar la indeterminación de un límite?

LÍMITE DE UNA FUNCIÓN

Si lim es de la forma , entonces para eliminar la INDETERMINACIÓN

𝑥→𝑥 0

g(𝑥)

1. En funciones algebraicas: Generalmente se realizan factorizaciones o racionalizaciones en el

numerador o denominador y en algunos casos es recomendable realizar un cambio de variable.

1. En funciones trigonométricas: Usualmente se utilizan identidades trigonométricas y el límite

notable

lim 𝑥→ 0

𝑠𝑒𝑛(𝑥)

𝑥

= (^1) lim 𝑥→ 0

tan(𝑥)

𝑥

= 1 lim 𝑥→ 0

1 − cos(𝑥)

𝑥

= 0 lim 𝑥→ 0

1 − cos(𝑥)

𝑥^2

=

1

2

= −

−

→ (^) x x

x

x 4 2

4 lim = −

−

( 4 ) 4

4 4 2

5. = 12

0 (^) 0

= −

−

→ (^3)

2 3 lim (^3) x

x

x

= −

−

3 3

2 ( 3 ) 3

6. =

0

3 (^) ∄

lim

2

2 x

x

x

= −

−

2 ( 2 ) 4

2 4

2

7. = 0

0 (^)???

I. Calcular los siguientes límites determinados :

LÍMITE DE UNA FUNCIÓN

II. Calcular los siguientes límites indeterminados :

lim

2

→ x x

x

x

Solución

12

4 lim 2 (^4) − −

−

→ (^) x x

x

x ( 4 )( 3 )

4 lim (^4) − +

−

→ (^) x x

x

x

lim

x → x 7

1

lim

4 2

→ x x

x

x

Por lo tanto

2.

0

0

Forma

     

LÍMITE DE UNA FUNCIÓN

lim

→ x

x

x

Solución

Por lo tanto

 Forma

lim

→ x

x

x ( 2 )( 2 2 )

( 2 2 )( 2 2 ) lim (^2) − + +

• − + + = → (^) x x

x x

x

( 2 )( 2 2 )

( 2 ) 4 lim (^2) − + +

• − = → (^) x x

x

x

( 2 )( 2 2 )

2 lim (^2) − + +

−

→ (^) x x

x

x 4

1

2

2 2 lim (^2) −

• −

→ (^) x

x

x 4

1

LÍMITE DE UNA FUNCIÓN

( 4 )

( 5 ) tan( 3 ) lim (^0) sen x

sen x x

x

−

→

Solución

 Forma

2

1

( 4 )

( 5 ) tan( 3 ) lim (^0) sen x

sen x x

x

−

→

x

sen x

x

sen x x

x (^) ( 4 )

( 5 ) tan( 3 )

lim 0

−

= →

x

sen x

x

x

x

sen x

x

4

4 ( 4 )

3

3 tan( 3 )

5

5 ( 5 )

lim 0

−

= →

x

sen x

x

x

x

sen x

x (^) ( 4 )

( 5 ) tan( 3 )

lim 0

−

= →

x

sen x

x

x

x

sen x

x

x x

4

4 ( 4 ) lim

3

3 tan( 3 ) lim 5

5 ( 5 ) lim

0

0 0

→

→ →

−

=

x

sen x

x

x

x

sen x

x

x x

4

( 4 ) 4 lim

3

tan( 3 ) 3 lim 5

( 5 ) 5 lim

0

0 0

→

→ →

−

=

LÍMITE DE UNA FUNCIÓN

1 ) Límite Lateral por la Izquierda

Por izquierda

Se escribe

lim

𝒙→𝒂−^

y se menciona que el límite lateral

izquierdo de 𝑓(𝑥) cuando 𝑥 tiende a 𝑎 es

igual a 𝐿 , si podemos acercar

arbitrariamente a 𝐿 los valores de 𝑓(𝑥)

aproximando a 𝑎, con 𝑥 menor que 𝑎.

LÍMITE LATERALES

2 ) Límite Lateral por la Derecha

Se escribe

lim

𝒙→𝒂+^

y se menciona que el límite lateral derecho

de 𝑓(𝑥) cuando 𝑥 tiende a 𝑎 es igual a 𝐿, si

podemos acercar arbitrariamente a 𝐿 los

valores de 𝑓(𝑥) aproximando a 𝑎, con 𝑥

mayor que 𝑎.

Por derecha

LÍMITE LATERALES