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Límite de una Función
IDEA INTUITIVA DE LÍMITE
- Observa la gráfica de esta nueva función:
x
f x
En este caso podemos ver que a medida que los valores de x se hacen mayores los valores funcionales se
“aproximan” cada vez más a cero.
Observa la siguiente tabla de valores:
- Observa la gráfica de esta función: 𝑇(𝑥) = 2√𝑥
En este caso, sobre la gráfica se observa:
A medida q ue los valores de “ x ” crecen los valores de “T”, imá genes, crecen también, cada vez más.
Sobre una tabla de valores podemos comprobar lo dicho anteriormente:
x 10 100 1000000 ....
f(x) 0,8 0,08 0,000008 …. 0
x 10 100 1000000 ....
T 6,32 20 2000 ….
Mientras x aumenta el
valor de y (curva), se
acerca a cero o al eje x
y
x
3) Consideremos la función 𝑓(𝑥) =
𝑥
2
−
𝑥−
. Vamos a analizar su comportamiento cuando x se aproxima a 1.
Sabemos que su dominio es R-{1} , esto significa que la función está definida para todos los valores reales
distintos de 1. Si construimos una tabla de valores, asignando a x valores pequeños pero cercanos a 1 , vemos
que:
Sabemos que la función f no está definida en x = 1 ; sin embargo, la tabla anterior nos sugiere que la función f se
aproxima a 2 conforme la variable x se acerca a 1.
A partir de la gráfica de f(x), calcularemos distintos límites:
El límite se mira en los valores próximos al punto y la imagen justo en el punto.
a) 𝑙𝑖𝑚
𝑥→−∞
𝑓(𝑥) = −∞ (a medida que x se acerca al −∞, la gráfica se aleja al −∞, baja en el III
cuadrante).
b) 𝑙𝑖𝑚
𝑥→+∞
𝑓(𝑥) = +∞ (a medida que x se acerca al +∞, la gráfica se aleja al +∞, sube en el I cuadrante).
c) 𝑙𝑖𝑚
𝑥→−
− 𝑓(𝑥) = 2 , (a medida que x se acerca al -1 por la izquierda, la gráfica se acerca al 2 ).
d) 𝑙𝑖𝑚
𝑥→−
- 𝑓(𝑥) = 3 , (a medida que x se acerca al -1 por la derecha, la gráfica se acerca al 3).
e) 𝑙𝑖𝑚
𝑥→−
𝑓(𝑥) = 2 , (a medida que x se acerca al -5 por la izquierda y derecha, la gráfica se acerca al 2 ).
f) 𝑙𝑖𝑚
𝑥→
− 𝑓(𝑥) = 7 , (a medida que x se acerca al 3 por la izquierda, la gráfica se acerca al 7).
g) 𝑙𝑖𝑚
𝑥→
- 𝑓(𝑥) = 7 , (a medida que x se acerca al 3 por la derecha, la gráfica se acerca al 7).
Estos ejemplos nos llevan a poder dar una idea intuitiva del significado del concepto de límite:
“Diremos que el límite de una función f es L ( L puede ser cualquier número real o infinito) cuando x se
aproxima a “a” ( puede ser cualquier número real o infinito), si sucede que cuanto más se concentran los
valores de x en las proximidades de “a”, los valores funcionales correspondientes se concentran en las
proximidades de L."
Se escribe así:
x a
lim f x L
Y se lee: “límite de f(x), cuando x tiende a a ”
x 0,999 0,9999 0,999999 1 1,000001 1,00001 1,
f(x) 1,999 1,9999 1, ∄
Ejemplo 1.-
En esta gráfica de la función ( )
1
f x vemos que se verifica:
𝑥→
− 𝑓
1
𝑥→
1
Por lo tanto 𝑙𝑖𝑚
𝑥→
1
Ejemplo 2.-
En esta gráfica de la función f ( x )vemos que se verifica:
0
f x lím
x
0
f x lím
x
Como ambos limites laterales son iguales, entonces: 𝑙𝑖𝑚
𝑥→
EJERCICIOS PROPUESTOS
I.- Calcula los siguientes límites a partir de esta gráfica. En caso de no existir escribe no.
a) 𝑙𝑖𝑚
𝑥→
𝑓(𝑥) = _____
b) 𝑙𝑖𝑚
𝑥→
− 𝑓(𝑥) = _____
c) 𝑙𝑖𝑚
𝑥→
+ 𝑓(𝑥) = _____
d) 𝑙𝑖𝑚
𝑥→
𝑓(𝑥) = _____
e) 𝑙𝑖𝑚
𝑥→
𝑓(𝑥) = _____
f) 𝑙𝑖𝑚
𝑥→
− 𝑓(𝑥) = _____
g) 𝑙𝑖𝑚
𝑥→
+ 𝑓(𝑥) = _____
h) 𝑙𝑖𝑚
𝑥→
𝑓(𝑥) = _____
i) 𝑙𝑖𝑚
𝑥→
− 𝑓(𝑥) = _____
j) 𝑙𝑖𝑚
𝑥→
𝑓(𝑥) = _____
k) 𝑙𝑖𝑚
𝑥→
𝑓(𝑥) = _____
l) 𝑙𝑖𝑚
𝑥→
𝑓(𝑥) = _____
m) 𝑙𝑖𝑚
𝑥→
𝑓(𝑥) = _____
n) 𝑙𝑖𝑚
𝑥→
− 𝑓(𝑥) = _____
II.- Calcula los siguientes límites a partir de esta gráfica.
𝑥→−
𝑓(𝑥) = _____
𝑥→−
− 𝑓(𝑥) = _____
𝑥→
𝑓(𝑥) = _____
𝑥→−
𝑓(𝑥) = _____
𝑥→
+ 𝑓(𝑥) = _____
𝑥→
𝑓(𝑥) = _____
𝑥→−∞
𝑓(𝑥) = _____
𝑥→+∞
𝑓(𝑥) = _____
𝑥→
𝑓(𝑥) = _____
𝑥→
− 𝑓(𝑥) = _____
