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Dr. William Fernando Solís Ulloa
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esta presentación esta sometida a un análisis de bien estructura de los que es métodos numéricos, muy atendible y eficaz
Tipo: Diapositivas
2020/2021
1 / 39
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ELIMINACIÒN GAUSSIANA
Dr. William Fernando Solís Ulloa
La solución de los sistemas de ecuaciones encuentra una amplia aplicación en la ciencia y la tecnología. En particular, se puede afirmar, que en cualquier rama de la ingeniería existe al menos una aplicación que requiera del planteamiento y solución de tales sistemas. Es por eso que en esta presentación nos enfocamos en aquel método que sirve para resolver sistemas de ecuaciones expresados en matrices, operando con sus filas y columnas. Sin mas que decir, empezaremos con el recorrido de esta temática.
MOTIVACIÒN
Considerado el Prínceps Mathematicorum. Gauss ha
tenido una influencia notable en muchos campos de
la matemática y de la ciencia, y es considerado uno
de los matemáticos que más influencia ha tenido en
la historia. Fue de los primeros en extender el
concepto de divisibilidad a otros conjuntos.
Wilhelm Jordan (1842–1899) fue un geodesista alemán que hizo trabajos de topografía en Alemania y África. Es recordado entre los matemáticos por su algoritmo de Eliminación de Gauss-Jordan que aplicó para resolver el problema de mínimos cuadrados. Esta técnica algebraica apareció en su Handbuch der Vermessungskunde (1873). Quièn es JORDAN
METODO DE GAUSS-JORDAN Consiste en hacer transformaciones elementales en las filas de la matriz para llegar a obtener la matriz identidad. Realizando estas mismas transformaciones con la matriz identidad llegamos a la matriz A−1.
ELIMINACIÒN GAUSSIANA
Sea
𝟏𝟏
𝟏
𝟏𝟐
𝟐
𝟏𝟑
𝟑
𝟏𝒏
𝒏
𝟏
𝟐𝟏
𝟏
𝟐𝟐
𝟐
𝟐𝟑
𝟑
𝟐𝒏
𝒏
𝟐
𝒏𝟏
𝟏
𝒏𝟐
𝟐
𝒏𝟑
𝟑
𝒏𝒏
𝒏
𝒏 Un sistema de ecuaciones de ecuaciones de orden 𝒏𝒙𝒏 donde las 𝒂 𝒊𝒋 son los coeficientes constantes y las 𝒃 son los términos independientes.
𝟏𝟏
𝟏𝟐
𝟏𝟑 ⋯
𝟏𝒏 𝒂 𝟐𝟏
𝟐𝟐
𝟐𝟑 ⋯
𝟐𝒏 𝒂 𝟑𝟏
𝟑𝟐
𝟑𝟑 ⋯
𝟑𝒏 ⋮ 𝒂𝒏𝟏 𝒂𝒏𝟐 𝒂𝒏𝟑 ⋯ 𝒂𝒏𝒏
𝒊𝒋 𝒏×𝒏 Es la matriz de coeficientes Donde: 𝑿 =
𝟐 𝒙 𝟑 ⋮ 𝒙 𝒏
𝟏 𝒃 𝟐 𝒃 𝟑 ⋮ 𝒃 𝒏 Matriz de términos independientes Matriz columna de las variables.
Ejercicio.- Usando eliminación gaussiana. Resolver el siguiente sistema de ecuaciones. 𝟔𝒙 𝟏
𝟐
𝟑
𝟒
𝟏
𝟐
𝟑
𝟒
𝟏
𝟐
𝟑
𝟒
Solución.- Construimos la matriz aumentada 𝑨 ⋮ 𝑩
−𝟐 𝒇𝟏+𝒇𝟐
- 𝟏 𝟐 𝒇𝟏 + 𝒇𝟑 𝒇𝟏 + 𝒇𝟒 −𝟑 𝒇𝟐+𝒇𝟑 𝟏 𝟐 𝒇𝟐 + 𝒇𝟒 Desarrollando tenemos:
−𝟐𝒇𝟑+𝒇𝟒
Ejercicio.- Usando eliminación gaussiana. Resolver el siguiente sistema de ecuaciones. 𝟐𝒙 𝟏
𝟐
𝟑
𝟒
𝟏
𝟐
𝟑
𝟏
𝟐
𝟑
𝟒
𝟏
𝟐
𝟑
𝟒
Solución.- Construimos la matriz aumentada 𝑨 ⋮ 𝑩
En forma matricial tenemos: 𝟐 𝟒 −𝟑 −𝟐
𝟏 𝒙𝟐 𝒙 𝟑 𝒙 𝟒
𝑨 ⋅ 𝑿 = 𝑩 Es decir: Entonces: construimos 𝑨 ⋮ 𝑩
− 𝟐𝟎 𝟑 𝒇𝟑+𝒇𝟒
𝟏
𝟐
𝟑
𝟒
𝟐
𝟑
𝟒
𝟒
Desarrollando tenemos: 𝒙𝟒 = 𝟏 𝒙 𝟑
𝟐
Por lo tanto:
Regresando a la forma matricial tenemos: