¡Descarga Conjuntos Numéricos: Números Naturales, Enteros y Racionales - Ejercicios Resueltos y más Esquemas y mapas conceptuales en PDF de Matemáticas solo en Docsity!
FMMP 009 - MATEMATICA
1. Conjuntos Num´ericos
Son todos aquellos conjuntos que est´an formados por n´umeros, estos se dividen en:
1.1 N´umeros Naturales: Son los que normalmente usamos para contar, se representan por el s´ımbolo N y sus elementos son: N = { 1 , 2 , 3 ....∞} Algunos subconjuntos de N son:
- N´umeros Pares: { 2 , 4 , 6 , 8 , 10 ...∞}. Se representan como 2n, ∀n ∈ N.
- N´umeros Impares: { 1 , 3 , 5 , 7 , 9 ...∞}. Se representan como 2n + 1 ´o 2n − 1, ∀n ∈ N.
- N´umeros Primos: { 2 , 3 , 5 , 7 , 11 ...∞}. Son todos aquellos n´umeros que son divisibles solo por si mismos y por 1, excluyendo a este ´ultimo.
- N´umeros Compuestos: Son todos aquellos que no son primos
1.2 N´umeros Enteros: Conjunto formado por todos los n´umeros sin cifra decimal, es decir, los n´umeros naturales, sus inversos aditivos (se dice que un n´umero a tiene inverso aditivo, si existe un b tal que a + b = 0, tal b es tambi´en conocido como −a), y el neutro aditivo (para cualquier n´umero x existe un ´unico e que cumple que x + e = x, a ese n´umero e lo conocemos como neutro aditivo y corresponde al 0). Sus elementos son: Z = {−∞, ..., − 3 , − 2 , − 1 , 0 , 1 , 2 , 3 ...∞}
Un ejemplo pr´actico, en la vida cotidiana, donde est´en presentes los n´umeros enteros es en las tem- peraturas que podemos llegar a tener en una determinada localidad, 10◦, 33◦^ o bien bajo cero, -1◦. Tambien cuando en nuestra cuanta corriente de un banco observamos un sobregiro, -$10.000, etc. Ahora bien, si consideramos alg´un elemento de este conjunto podemos tener operaciones, tales como: Suma, multiplicaci´on y divisi´on. Cualquiera de estas tres operaciones entre enteros, podr´ıamos dar origen a otro entero.
1.2.1 Suma: Si los sumandos son del mismo signo, se suman los valores absolutos y al resultado se le pone el signo com´un. Ejemplo:
- −3 + −8 = −11.
- 5 + 4 = 9. Si los sumandos son de distinto signo, se restan los valores absolutos (al mayor le restamos el menor) y al resultado se le pone el signo del n´umero de mayor valor absoluto. Ejemplo:
- (−3) + 5 = 2.
- 5 + (−8) = −3.
1.2.2 Multiplicaci´on: Para multiplicar dos enteros, debemos considerar la regla de los signos, que se muestra en la tabla de doble entrada:
· + −
- − − − + En resumen, si multiplicamos dos enteros que tienen el mismo signo, el resultado siempre es positivo, y si tienen distinto signo, el resultado es negativo. Ejemplo:
- (−3) · 5 = −15.
- (−5) · (−8) = 40. 1.2.3 Cuociente: Para el caso en que tengamos que dividir dos enteros, la regla de los signos del cuociente es igual a la regla de los signos que para el producto. Ejemplo:
- (−3) : 3 = −1.
- (−8) : (−4) = 2. Podr´ıamos tener un caso en que simult´aneamente se sumen, multipliquen y dividan n´umeros enteros. Si esto ocurre, existe prioridad en cuanto a lo que se debe calcular primero, teniendo como preferencia la multiplicaciones y divisiones ante las sumas o restas. Ejemplo:
- (−1) + 2 : 2 + 8 − 10 = (−1) + 1 + (−2) = 0 + (−1) = −1.
- 3 · 8 − 4 : 2 = 24 − 2 = 22.
1.3 N´umeros Racionales: Se representan por el s´ımbolo Q y cumple (a diferencia de los conjuntos anteriores) que para cada par de n´umeros racionales, la suma, resta, multiplicaci´on y divisi´on (sin incluir en esta ´ultima al 0) es siempre un n´umero de Q. Este conjunto se puede representar por:
Q =
{ (^) a b
/a, b ∈ Z; b 6 = 0
donde a corresponde al numerador y b al denominador de la fracci´on. Existen distintas formas de expresar los elementos de este conjunto:
( (^) a b
: Esta forma nos expresa ”partes” de alg´un entero. Est´a formada por un denominador (que indica la cantidad de partes en que dividimos el entero) y un numerador (que indica cuantas de estas partes vamos a considerar)
A (^) dc
: Hay ocasiones en que el numerador de una fracci´on es mayor al denominador. Esta fracci´on se le llama impropia y se puede convertir a su forma de n´umero mixto, dividiendo el numerador por el denominador, del resultado de esta divisi´on consideramos el cuociente como la parte entera y el resto como numerador de la parte fraccionara que la acompa˜na. Ejemplo:
21 2
1.3.1 Operatoria en Q.
Dados dos o m´as n´umeros racionales, podr´ıamos tener operaciones entre ellos o bien generar fracciones equivalentes dada una fracci´on. 1.3.1.1 Simplificar una fracci´on: Significa disminuir el numerador y el denominador de una fracci´on (si es posible) en una misma proporci´on. Ejemplo:
48 72
1.3.1.2 Amplificar una Fracci´on: Significa aumentar el numerador y el denominador de una fracci´on en la misma proporci´on. Se forman dos fracciones equivalenteses decir que repre- sentan la misma cantidad. Ejemplo: 3 4
1.3.1.3 Adici´on y Sustracci´on de Fracciones: Si las fracciones tienen igual denominador, la suma o resta consiste simplemente en operar solos los numeradores y mantener intacto el denom- inador. Si las fracciones tienen distinto denominador, debemos obtener el m´ınimo com´un m´ultiplo (mcm) entre los denominadores, de modo de llevar todas las fracciones a un mismo denominador. Este mcm es el n´umero m´as peque˜no entre los m´ultiplos que tengan en com´un los denominadores. Ejemplo: 5 12
1.3.1.4 Multiplicaci´on de Fracciones: para multiplicar dos fracciones, se multiplican sus numer- adores y sus denominadores y estos ser´an el numerador y el denominador, respectivamente, del resultado. Ejemplo: 1 4
1.3.1.5 Divisi´on de Fracciones: Se realiza una multiplicaci´on cruzada, es decir el numerador del resultado de una divisi´on ser´a el que se obtenga de multiplicar el numerador del dividendo con el denominador del divisor, de la misma forma que el numerador del resultado ser´a lo que obtengamos de multiplicar el denominador del dividendo con el numerador del divisor. Para simplificar el trabajo, lo que generalemnete se hace, es transformar la divisi´on en una multiplicaci´on ( es decir multiplicar por el inverso multiplicativo del divisor) Ejemplo: 1 4
En algunas ocasiones la divisi´on entre fracciones puede estar escrita como: a b c d En este caso, el numerador de la fracci´on resultante ser´a el producto entre a y d, y el denominador el producto entre b y c. A los t´erminos a y d se le conocen con el nombre de extremos y a los t´erminos b y c como los medios. De esta forma: a b c d
a · d b · c
Producto de los extremos Producto de los medios
2. Aplicaciones
Los n´umeros enteros y racionales se aplican a distintos problemas pr´actico de la vida cotidiana, y en muchos de los casos nos podemos encontrar con situaciones que podemos modelar matem´aticamente y llegar a la soluci´on de lo que se pide por medio de operatoria. He aqu´ı algunos ejemplos:
a) Temperatura: Suponga que cierto d´ıa de Abril, la temperatura ambiente a las 7 A.M era de 2◦^ bajo cero, y que a las 10 A.M la temperatura aument´o en 8◦. Posteriormente, por alguna causa extra˜na, nuevamente se produjo una disminuci´on de 6◦^ a mediod´ıa. Se pide escribir la operaci´on necesaria para calcular la temperatura final a las 12 del d´ıa. Calcule adem´as, dicha temperatura. Soluci´on: Claramente el problema consiste en calcular la temperatura final por medio de operatoria con n´umeros enteros. Los 2 grados bajo cero lo representamos por −2 y cualquier temperatura sobre cero, por un entero positivo. De esta forma, la operaci´on que permite calcular la temperatura final a medio d´ıa es:
Por tanto, a mediod´ıa hab´ıan 0◦.
b) Distancia: Un auto recorre un d´ıa los 7/10 de la distancia entre Zapallar y Talca y al d´ıa siguiente los 5/6 de lo que le falta para llegar a su destino. ¿A qu´e distancia est´an esas dos ciudades si a´un le faltan por recorrer 22 km? Soluci´on: Si el primer d´ıa recorri´o los 107 del trayecto completo, significa que le faltan los 103 para llegar a su destino. Pero el problema indica que el segundo d´ıa s´olo recorri´o los 56 del ´ultimo trayecto, es decir:
5 6
y la fracci´on que le queda por recorrer es 103 − 14 = 201 , que corresponden a los 22 km. De esta manera, la distancia total recorrida entre Zapallar y Talca se obtiene como:
DT =
= 440 km
c) Gasto: Mar´ıa gana como secretaria $240.000 l´ıquido. Gasta la cuarta parte en alimentarse; 4/5 del resto en arriendo, 1/2 de lo que sobra lo gasta en pasajes y vestuario, y el resto lo gasta en pago de deudas. ¿Cu´anto dinero gasta en cada una de las cosas mencionadas? Soluci´on: El problema lo podemos desglosar de la siguiente forma:
- Mar´ıa gana: $240.000.
- Gasto en alimentos: 14 · 240 .000 = $60.000, quedando un resto de $180.000.
- Gasto en arriendo: 45 · 180 .000 = $144.000, quedando un saldo de $36.000.
- Gasto en pasaje + vestuario: 12 · 36 .000 = $18.000, quedando un saldo para deudas de $18.000.
