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TEMA 6: OPERACIONES CON POLINOMIOS
CUATRO OPERACIONES ALGEBRAICAS
ADICIÓN:
Ej: 3x
3
y + 4x
2
y
2
3
4
4
2
y
2
3
4
4
3
3
y =
6x
3
y + 12x
2
y
2
3
4
+6x
4
SUSTRACCIÓN:
Ej: (x
4
3
2
3
+2x
2
x
4
3
2
3
2
4
3
2
Ej: Restar (x
3
2
y - 6xy
2
3
) de (3x
2
y + 7xy
2
3
3
(3x
2
y + 7xy
2
3
3
) - (x
3
2
y - 6xy
2
3
3x
2
y + 7xy
2
3
3
3
2
y + 6xy
2
3
= x
2
y + 13xy
2
3
3
MULTIPLICACIÓN:
Ej: (2x
3
2
y + 3xy
2
3
)(3x
2
2
2x
3
2
y + 3xy
2
3
3x
2
2
6x
5
4
y + 9x
3
y
2
2
y
3
4x
4
y - 8x
3
y
2
2
y
3
4
3
y
2
2
y
3
4
5
6x
5
4
y - 9x
3
y
2
2
y
3
4
5
- Método de Coeficientes Separados :
Ej: (2x
3
2
2
El resultado de la operación es:
8x
5
+12x
4
3
+20x
2
DIVISIÓN:
Ej: Dividir (6x
4
3
2
2
6x
4
3
2
2
4
3
2
2x
2
3
2
9x
3
2
6x
2
+15x
2
5x - 1
El cociente es: 2x
2
- 3x+2 y el residuo es: 5x- 1
a) Método de Coeficientes Separados :
Dividir (21x
4
3
2
2
El cociente es: 7x
2
- x + 5 y el residuo es: 5x + 10
b) Método de Ruffini : Este método se utiliza para dividir un polinomio entero en "x" entre
un binomio de la forma x a. El grado del cociente resultante será una unidad menor
que el grado del polinomio dividendo, y el grado del residuo obtenido será cero, es
decir, el residuo será una constante.
Ej: Dividir (4x
4
3
2
4 - 5 6 7 8 Cociente: 4x
3
2
- 1 - 4 9 - 15 8 Residuo : 16
- Al efectuar la división se debe colocar el dividendo ordenado en forma
descendente, y si faltara algún término se colocará cero como coeficiente de dicho
término.
c) Teorema del Residuo : Este método se emplea para encontrar el residuo,
directamente, de aquellas divisiones a las que se les puede aplicar el método de
Ruffini, por lo general.
Si la división es:
P x
x a
, entonces; igualamos el denominador a cero:
x - a = 0 x = a
El residuo será: R=P(a) (valor numérico del polinomio dividendo cuando "x" toma
valor "a").
Ej: Hallar el residuo de dividir:
(2x
4
3
2
x-2=0 x=2 ; R = 2(2)
4
3
2
R = 32 - 24 + 16 - 10 + 6
R = 20
d) Método de Horner : Este método se utiliza para dividir dos polinomios enteros en "x"
de cualquier grado. El grado del cociente resultante será igual a la diferencia entre los
grados del dividendo y el divisor. El grado del residuo será como máximo una unidad
menor que el grado del divisor.
Ej: Dividir (6x
5
4
3
2
2
8 4 - 6m 15
1⁄2 4 4 (2-3m)
8 8 (4-6m) 17 - 3m
1 3 - 5 m - n
1 1 4 - 1 (m-1)
1 4 - 1 (m-1) (m-n-1)
1 - 2 - 5 (m+9)
R = 𝟖
𝟒
𝟓
𝟒
𝟐
𝟒
5 2
8 5 4 3
1
2
y y y
y
R = 𝟖 (−
𝟏
𝟐
𝟓
𝟏
𝟐
𝟐
𝟏
𝟐
R = 𝟖 ·
𝟏
𝟑𝟐
𝟏
𝟒
−𝟏
𝟐
R = 6
4. Indicar el resto que resulta de dividir el siguiente polinomio. 8x
3
+4x
2
- 6mx+15,
entre (2x-1); sabiendo que la suma de los coeficientes del cociente es 28.
A) - 1 B) 1 C) - 25 D) 35 E) 45
d x
x
2Q = 8 𝑥
2
Q = 4 𝑥
2
28 = 4 + 4 + 2 – 3m
18 = - 3m
R = 17 – 3m
R = 17 – 3(-6)
R = 35
5. Determinar el valor de "n" para que: x
4
+3x
3
- 5x
2
+mx-n sea divisible entre:
x
2
+x-2.
A) 12 B) - 10 C) 8 D) - 6 E) 9
4
3
2
+ 𝑚𝑥 − 𝑛) ÷ (𝑥
2
4
3
2
+ 𝑚𝑥 − 𝑛) ÷ (𝑥 − 1 )(𝑥 + 2 )
R= m - n – 1 = 0
1 m n p
1 1 (m+1) (m+n+1)
1 (m+1) (m+n+1) (m+n+p+1)
6. Calcular el valor de m + n + p, si el polinomio siguiente: x
3
+mx
2
+nx+p es
divisible por (x+1)(x-1)(x+2).
A) 1 B) 0 C) - 1 D) 2 E) 3
3
2
+ 𝑛𝑥 + 𝑝) ÷ (𝑥 + 1 )(𝑥 − 1 )(𝑥 + 2 )
7. Hallar el resto de la siguiente división:
x x x x x x
x x
4
102
4
53
4
4
A) - 8 B) - 6 C) - 5 D) - 4 E) 4
[(𝑥
4
102
4
53
4
+ 6 𝑥 − 14 ] ÷ (𝑥
4
[((𝑥
4
102
4
53
4
− 3 𝑥) − 14 ] ÷ (𝑥
4
4
4
102
53
102
53
8. ¿Cuál es el valor de "m" para que el polinomio sea divisible entre x+y ?.
Siendo el polinomio (x
5
+my
5
) - (x-y)
5
A) 5 B) - 1 C) 31 D) - 31 E) 0
5
5
5
[(
5
5
]
5
5
5
5
5
5
5
5
5
12. Encontrar el resto de la siguiente división:
A) x- 2 B) - 4x+8 C) - 4x+16 D) - 8x+16 E) - 16x+
( 2) (3 11) ( 2)
( 2)( 3) ( 2)
n
x x x
x x x
𝑛− 1
3
𝑛− 1
[
]
3
𝑛− 1
[
]
3
13. Hallar el resto de:
A) - 3x+3 B) - x+1 C) - 9x+9 D) - 6x+6 E) - 6x
2
2 𝑥
21
17
5
−𝑥+ 3
𝑥
2
−𝑥+ 1
(𝑥+ 1 )
(𝑥+ 1 )
( aD ) ( ad q ) ( ar )
22
21
18
17
6
5
2
3
3
7
3
7
3
6
3
5
2
3
2
3
2
2
3
T. R. : 𝑥
3
3
(𝑥 + 1 )𝑅 = 2 (− 1 )
7
𝑥 + 2 (− 1 )
7
6
5
𝑥
2
2
2
− 𝑥
2
2
2
2
2
2
( x ) x
x x
n
3
2 3 2 3
1
21 17 5
2
x x x x
x x
14. Encontrar los valores de m, n, p y q; sabiendo que el polinomio siguiente:
P(x)=21x
6
+14x
5
- 13x
4
+mx
3
+nx
2
+px+q es divisible entre Q(x)=7x
4
- 2x
2
+x-1.
A) m=-1, n=-1, p=-3 y q=1 B) m=-1, n=1, p=3 y q=
C) m=-1, n=1, p=-3 y q=- 1 D) m=-1, n=1, p=-3 y q=
E) m=-1, n=1, p=-3 y q=
6
5
4
3
2
4
2
3
2
15. El residuo de la división siguiente:
A) y
4
B) - y
4
C) 0 D) 3xy
3
- y
4
E) N.A.
4
3
2
2
3
4
) ÷ ( 2 𝑥
2
2
Q = 3 𝑥
2
2
R = - 𝑦
4
6 6 5 3
2 2
4 3 2 2 3 4
2 2
x x y x y xy y
x xy y
7 21 14 - 13 m n p q
3 2 - 1 (m+1) (n- 1 ) ( p+3) (q- 1 )
2 6 - 1 - 6 5 - 3
2 2 - 4
3 - 2 1 0 - 1
