MATEMÁTICA
CURSO: SISTEMA DE ADMISIÓN A LAS
CARRERAS DE INGENIERO AGRÓNOMO,
INGENIERO ZOOTECNISTA Y MEDICINA VETERINARIA
Universidad Nacional de Tucumán
FACULTAD DE AGRONOMÍA Y ZOOTECNIA
CÁTEDRA DE MATEMÁTICA
2013
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Tipo: Apuntes
2020/2021
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MATEMÁTICA
CURSO: SISTEMA DE ADMISIÓN A LAS CARRERAS DE INGENIERO AGRÓNOMO, INGENIERO ZOOTECNISTA Y MEDICINA VETERINARIA
Universidad Nacional de Tucumán FACULTAD DE AGRONOMÍA Y ZOOTECNIA
CÁTEDRA DE MATEMÁTICA
Trabajo elaborado por los docentes de la Cátedra:
Lic. Dolores R. Solbes Profesora Titular
Mg. Lic. Norma A. Ramón de Lavilla Profesora Asociada
Esp. Lic. Estela M. Pascual de Bader Profesora Asociada
Mg. Lic. Graciela S. Galindo Profesora Adjunta
Lic. Liliana N. Isa de Gordillo Profesora Adjunta
Lic. Norma I. Macchioni de Zamora Jefe de Trabajos Prácticos
Lic. María L. Vallejo de Márquez Jefe de Trabajos Prácticos
Esp. Lic. Silvia E. Carando Jefe de Trabajos Prácticos
Lic. Ana M. García de Macías Jefe de Trabajos Prácticos
CONJUNTOS NUMÉRICOS
1-Indique Verdadero (V) ó Falso (F). Explique.
a) Todo número entero es un número racional.
b) Todo número racional se puede expresar en forma de fracción.
c) Toda expresión decimal es un número racional.
d) El cociente entre dos números enteros es siempre un número entero.
e) Los números irracionales no se pueden escribir como el cociente entre dos números enteros.
f) Los números racionales están formados por infinitas cifras decimales no periódicas.
g) El conjunto de los números reales está formado por todos los números racionales e irracionales
h) Los números reales no forman un conjunto denso.
i) Los números reales forman un conjunto continuo.
j) El cero es un número real.
2- Represente en la recta real:
2-4) a, sabiendo que a < 0
2-5) – b, sabiendo que b > 0
ECUACIONES DE PRIMER GRADO
1- Resuelva mentalmente.
1-1) 2 x = 10 1-2) – 3x = 24
1-3) 3 x + 1 = 16 1-4) – 2 x – 2 = 8
1-5) 2 x + 3 x = 15 1-6) 3 x – x = 14
2- Resuelva y verifique el resultado que obtenga
2-1) x – 5 = 15 2–2) x – 3 = – x – 3
2-3) 5 x + 3 = 2 x + 18 2-4) 2 (x + 3) = 16
2-5) 3 x = – 5 (x – 2) 2-6) (x + 5) (x – 5) = x (x – 2)
2-7) 2 x (x + 2) = 2 (x – 3) (x + 3) 2-8) (x – 2) 2 = x 2
- 10
2-9) (2 x – 5) 2
- 3 = 2 x (2 x – 1) 2-10) (3 x – 2) (3 x + 2) = (3 x – 3) 2
3- La ecuación que tiene al número cero por solución es:
a) 2 x – a x = 0 , a ≠ 0 a ≠ 2 b) 3 (x – 1) = 3
c) 2 – x = x – 2 d) x (2 – 3 b) + 5 = 1
4- La solución de la ecuación x 3
2 x 6
x 6 x 9
2 x 5 2
es:
a) x = 2 b) x = – 2 c) x = 3 d) x = – 3
5- Resuelva:
5-1) Un granjero tiene almacenado sacos de alimento para sus animales. Los dos primeros meses del
invierno, se comen los 2/3 de la reserva que tenía; los 15 días siguientes, se alimentan con 1/ de los que habían quedado. El granjero cuenta 51 sacos sobrantes. ¿Cuántos tenía almacenados?
5-2) Se prolonga una red subterránea, en la primera etapa se extiende 1/4 de lo previsto, en la
segunda etapa la mitad de lo que falta y aún quedan por excavar 150 m. ¿Cuál es la extensión de esa prolongación?
5-3) Entre los alumnos de un curso, un tercio menos dos se inscriben en un torneo; sabiendo que la
razón entre los inscriptos y el total es 5/18, calcule el número de alumnos.
5-4) Un corral de forma rectangular mide tres metros menos de ancho que de largo y su perímetro es
102 m. Las medidas del ancho y largo del corral y de su superficie son, respectivamente:
a) 24 m, 27 m, 684 m 2 b) 24 m, 21 m, 504 m 2
c) 27 m, 24 m, 648 m
2 d) 21m, 18 m, 378 m
2
5-5) Alberto tiene 25 años y su hijo 5. La edad de Alberto será el triple de la de su hijo al cabo de:
a) 3 años b) 5 años c) 20 años d) 10 años
ECUACIONES DE SEGUNDO GRADO
1- Resuelva la ecuación:
1-1) 4 x 2
- 4 = 0 1-2) – 5 x 2 = 0
1-3) 2 x
2
- 5 x + 8 = 8 1-4) – x
2
- 7 x = 10
2- Realice las operaciones indicadas y encuentre las soluciones de la ecuación cuadrática entera:
2-1) x (x – 7) = – 12 2-2) 2 (3 x – 5) – x (2 x – 3) = 0
2-3) x
2
- (x + 5)
2 = 5 + 16 (3 – x) 2-4) (x + 3) (x –3) = 5 (x + 2) + 31
2-5) x 2
- (7 – x) 2 = 25 2-6) 18 = 6 x + x (x – 13)
3- Encuentre el valor de k para que las dos raíces de la ecuación x
2
- k x + 36 = 0 sean iguales
(recuerde el discriminante Δ = b 2
- 4ac).
4- ¿Para qué valor de k la ecuación 2 x
2
- 6 x – (3 – k) = 0 no tiene solución real?
5- Encuentre el o los valores naturales de k para que la ecuación 2 x 2
- 3 x + k = 1 no tenga
solución real.
6- Determine el o los valores de k para que la ecuación tenga dos soluciones reales distintas:
6-1) 3 k x
2
- 2 x + 9 = 0 6-2) – 3 x
2
- 5 x + k = 0 6-3) 4 x
2
- 3 x + 2 k = 0
7- Resuelva la ecuación cuadrática que está escrita como producto de dos o más factores:
7-1) (x – 3) (x – 7) = 0 7-2) x (x + 9) = 0
7-3) – 8 (2 x – 2) (x + 1) = 0 7-4) (7 x + 1) x = 0
7-5) 5 (x + 1/10) (x – 1) = 0 7-6) 3/4 (3 x + 6) (x + 4) = 0
8- Exprese la ecuación cuadrática en forma factoreada, a partir de sus raíces:
8-1) x
2
- 5 x + 4 = 0 8-2) x
2
- 2 x + 1 = 0 8-3) x
2
- x – 2 = 0
8-4) 4 x 2
- 8 x = 0 8-5) 2 x 2
- 5 x + 8 = 8 8-6) 1/4 x 2 + 2 x = 0
9- Factoree y simplifique para encontrar las soluciones:
x 3
9
2 x
9-2) 0 x 1
1
2 x
9-3) 0 x 2
3 x 2
2 x
x 2
2 x
2 x
9-5) 0 4 x 21 2 x
4 x 6 2 2 x
9-6) 0 2x 3 2 x
4 x 3 2 x
10- Busque las soluciones de la ecuación cuadrática fraccionaria y verifique si son soluciones:
10-1) 3 x 1 3 x 1
10 x 2 x 2
10-2) 4
1 2 7 x
1
2 2 x
x 2
3 x 4
x 3
x 2
10-4) 1 3
x 2
x 1
1
10-5) 6 x
- 2 = 6 – 5 x - 1 10-6) x 3
x 2
x 2
2
11- La solución de la ecuación x 4
x 2
x 3
2 x 2
es:
a) x 1 = – 7 b) x 1 = – 2 c) x 1 = 7 d) x 1 = – 7 x 2 = 2 x 2 = 7 x 2 = 2 x 2 = – 2
12- La solución de la ecuación (^2 ) 3 5 x 2 x
4
x x 6
2
es:
a) x 1 = – 5/4 b) x 1 = 1/2 c) x 1 = – 3 d) x 2 = – 1/ x 2 = – 3 x 2 = 5/
13- Lea atentamente los problemas, traduzca al lenguaje algebraico y luego encuentre la solución:
13-1) La suma de dos números es 5 y su producto es − 84. ¿Cuáles son dichos números?
13-2) Encuentre dos números positivos sabiendo que uno de ellos es igual al triple del otro, más 5 y
que el producto de ambos es 68.
13-3) Un número entero es tal que la suma del triple del mismo con el doble de su recíproco es igual
a 5. ¿Cuál es el número?
13-4) El producto de dos números consecutivos supera a su suma en 5. ¿Cuáles son los números?
13-5) Halle dos números impares consecutivos tales que su producto es 255.
13-6) Si el cuadrado de un número es igual al siguiente multiplicado por – 4. ¿Cuál es el número?
13-7) Calcule el perímetro de un rectángulo cuya superficie es 168 m
2 , si la diferencia entre la base
y la altura es 2 m.
13-8) La hipotenusa de un triángulo rectángulo es 2 cm mayor que el doble del lado más corto, y 4
cm mayor que el otro lado. ¿Cuáles son las longitudes de los lados del triángulo?
GRÁFICOS EN EL PLANO - RELACIONES
1- Represente en el mismo sistema de coordenadas cartesianas:
1-1) a (– 2 , 0) ; b (2 , – 1) ; c (^)
; d (^)
3 , ; e (^)
; f (0 , 3) ; g (– 1 , 1) ;
h (^)
; i (0 , 0) ; j (^)
1-2) p (– 2 , 3) ; q (2 , 3) ; r (3 , 3) ; s (– 4 , 3) ; t (^)
; u (0 , 3) ¿qué características
tienen estos puntos?
2- Escriba las coordenadas de los puntos
3- Represente 3 puntos que tengan:
3-1) igual ordenada.
3-2) igual abscisa.
3-3) la abscisa igual a la ordenada.
3-4) abscisa nula.
3-5) ordenada nula.
3-6) abscisa positiva.
3-7) abscisa negativa y ordenada positiva.
3-8) abscisa y ordenada negativas.
4- Los puntos representados en el plano son tales que tienen:
a) la abscisa de igual signo que la ordenada.
b) la abscisa de distinto signo que la ordenada.
c) la abscisa igual a la mitad de la ordenada.
d) la ordenada igual a la mitad de la abscisa.
5- Dados los conjuntos X e Y y la relación R : “es la mitad de”
5-1) Represente en un sistema de coordenadas cartesianas.
5-2) Indique el conjunto de partida y el conjunto de llegada.
5-3) Escriba el dominio y el codominio de R.
6- Dados los conjuntos X e Y y la relación R
6-1) Represente con un diagrama sagital la relación “es el cuadrado de”.
6-2) Represente la relación en un sistema de coordenadas cartesianas.
6-3) Indique el conjunto de partida y el conjunto de llegada.
6-4) Escriba el dominio y el codominio de la relación.
SIMETRÍAS
1- En cada caso complete con las coordenadas que correspondan para que se cumpla la simetría
indicada.
a) El simétrico respecto al eje x del punto de coordenadas (2, 5) es (…,…).
b) El simétrico respecto al eje y del punto de coordenadas (4, 3) es (…,…).
c) El simétrico respecto al eje x del punto de coordenadas (-3, 8) es (…,…).
d) El simétrico respecto al origen del punto de coordenadas (7, -1) es (…,…).
e) El simétrico respecto al eje y del punto de coordenadas (4, -5) es (…,…).
f) El simétrico respecto al origen del punto de coordenadas (-1, -3) es (…,…).
2- Analice la simetría respecto al eje y, al eje x, y al origen de coordenadas:
3- Construya en el mismo sistema de ejes la gráfica simétrica con respecto al eje x:
4- Represente en el mismo sistema cartesiano la gráfica simétrica con respecto al eje y:
7- La gráfica de y = a x
3
a) es simétrica respecto al origen de coordenadas
b) es simétrica respecto al eje y
c) es simétrica respecto al eje x
d) no tiene simetría
8- La gráfica
a) tiene simétrica respecto al eje y
b) no tiene simetría
c) tiene simétrica respecto al eje x
d) tiene simétrica respecto al origen de coordenadas
9- La gráfica de y = (x
3
- x) / x
a) es simétrica respecto al origen de coordenadas
b) es simétrica respecto al eje x
c) es simétrica respecto al eje y
d) no presenta simetría
10-Analice si la gráfica de la expresión es simétrica respecto al eje y, al eje x y al origen de
coordenadas:
10-1) y = (3/2) x 10-2) y – 3 x + 1 = 0
10-3) y. x = 1/4 10-4) x
2
- x y = 3
10-5) y = 4 / (2 x 2
- 10-6) y = (9 x 2
- / (2 x 3
- 2 x)
- / (2 x 3
- 10-6) y = (9 x 2
10-7) y 2 = x 3
- 4 x 10-8) y = x / (x 2 + 1)
10-9) x
2 y – x
2
- 4 y = 0 10-10) x y –
2 4 x = 0
FUNCIÓN – FUNCIÓN DEFINIDA A INTERVALOS
1- Diga si el diagrama sagital corresponde a una función. Justifique su respuesta.
A B M N
P Q R S
2- Sea la función y = f (x) con x {x 1 , x 2 , x 3 , x 4 } entonces f (x 2 ) es:
a) el dominio de f b) el codominio de f
c) la imagen de x 2 d) un elemento del dominio
3- a) Diga cuál es la variable independiente y cuál la dependiente.
b) Dé dominio y codominio.
c) Defina la función mediante una fórmula.
x - 2 - 1 0 1 2
y - 2 - 1 0 1 2
6-4) A cada ciudadano corresponde el número de su documento de identidad.
6-5) Variación del precio del ganado porcino durante los meses del año.
6-6) Producción en kg/ha de soja en diferentes fincas.
7- Observe el climograma y complete según corresponda (Climograma es la representación
gráfica de los promedios mensuales de las temperaturas y de las lluvias).
Mes
7-1) La mayor temperatura promedio se registró en el mes de …………………….
7-2) En el mes de marzo la temperatura promedio fue …………………………….
7-3) La menor temperatura promedio se registró en el mes de …………………….
7-4) El mes más lluvioso fue ……………………………………………………….
7-5) Los meses que tienen el mismo registro de lluvia son ………………………...
8- Observe:
El gráfico muestra la evolución del incremento del número de bacterias a distintas temperaturas:
Temperatura (ºC)
Nº de bacterias
a) ¿Cuál es la variable dependiente y cuál la independiente?
b) ¿Qué representa cada segmento comprendido entre dos valores consecutivos considerados en
cada eje?
c) ¿A qué temperatura se obtiene el mayor número de bacterias?
d) ¿Cuál será la temperatura adecuada para combatir a bacteria?
e) ¿Cuál es el número de bacterias a los 10 ºC de temperatura?
f) ¿Qué significa que el punto (60; 30.000) pertenezca a la gráfica?
9- Dada f (x) = – x + 3 x
2 calcule:
9-1) f (– 1) 9-2) f (0)
9-3) f (– x) 9-4) f (1/x)
9-5) f (r) 9-6) f (r – 1)
9-7) f (r) – 1 9-8) f (a) – f (a + h)
9-9) f (x + h) – f (x) 9-10) f (2 x) + f (x)
10- En la función f (x) = – x
2 / 2 (x –1) se verifica que:
a) f (– 1) = – 1/4 b) f (– 1) = 1/
c) f (– 1) = – 3/4 d) f (– 1) = 3/
11- Diga si la gráfica representa una función. Justifique su respuesta.