UNIVERSIDAD CESAR VALLEJO
Escuela de Ingeniería Industrial
Tema: Integral Definida
Curso: Matemática II
Fecha: 25 de junio de 2022
Mgtr. Jorge Luis Vivas García.
Integral Definida
Capacidad
7. Integral Definida
George Friedrich Riemann
Ejemplo vivo de la timidez y de la fragilidad física, Riemann impactó, sin embargo, el mundo de las matemáticas
como pocos lo han hecho en la historia, hijo del pastor de un pequeño pueblo en Alemania, recibió no obstante
una buena educación que lo llevó a presentar su tesis doctoral delante de Gauss en Gottingen.
Este último, reconocido como difícil de sorprender, quedó entusiasmado por el desarrollo que hizo
Riemann sobre la teoría de la función de una variable compleja. Este episodio se recuerda como la única vez
en la que Gauss haya expresado admiración por un trabajo ajeno.
Ahí aparecen las famosas superficies de Riemann, las cuales generarían el enfoque topológico del análisis.
Un poco más tarde clarifico la noción de integral mediante una nueva definición conocida como la “Integral de
Riemann”. Sus trabajos sobre los fundamentos de la geometría le permitieron generalizar la noción de espacio
y son precursores de las teorías del siglo XX sobre los espacios abstracticos.
Pero su complexión débil lo hizo de la tuberculosis, un mal entonces incurable, y Riemann murió en 1866 a los
40 años. Sus obras, que caben en pocas páginas, son de una densidad tal que dejan trabajo e ideas incluso
para los matemáticos de hoy en día.
7.1. Sumas de Riemann
1) Partición de un intervalo cerrado
Definición 1:.- Sea [𝑎,𝑏] un intervalo cerrado, una partición del intervalo [𝑎,𝑏] es toda colección P de
puntos 𝑥0,𝑥1,𝑥2,…𝑥𝑛.
𝑃 = {𝑥0,𝑥1,𝑥2,…,𝑥𝑛}tales que 𝑎 = 𝑥0< 𝑥1< 𝑥2< ⋯ < 𝑥𝑖−1 < 𝑥𝑖… < 𝑥𝑛−1 < 𝑥𝑛= 𝑏
Observación
a) Toda partición P de [𝑎,𝑏] , divide en “n” sub intervalos al intervalo [𝑎,𝑏]
b) La longitud de cada sub intervalo [𝑥𝑖−1,𝑥𝑖], ∀𝑖 = 1,2,3, …𝑛.
se denota con ∆𝑖𝑥 = 𝑥𝑖− 𝑥𝑖−1. Se verifica: ∑∆𝑖𝑥 = 𝑏 − 𝑎
𝑛
𝑖=1
c) Se llama norma o diámetro de la partición P al número
||𝑃||= 𝑚á𝑥{∆𝑖𝑥
𝑖= 1,2,…𝑛}
d) Cuando el intervalo[𝑎,𝑏] se divide en “n” sub intervalos que tienen la misma longitud, la longitud de
cada sub intervalo es∆𝑥=𝑏−𝑎
𝑛.(Partición regular)
En cada caso, los extremos de cada sub intervalo son:
𝑥0= 𝑎, 𝑥1= 𝑎 + ∆𝑥, 𝑥2= 𝑎 + 2∆𝑥,…, 𝑥𝑖= 𝑎 +𝑖∆𝑥, …,𝑥𝑛= 𝑏
||𝑃||= ∆𝑥
• Calcula la integral definida a partir de la suma de Riemann en situaciones contextuales
