¡Descarga Problemas Seminari 2 Matemáticas II: Derivadas parciales, plano tangente y aproximaciones y más Exámenes en PDF de Matemáticas solo en Docsity!
Matem`atiques II
Problemes del Seminari 2
Heu de raonar breument totes les respostes i justificar els passos que feu.
Mat`eria: Sessions 4 i 5.
- Trobeu les derivades parcials primeres i segones de:
(a) z =
y^2 − x^2.
(b) z =
x^2 y
(c) z = yx. (Indicaci´o: deriveu cada membre de la igualtat ln z = ln(yx) tot aplicant les propietats dels logaritmes).
En cada cas, tingueu cura d’expressar el domini de les derivades. SOLUCI O:´ (a) z′ x = −x/
y^2 − x^2 ; z y′ = y/
y^2 − x^2 ; z xx′′ = −y^2 /(y^2 − x^2 )^3 /^2 ; z′′ yy = −x^2 /(y^2 − x^2 )^3 /^2 ; z xy′′ = z yx′′ = xy/(y^2 − x^2 )^3 /^2.
Domini: {(x, y) : y^2 > x^2 } = {(x, y) : (y − x)(y + x) > 0 }
(b) z′ x = (^2) yx ; z′ y = −x
2 y^2 ;^ z
′′ xx =^
2 y ;^ z
′′ yy = 2^
x^2 y^3 ;^ z
′′ xy =^ z
′′ yx =^ −
2 x y^2.
Domini: {(x, y) : y 6 = 0}
(c) ∂z ∂x = yx^ ln y; ∂z ∂y = xyx−^1 ; ∂
(^2) z ∂x^2 =^ y
x(ln y) (^2) ; ∂^2 z ∂y^2 =^ x(x^ −^ 1)y
x− (^2) ; ∂^2 z ∂y∂x =^
∂^2 z ∂x∂y =^ y
x− (^1) (x ln y + 1).
Domini: {(x, y) : y > 0 }
- Donada la funci´o f (x, y) = 2x^4 − 3 x^2 y + y^2 , trobeu l’equaci´o del pla tangent a la superf´ıcie de la seva gr`afica en el punt (1, 3 , f (1, 3)).
SOLUCI O:´ z = − 10 x + 3y + 3.
- Donada la funci´o f (x, y) = xey/x, es demana:
(a) Demostreu que tots els seus plans tangents passen per l’origen de coordenades. (Indicaci´o: calculeu l’equaci´o del pla tangent en un punt (a, b) del domini). (b) Com s´on els plans tangents en els punts del domini on y = x?
SOLUCI O:´
(a) Si (a, b) ´es del domini de f , (a 6 = 0), el pla tangent a (a, b, aeb/a) t´e per equaci´o
z =
eb/a·(a − b) a
·x + eb/a·y
que, `obviament, passa per (0, 0 , 0). (b) En tots els punts on a = b, el pla tangent ´es el mateix: z = e·y
- Donada la funci´o z = f (x, y) = x^2 + 6xy − 3 y^2 − 4 y, trobeu, si existeix, el punt de la seva gr
afica on el pla 6x − 2 y + z − 3 = 0 ´es tangent. En cas de no existir, justifiqueu el perque.
SOLUCI O:´ (0, − 1 , 1). Cal comprovar que el pla i la superf´ıcie tenen el punt de tang`encia en com´u. En efecte, f (0, −1) = 1 i (0, − 1 , 1) pertany al pla: 6· 0 − 2 ·(−1) + 1 − 3 = 0.
- La seg¨uent figura mostra les corbes de nivell d’una funci´o z = f (x, y):
− 1 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 − 1
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
0
z = 10
z = 8 z = 6
z = 4
z = 2
P
Q
r
(a) En base al grafic anterior, argumenteu quins s´on els signes (positiu, negatiu o zero) de f (^) x′(P ), f (^) y′(P ), f (^) x′(Q) i f (^) y′(Q); ´es a dir, quins s´on els signes de les derivades parcials en els punts P i Q? (b) En la mateixa figura, indiqueu quin ´es el punt del domini on es troba el valor m´ınim de f (x, y) si els punts (x, y) han de pertanyer a la recta r Justifiqueu la vostra resposta.
SOLUCI O:´
(a) f (^) x′(P ) < 0, f (^) y′ (P ) > 0, f (^) x′(Q) > 0, f (^) y′(Q) = 0. Aquesta ´ultima igualtat es justifica perqu`e sobre z = 6, f (^) y′ una mica sota de Q ´es negativa i una mica sobre Q ´es positiva.
(b) min f = 4 (si (x, y) ∈ r) en el punt on r ´es tangent a la corba de nivell z = 4.
- Considereu la funci´o de producci´o de Cobb-Douglas Q(K, L) = 4K^3 /^4 L^1 /^4 , que expressa la producci´o Q en termes de la quantitat de capital K i de la quantitat de treball L. Entenem que cada variable est
a expressada en les unitats adequades (que poden totes ser monetaries). Feu servir les aproximacions de les derivades parcials,
f (x 0 + h, y 0 ) ≈ f (x 0 , y 0 ) +
∂f ∂x
(x 0 ,y 0 )
·h
f (x 0 , y 0 + k) ≈ f (x 0 , y 0 ) +
∂f ∂y
(x 0 ,y 0 )
·k
