¡Descarga Matemáticas 02 2012 y más Exámenes en PDF de Matemáticas solo en Docsity!
Nombre: Grupo:
Matem´aticas I. Bioqu´ımica. Control I. Cuestiones.
(Cada cuesti´on vale 0.5 puntos. Ten´eis que contestar en esta hoja. Contestar una pregunta de esta versi´on con la respuesta correcta de otra versi´on implicar´a un cero de esta parte.)
- Contestar razonadamente a las dos preguntas siguientes:
a) En una poblaci´on de una especie de gatos se tiene que por cada dos gatos de un color hay 5 de dos o m´as colores. ¿Cual es el porcentaje de gatos de dos o m´as colores en la poblaci´on?
b) En una poblaci´on de humanos el 22% tiene los ojos claros. ¿Cu´antos humanos tienen ojos claros por cada 39 de ojos oscuros en esta poblaci´on?
Soluci´on.
a) 100 · (^) 5+2^5 = 71.4286%
b) Por cada cien hay 22 de ojos claros y 78 de ojos oscuros. Luego 2278 = 1139. Por cada 11 de ojos claros hay 39 de ojos oscuros.
- Para cada una de las sucesiones decir para qu´e valores de la constante real A son crecientes, decre- cientes, constantes o ninguna de las tres cosas.
(a) (A · (3.5)n^ + 7)n (b) (A · (− 0 .5)n^ + 7)n
(c) (−(− 0 .9)n^ + A)n (d) (An^ + 7)n
Soluci´on.
a) Si A =
A > 0 creciente. A = 0 constante. 7 A < 0 decreciente.
b) Si A =
A > 0 ninguna de las tres cosas. A = 0 constante. 7 A < 0 ninguna de las tres cosas.
c) Para cualquier valor de A no es ninguna de las tres cosas.
d) Si A =
A > 1 creciente. A = 1, A = 0 constante. 8 , 7 0 < A < 1 decreciente. A < 0 ninguna de las tres cosas.
- Calcular, o decir que no existen, los siguientes l´ımites:
(a) lim n→∞
n 4 n
n (n − 1)4n−^1 + 8n^1 /^3
= (b) lim n→∞
2(−2)n^ + 1 4(−3)n^ + 5n^5
(c) lim n→∞ − 2 n^ sin(3nπn) +
3 n n^3
= (d) lim n→∞
4
)n − 5 ·
5
)n ( (^3) 7
)n − 6 ·
5
)n
Soluci´on.
(a) lim n→∞
n 4 n
n (n − 1)4n−^1 + 8n^1 /^3
= +∞ (b) lim n→∞
2(−2)n^ + 1 4(−3)n^ + 5n^5
(c) lim n→∞ − 2 n^ sin(3nπn) + 3 n n^3
= +∞ (d) lim n→∞
4
)n − 5 ·
5
)n ( (^3) 7
)n − 6 ·
5
)n = 0
- Calcular un vector propio del mayor valor propio de la matriz
A =
Soluci´on.
p(x) =
1 − x 2 3 0 1 − x 4 0 1 1 − x
= (1−x)(1−x)(1−x)−4(1−x) = (1−x)
(1 − x)^2 − 4
= (1−x)(x^2 − 2 x−3)
Los valores propios son las soluciones de p(x) = (1 − x)(x^2 − 2 x − 3) = 0, por lo que los valores propios son 1 , − 1 y 3.
As´ı que el mayor valor propio es 3 Los vectores propios son las soluciones no triviales del sistema de ecuaciones lineales.
x + 2y + 3z = 3 x y + 4z = 3 y y + z = 3 z
− 2 x + 2y + 3z = 0 − 2 y + 4z = 0 y − 2 z = 0
− 2 x + 2y + 3z = 0 y − 2 z = 0
x = 72 z y = 2 z
Luego los vectores propios son
x y z
7 2 t 2 t t
(^) = t ·
7 2 2 1
Tomando t = 2 un vector propio asociado al mayor valor propio 3 es v = (7, 4 , 2)t. No se ped´ıa pero una soluci´on con R es:
A=matrix(c(1,2,3,0,1,4,0,1,1),nrow=3,byrow=TRUE) A
[,1] [,2] [,3]
[1,] 1 2 3
[2,] 0 1 4
[3,] 0 1 1
eigen(A)
$values [1] 3 1 -
$vectors [,1] [,2] [,3] [1,] 0.8427010 1 0. [2,] 0.4815434 0 -0. [3,] 0.2407717 0 0.
u=eigen(A)$vectors[,which.max(eigen(A)$value)] u
[1] 0.8427010 0.4815434 0.
Nombre: Grupo: Matem`atiques I. Bioqu´ımica. Control 1. Ejercicios.
(El ejercicio 1 vale 3 puntos, el ejercicio 2 vale 3 puntos, el 3 vale 1 punto, y 4 vale 1 punto. Ten´eis que comenzar a contestar en esta hoja, que ten´eis que entregar. No entregarla supone un 0 de esta parte.)
- La poblaci´on de raors (Xyrichtys novacula), uno de los peces m´as codiciados de las Islas Baleares, crece de manera natural un 21% anual. Se estim´o que la poblaci´on de raors en 2010 era de 20 millones de ejemplares. Para evitar la sobreexplotaci´on pesquera de esta especie, el Gobierno Balear decidi´o permitir s´olo una cantidad m´axima de 200 capturas anuales por licencia de pesca recreativa (actualmente hay unas 45000 licencias pesqueras de este tipo en las islas). Denotemos por xn el n´umero de raors que habr´a en las aguas de las Islas Baleares n a˜nos despu´es de 2010, si se mantiene el crecimiento natural anual del 21% y cada una de las 45000 licencias puede capturar 200 ejemplares anuales. Para simplificar supondremos que la pesca profesional no afecta al raor.
a) Supongamos que se pesca entre todas las licencias una cantidad C > 0 de raors. Encontrar la ecuaci´on malthusiana que describe la evoluci´on de la sucesi´on (xn)n. Explicar brevemente como se ha obtenido. Dar la soluci´on de la ecuaci´on para la condici´on inicial dada y en funci´on de C.
b) Si cada licencia pescase el m´aximo de 200 raors anuales ¿qu´e suceder´ıa con la poblaci´on de raors de las aguas baleares? Si tendiera a extinguirse (lo que pasar´ıa si xn < 1 para alg´un n), decir en qu´e a˜no pasar´ıa. Si no tiende a extinguirse encontrar, si existe, el primer a˜no en qu´e la poblaci´on de raors haya aumentado como m´ınimo un 50%.
c) ¿Cu´al es la cantidad m´axima C de capturas anuales que permitir´ıa que la poblaci´on de raors baleares (creciendo de forma natural el 21% anual), creciese estrictamente?
Soluci´on.
a) Tenemos que:
xn = poblaci´on de raors el a˜no n+2010. La poblaci´on de raors el a˜no 2010 es x 0 = 20000000. La poblaci´on de raors crece un porcentaje constante anual p = 21%. Se pesca un cantidad C > 0 cada a˜no. La ecuaci´on malthusiana para la poblaci´on de raors es:
xn+1 = xn +
p 100
xn − C =
xn − C = 1. 21 xn − C.
Sabemos que:
Dada una ecuaci´on malthusiana es de inmigraci´on constante si es de la forma:
xn+1 = q · xn + b.
y su soluci´on es: xn = qn
x 0 +
b q − 1
b q − 1
As´ı en nuestro caso tenemos una ecuaci´on malthusiana de inmigraci´on constante con x 0 = 20000000, q =
- 21 , b = −C. Por lo tanto la soluci´on de nuestra ecuaci´on es:
xn = 1. 21 n
−C
−C
b) Hay 45000 licencias de pesca y se supone que cada una pesca el m´aximo anual permitido 200 por lo que en un a˜no pescan una cantidad constante C = 45000 · 200 = 9000000. Entonces
xn = 1. 21 n
= 1. 21 n^ (− 22857142 .8571) + 42857142. 8571
Como lim n→∞
- 21 n^ (− 22857142 .8571) + 42857142.8571 = −∞,
la poblaci´on se extingue. Veamos cu´al es el primer n tal que xn < 1
xn = 1. 21 n^ (− 22857142 .8571) + 42857142. 8571 < 1
- 21 n^ >
- 21 n^ > 1. 875 n log(1.21) > log(1.875)
n >
log(1.875) log(1.21)
n >
Luego el primer entero que cumple la condici´on es n = 4 la poblaci´on se extingui´o en 2014 o por cada licencia no se pesc´o el m´aximo.
c) Para encontrar qu´e cantidad m´axima se puede pescar sin extinguir tenemos que encontrar el valor de C tal que xn < 1 para todo n > 0 , lo que implica que la sucesi´on xn debe ser creciente (o m´as exactamente no decreciente).
xn = 1. 21 n^ ·
−C
−C
0. 21 · 20000000 − C
- 21 n^ +
C
Para que esta sucesi´on sea creciente el coeficiente de la exponencial debe ser estrictamente positivo, es decir
- 21 · 20000000 − C
- 21 − 1
0. 21 · 20000000 − C > 0
C < 4200000 = 4200000
As´ı que se pueden pescar como m´aximo 4199999 ejemplares. As´ı si se mantiene las 45000 licencias y todas pescan el m´aximo se deber´ıa fijar en 419999945000 = 93. 3333 , es decir un m´aximo anual por licencia de 93 ejemplares. Si se quiere mantener la cuota de 200 habr´ıa que reducir el n´umero de licencias a 4199999200 = 20999. 995 , es decir un m´aximo de 20999 licencias de pesca recreativa.
- En el genoma de los vertebrados, una gran proporci´on (entre el 75% y el 85%) de los pares CpG (las bases C y G aparecen de forma consecutiva en una de las hebras del DNA) tienen la citosina metilada. Cuando el DNA se replica, los nuevos pares CpG se crean sin metilar: entonces, las metilasas reconocen los pares que est´an metilados en el DNA padre y tienden a metilarlos en el ADN hijo. La actividad de las metilasas no es perfecta: a veces dejan de metilar un par CpG que est´a metilado en el DNA padre, y a veces metilan un par CpG que no est´a metilado en el DNA padre. En una determinada especie
xn+1 =
xn +
yn (1)
yn+1 =
xn +
yn (2)
operando
xn+1 = 0. 993 xn + 0. 028 yn (3) yn+1 = 0. 007 xn + 0. 972 yn (4)
por lo que tenemos que ( xn+ yn+
xn yn
La matriz pedida es M =
b) La soluci´on de la ecuaci´on
( xn+ yn+
xn yn
es ( xn yn
= M n^ ·
x 0 y 0
Por lo que necesitaremos calcular las potencias de M. Para ello vamos a diagonalizarla. Calculemos los valores propios de M
p(x) =
- 993 − x 0. 028
- 007 0. 972 − x
∣ =^ (0.^993 −^ x)^ ·^ (0.^972 −^ x)^ −^0.^028 ·^0.^007 = 0. 993 · 0. 972 − 0. 993 x − 0. 972 x + x^2 − 0. 000196 = 0. 965196 − (1.965)x + x^2 − 0. 000196 = x^2 − 1. 965 x + 0. 965
Las ra´ıces de p(x) = x^2 − 1. 965 x + 0. 965 son los valores propios. Las ra´ıces son
- 965 ±
(− 1 .965)^2 − 4 · 0. 965
λ 1 = 1 λ 2 = 0. 965
Los vectores propios del valor propio 1 son las soluciones del sistema de ecuaciones lineales
- 993 x + 0. 028 y = 1 x
- 007 x + 0. 972 y = 1 y
⇒ − 0. 007 x + 0. 028 y = 0
⇒ x = −
y
⇒ x = 4y}
Luego los vectores propios son ( x y
4 t t
= t ·
Tomando t = 1 un vector propio asociado al valor propio 1 es v 1 = (4, 1)t. Los vectores propios del valor propio 0. 965 son las soluciones del sistema de ecuaciones lineales
- 993 x + 0. 028 y = 0. 965 x
- 007 x + 0. 972 y = 0. 965 y
⇒ 0. 028 x + 0. 028 y = 0
⇒ x = −
y
⇒ x = − 1 y}
Luego los vectores propios son ( x y
− 1 t t
= t ·
Tomando t = 1 un vector propio asociado al valor propio 0. 965 es v 2 = (− 1 , 1)t. As´ı tenemos que
P =
y D =
por lo tanto
M n^ = P · Dn^ · P −^1 =
)n ·
)n ·
1 n^0 0 0. 965 n
0 0. 965 n
0 .8 + (0.2)0. 965 n^0 .8 + (− 0 .8)0. 965 n 0 .2 + (− 0 .2)0. 965 n^0 .2 + (0.8)0. 965 n
Por lo tanto la soluci´on es ( xn yn
= M n^ ·
x 0 y 0
0 .8 + (0.2)0. 965 n^0 .8 + (− 0 .8)0. 965 n 0 .2 + (− 0 .2)0. 965 n^0 .2 + (0.8)0. 965 n
x 0 y 0
Las expresiones expl´ıcitas de la soluci´on, en funci´on de x 0 e y 0 son
xn = (0.8 + (0.2)0. 965 n)x 0 + (0.8 + (− 0 .8)0. 965 n)y 0 yn = (0.2 + (− 0 .2)0. 965 n)x 0 + (0.2 + (0.8)0. 965 n)y 0
c) Para calcular el comportamiento a largo plazo calculamos los l´ımites de xn e yn
lim n→∞ xn = lim n→∞ (0.8 + (0.2)0. 965 n)x 0 + (0.8 + (− 0 .8)0. 965 n)y 0 = 0. 8 x 0 + (0.8)y 0
lim n→∞ yn = lim n→∞ (0.2 + (− 0 .2)0. 965 n)x 0 + (0.2 + (0.8)0. 965 n)y 0 = 0. 2 x 0 + (0.2)y 0
Por lo que lim n→∞
xn xn + yn
0 .8(x 0 + y 0 ) x 0 + y 0
= 0. 8 que est´a en el centro del intervalo de la cantidad de CpG con la citosina metilada que se postulaba al principio del enunciado.
[2,] 0.0009765625 9.536743e-07 9.536743e-07 0.000000e+ [3,] 0.0000000000 0.000000e+00 5.631351e-02 9.536743e- [4,] 0.0000000000 0.000000e+00 9.536743e-07 5.631351e-
P%%D^10%%solve(P)
[,1] [,2] [,3] [,4] [1,] 1.000000 0.000000e+00 0.0000000 0. [2,] 0.666666 9.536743e-07 0.1671543 0. [3,] 0.000000 0.000000e+00 0.5004883 0. [4,] 0.000000 0.000000e+00 0.4995117 0.
A la vista del c´odigo responder razonadamente estas dos cuestiones:
a) ¿Es la matriz M diagonalizable? ¿Cu´anto vale M 10?
b) Dar una f´ormula matricial de la potencia n-´esima de M (no hace falta invertir P ).
Soluci´on.
a) Los valores propios de la matriz son
eigen(M)$values [1] 1.00 1.00 0.50 0.
Son todos reales, el valor propio 1 tiene multiplicidad 2, los dem´as 1. Todos los vectores propios son linealmente independientes ya que el determinante de la matriz P es no nulo. Por lo tanto los vectores propios asociados al valor propio son linealmente independientes (tambi´en es correcto comprobar que estos dos vectores no son proporcionales). As´ı que la matriz diagonaliza. La potencia M 10 es
P%%D^10%%solve(P) [,1] [,2] [,3] [,4] [1,] 1.000000 0.000000e+00 0.0000000 0. [2,] 0.666666 9.536743e-07 0.1671543 0. [3,] 0.000000 0.000000e+00 0.5004883 0. [4,] 0.000000 0.000000e+00 0.4995117 0.
b) La f´ormula de la potencia n−´esima es (hemos truncado a 4 decimales)
M n^ =
- 2294 0. 5547 0. 5773 1
- 6882 0. 0000 0. 5773 0
- 6882 0. 0000 − 0. 5773 0
0 1 0 0 0 0 (0.5)n^0 0 0 0 (0.25)n
- 2294 0. 5547 0. 5773 1
- 6882 0. 0000 0. 5773 0
- 6882 0. 0000 − 0. 5773 0
