¡Descarga Matemáticas 02 2012 y más Exámenes en PDF de Matemáticas solo en Docsity!
Matem`atiques I. Biologia. Control I. Q¨uestions.
- Calculau els l´ımits seg¨uents, o digau si no existeixen:
(a) lim n→∞
3 · 0. 5 n^ + 5 · 0. 8 n 3 · (− 0 .5)n+1^ + 7 · (− 0 .8)n+^
no existeix (b) lim n→∞
2 · 2. 4 n^ − 5 · 1. 8 n 3 · 3. 6 n^ − 9 · (− 1 .9)n^
(c) lim n→∞ 3 cos(πn^2 ) − 2 · 1. 5 n^ = −∞ (d) lim n→∞
3 n n^4
− 2 n
n = ∞
- Si loga(x) = 2, loga(y) = 1. 5 i loga(z) = 0, qu`e val loga
(( (^) y 2 x
)z ) ?
loga
(( (^) y 2 x
)z ) = z(2 loga(y) − loga(x)) = 1
(fixau-vos que si loga(z) = 0, aleshores z = 1).
- Donau la soluci´o de l’equaci´o malthusiana xn+1 = 0. 6 xn amb condici´o inicial x 0 = − 2. 5 , i digau si ´es creixent o decreixent.
xn = − 2. 5 · 0. 6 n^ i ´es creixent.
- Tenim una poblaci´o que minva un 5% anual. Que li passara en 20 anys? Marcau l’opci´o correcta.
(a) Minvara exactament un 100% (b) Minvara manco d’un 100%! (c) Minvar`a m´es d’un 100%
- Calculau els valors propis de la matriu seg¨uent, i digau si ´es diagonalitzable o no. Justificau la vostra resposta. (^)
Els valors propis s´on 3, 0 i −4, i per tant ´es diagonalitzable, perqu`e ´es d’ordre 3 amb 3 valors propis diferents.
- Calculau els l´ımits seg¨uents, o digau si no existeixen:
(a) lim n→∞ 3 cos(nπ/2) − 2(− 1 .5)n^ no existeix (b) lim n→∞ n^23 n^ −
4 n n^4
(c) lim n→∞
3 · 0. 2 n^ + 5 · 0. 7 n 3 · 0. 2 n+1^ − 7(− 0 .7)n+^
no existeix (d) lim n→∞
2 · 1. 8 n^ − 5 · 2. 4 n 3 · 1. 6 n^ − 9(− 1 .9)n^
no existeix
- Si loga(x) = 2, loga(y) = 1. 5 i loga(z) = 0, qu`e val loga((x · y^2 )z^ )?
loga((x · y^2 )z^ ) = z(loga(x) + 2 loga(y)) = 5
(fixau-vos que si loga(z) = 0, aleshores z = 1).
- Donau la soluci´o de l’equaci´o malthusiana xn+1 = 0. 8 xn amb condici´o inicial x 0 = − 3 , i digau si ´es creixent o decreixent.
xn = − 3 · 0. 8 n^ i ´es creixent.
- Tenim una poblaci´o que minva un 5% anual. Que li passara en 10 anys? Marcau l’opci´o correcta.
(a) Minvara m´es d’un 50% (b) Minvara manco d’un 50%! (c) Minvar`a exactament un 50%
- Calculau els valors propis de la matriu seg¨uent, i digau si ´es diagonalitzable o no. Justificau la vostra resposta. (^)
Els valors propis s´on 2, 0 i 7, i per tant ´es diagonalitzable, perqu`e ´es d’ordre 3 amb 3 valors propis diferents.
- Calculau els l´ımits seg¨uents, o digau si no existeixen:
(a) lim n→∞ n^23 n^ −
(−4)n n^4
no existeix (b) lim n→∞ 3 cos(nπ/2) + 2 · 1. 5 n^ = ∞
(c) lim n→∞
2(− 2 .3)n^ − 5(− 2 .4)n 3 · 1. 6 n^ − 9(− 1 .9)n^
= ∞ (d) lim n→∞
3 · 0. 2 n^ + 5(− 0 .6)n 3 · 0. 2 n+1^ − 7 · 0. 6 n+^
no existeix
- Si loga(x) = 3, loga(y) = 2 i loga(z) = 0, qu`e val loga((x^2 · y)z^ )?
loga((x^2 · y)z^ ) = z(2 loga(x) + loga(y)) = 8
(fixau-vos que si loga(z) = 0, aleshores z = 1).
- Donau la soluci´o de l’equaci´o malthusiana xn+1 = 0. 5 xn amb condici´o inicial x 0 = − 0. 3 , i digau si ´es creixent o decreixent.
xn = − 0. 3 · 0. 5 n^ i ´es creixent.
- Tenim una poblaci´o que minva un 10% anual. Que li passara en 5 anys? Marcau l’opci´o correcta.
(a) Minvara manco d’un 50%! (b) Minvara m´es d’un 50% (c) Minvar`a exactament un 50%
- Calculau els valors propis de la matriu seg¨uent, i digau si ´es diagonalitzable o no. Justificau la vostra resposta. (^)
Els valors propis s´on 5, 0 i 4, i per tant ´es diagonalitzable, perqu`e ´es d’ordre 3 amb 3 valors propis diferents.
- Calculau els l´ımits seg¨uents, o digau si no existeixen:
(a) lim n→∞
2(− 2 .3)n^ − 5 · 2. 4 n 3 · 1. 6 n^ + 9(− 1 .9)n^
no existeix (b) lim n→∞
3 · 0. 2 n^ + 5(− 0 .1)n 3(− 0 .2)n+1^ − 7 · 0. 1 n+^
no existeix
(c) lim n→∞ n^23 n^ −
(−4)n (−n)^4
no existeix (d) lim n→∞ 2 · 1. 5 n^ − 3 cos(3nπ) = ∞
- Si loga(x) = 3, loga(y) = 2 i loga(z) = 0, qu`e val loga
(( (^) x 2 y
)z ) ?
loga
(( (^) x 2 y
)z ) = z(2 loga(x) − loga(y)) = 4
(fixau-vos que si loga(z) = 0, aleshores z = 1).
i la soluci´o amb condici´o inicial x 0 = 291160 ´es
xn = 1. 21 n
C
C
= 1. 21 n
( 61143. 6 − C
C
Ara volem trobar el C m´es gran que fa que x 18 ≥ 220000:
( 61143. 6 − C
C
1. 2118 (61143. 6 − C) + C ≥ 46200
1. 2118 · 61143 .6 + (1 − 1. 2118 )C ≥ 46200
C ≤
Aixo mostra que el valor enter maxim de C que fa que x 18 ≥ 220000 ´es 61643.
- Tenim un cultiu de bacteris en un ambient contaminat que presenten dues variants. La variant A es reprodueix per mitosi i pot tenir descendents dels dos tipus, mentre que la variant B, la mutant, no es reprodueix. S’ha observat que, de mitjana, cada bacteri de tipus A d´ona lloc a 1.2 bacteris de tipus A i 0. bacteris de tipus B cada mig dia (i el bacteri de tipus A desapareix). D’altra banda, cada mig dia un 20% dels bacteris de tipus B presents al cultiu moren.
Diguem an al nombre de bacteris de tipus A i bn al nombre de bacteris de tipus B que tenim al cap de n mitjos dies. Suposem que comen¸cam amb unes quantitats desconegudes a 0 i b 0 de bacteris de tipus A i B, respectivament.
- Trobau la matriu quadrada M d’ordre 2 tal que ( an+ bn+
= M ·
an bn
per a tot n ≥ 0.
Explicau breument com l’heu obtinguda.
Si el mig dia que fa n el nombre de bacteris de tipus A ´es an i el nombre de bacteris de tipus B ´es bn, aleshores el mig dia que fa n + 1:
- El nombre de bacteris de tipus A seran els descendents dels anteriors, 1. 2 an. Per tant an+1 =
- 2 an.
- El nombre de bacteris de tipus B seran els descendents dels de tipus A, 0. 6 an, m´es els que sobreviuen, 0. 8 bn. Per tant, bn+1 = 0. 6 an + 0. 8 bn.
Aix`o d´ona el sistema d’equacions
an+1 = 1. 2 an bn+1 = 0. 6 an + 0. 8 bn
que escrit en forma matricial correspon a ( an+ bn+
an bn
Per tant,
M =
- Trobau f´ormules expl´ıcites per a an i bn, que quedaran en funci´o de les condicions inicials a 0 i b 0. De la igualtat (^) ( an+ bn+
an bn
en dedu¨ım (^) ( an bn
= M n^ ·
a 0 b 0
Calculem les pot`encies de M.
El polinomi caracter´ıstic de M ´es ∣ ∣ ∣ ∣
- 2 − x 0
- 6 0. 8 − x
∣ = (1.^2 −^ x)(0.^8 −^ x)
i les arrels d’aquest s´on 1.2 i 0.8. Per tant, M ´es diagonalitzable. Calculem els vectors propis.
Per al vector propi de valor propi 1.2: (
- 2 0
- 6 0. 8
x y
x y
- 2 x = 1. 2 x
- 6 x + 0. 8 y = 1. 2 y
⇐⇒ 0. 6 x − 0. 4 y = 0 ⇐⇒ y = 1. 5 x
i per tant un vector propi de valor propi 1.2 ´es (1, 1 .5)t.
Per al vector propi de valor propi 0.8: (
- 2 0
- 6 0. 8
x y
x y
- 2 x = 0. 8 x
- 6 x + 0. 8 y = 0. 8 y
⇐⇒ x = 0
i per tant un vector propi de valor propi 0.8 ´es (0, 1)t.
D’aqu´ı obtenim la descomposici´o en valors propis de M (
- 2 0
- 6 0. 8
on (^) ( 1 0
- 5 1
Aleshores les pot`encies de M s´on donades per
(
- 2 0
- 6 0. 8
)n
)n ·
- 2 n^0 0 0. 8 n
Finalment, (^) ( an bn
)n ·
a 0 b 0
- 2 n^0 0 0. 8 n
a 0 b 0
a 0 · 1. 2 n
- 5 a 0 · 1. 2 n^ + (b 0 − 1. 5 a 0 )0. 8 n
Per tant an = a 0 · 1. 2 n bn = 1. 5 a 0 · 1. 2 n^ + (b 0 − 1. 5 a 0 )0. 8 n
- Calculau, si existeix, el percentatge de bacteris de tipus A que tendeix a haver-hi en aquesta poblaci´o. Dep`en de les condicions inicials?
Calculem el l´ımit de la fracci´o de bacteris de tipus A:
lim n→∞
an an + bn
= lim n→∞
a 0 · 1. 2 n a 0 · 1. 2 n^ + 1. 5 a 0 · 1. 2 n^ + (b 0 − 1. 5 a 0 )0. 8 n
= lim n→∞
a 0 · 1. 2 n
- 5 a 0 · 1. 2 n^ + (b 0 − 1. 5 a 0 )0. 8 n = lim n→∞
a 0 · 1. 2 n
- 5 a 0 · 1. 2 n^
i per tant, resolent aquesta equaci´o amb condici´o inicial x 0 = 150000, tenim que
xn = 1. 22 n
= 1. 22 n
- 22 n^ +
Enguany, 2012, la biomassa ser`a
x 5 =
= 278538.5 tones.
- Suposem que els propers anys aquesta poblaci´o segu´ıs creixent de manera natural un 22% anual i que la ICCAT permet la captura de C tones anuals a partir de l’any que ve. Quin seria el valor enter m`axim de C que garantiria que l’any 2030 la biomassa reproductora de tonyina vermella fos com a m´ınim de 225000 tones?
Diguem ara xn a la biomassa reproductora que hi ha l’any que fa n a partir d’enguany, si creix un 22% anual i se’n capturen C tones anuals. Aquesta successi´o ´es governada ara per l’equaci´o malthusiana
xn+1 = 1. 22 xn − C
i la soluci´o amb condici´o inicial x 0 = 278538.5 ´es
xn = 1. 22 n
C
C
= 1. 22 n
( 61278. 47 − C
C
Ara volem trobar el C m´es gran que fa que x 18 ≥ 225000:
( 61278. 47 − C
C
1. 2218 (61278. 47 − C) + C ≥ 49500
1. 2218 · 61278 .47 + (1 − 1. 2218 )C ≥ 49500
C ≤
Aixo mostra que el valor enter maxim de C que fa que x 18 ≥ 225000 ´es 61616.
- Tenim un cultiu de bacteris en un ambient contaminat que presenten dues variants. La variant A es reprodueix per mitosi i pot tenir descendents dels dos tipus, mentre que la variant B, la mutant, no es reprodueix. S’ha observat que, de mitjana, cada bacteri de tipus A d´ona lloc a 1.1 bacteris de tipus A i 0. bacteris de tipus B cada mig dia (i el bacteri de tipus A desapareix). D’altra banda, cada mig dia un 30% dels bacteris de tipus B presents al cultiu moren.
Diguem an al nombre de bacteris de tipus A i bn al nombre de bacteris de tipus B que tenim al cap de n mitjos dies. Suposem que comen¸cam amb unes quantitats desconegudes a 0 i b 0 de bacteris de tipus A i B, respectivament.
- Trobau la matriu quadrada M d’ordre 2 tal que ( an+ bn+
= M ·
an bn
per a tot n ≥ 0.
Explicau breument com l’heu obtinguda.
Si el mig dia que fa n el nombre de bacteris de tipus A ´es an i el nombre de bacteris de tipus B ´es bn, aleshores el mig dia que fa n + 1:
- El nombre de bacteris de tipus A seran els descendents dels anteriors, 1. 1 an. Per tant an+1 =
- 1 an.
- El nombre de bacteris de tipus B seran els descendents dels de tipus A, 0. 4 an, m´es els que sobreviuen, 0. 7 bn. Per tant, bn+1 = 0. 4 an + 0. 7 bn.
Aix`o d´ona el sistema d’equacions
an+1 = 1. 1 an bn+1 = 0. 4 an + 0. 7 bn
que escrit en forma matricial correspon a ( an+ bn+
an bn
Per tant,
M =
- Trobau f´ormules expl´ıcites per a an i bn, que quedaran en funci´o de les condicions inicials a 0 i b 0. De la igualtat (^) ( an+ bn+
an bn
en dedu¨ım (^) ( an bn
= M n^ ·
a 0 b 0
Calculem les pot`encies de M.
El polinomi caracter´ıstic de M ´es ∣ ∣ ∣ ∣
- 1 − x 0
- 4 0. 6 − x
∣ = (1.^1 −^ x)(0.^7 −^ x)
i les arrels d’aquest s´on 1.1 i 0.7. Per tant, M ´es diagonalitzable. Calculem els vectors propis.
Per al vector propi de valor propi 1.1: (
- 1 0
- 4 0. 7
x y
x y
- 1 x = 1. 1 x
- 4 x + 0. 7 y = 1. 1 y
⇐⇒ 0. 4 x − 0. 4 y = 0 ⇐⇒ y = x
i per tant un vector propi de valor propi 1.1 ´es (1, 1)t.
Per al vector propi de valor propi 0.6: (
- 1 0
- 4 0. 7
x y
x y
- 1 x = 0. 7 x
- 4 x + 0. 7 y = 0. 7 y
⇐⇒ x = 0
i per tant un vector propi de valor propi 0.6 ´es (0, 1)t.
D’aqu´ı obtenim la descomposici´o en valors propis de M (
- 1 0
- 4 0. 7
on (^) ( 1 0 1 1
Aleshores les pot`encies de M s´on donades per
(
- 1 0
- 4 0. 7
)n
)n ·
- 1 n^0 0 0. 7 n
> (A^2)[1,1]
[1] 0.
> A%*%A[1,1]
Error in A %% A[1, 1] : non-conformable arguments > (A%%A)[1,1] [1] 18. > (A*A)[1,1] [1] 0.
> (solve(A))[1,1] [1] -0. > (solve(A[1,1])) [,1] [1,] 1. > (A^(-1))[1,1] [1] 1. > (t(A))[1,1] [1] 0.
Que val l’entrada (1, 1) de A^2? Que val l’entrada (1, 1) de A−^1? Justificau les vostres repostes. L’entrada (1, 1) de A^2 ´es 18.36, perque A^2 es calcula amb A%*%A. L’entrada (1, 1) de A−^1 ´es − 0 .2393617, perque A−^1 es calcula amb solve(A).
Matem`atiques I. Biologia. Control I. Exercicis.
La biomassa reproductora de tonyina vermella (pes total dels exemplars de m´es de 4 anys) creix de manera natural un 21% anual. A finals d’any 2007 n’hi havia un total mundial de 150000 tones i des de llavors se n’ha permes una captura anual constant de 13100 tones. Al si de la ICCAT (la Comissi´o per a la Conservaci´o de la Tonyina Atlantica) s’hi est`a discutint la possibilitat d’augmentar aquesta quota anual.^2
Amb aquestes dades, quina biomassa reproductora hi haur`a a finals d’enguany (s´ı, del 2012)? Diguem xn a la biomassa reproductora que hi ha l’any que fa n a partir del 2007. Aquesta successi´o ´es governada per l’equaci´o malthusiana
xn+1 = xn +
xn − 13100 = 1. 21 xn − 13100
i per tant, resolent aquesta equaci´o amb condici´o inicial x 0 = 150000, tenim que
xn = 1. 21 n
= 1. 21 n
- 21 n^ +
Enguany, 2012, la biomassa ser`a
x 5 =
= 289642.2 tones.
- Suposem que els propers anys aquesta poblaci´o segu´ıs creixent de manera natural un 21% anual i que la ICCAT permet la captura de C tones anuals a partir de l’any que ve. Quin seria el valor enter m`axim de C que garantiria que l’any 2030 la biomassa reproductora de tonyina vermella fos com a m´ınim de 230000 tones?
Diguem ara xn a la biomassa reproductora que hi ha l’any que fa n a partir d’enguany, si creix un 21% anual i se’n capturen C tones a partir de l’any que ve. Aquesta successi´o ´es governada ara per l’equaci´o malthusiana xn+1 = 1. 21 xn − C
i la soluci´o amb condici´o inicial x 0 = 289642.2 ´es
xn = 1. 21 n
C
C
= 1. 21 n
( 60824. 86 − C
C
(^2) Aquesta versi´o ´es la de dades reals.
Ara volem trobar el C m´es gran que fa que x 18 ≥ 230000:
( 60824. 86 − C
C
1. 2118 (60824. 86 − C) + C ≥ 48300
1. 2118 · 60824 .86 + (1 − 1. 2118 )C ≥ 48300
C ≤
Aixo mostra que el valor enter maxim de C que fa que x 18 ≥ 220000 ´es 61243.
- Tenim un cultiu de bacteris en un ambient contaminat que presenten dues variants. La variant A es reprodueix per mitosi i pot tenir descendents dels dos tipus, mentre que la variant B, la mutant, no es reprodueix. S’ha observat que, de mitjana, cada bacteri de tipus A d´ona lloc a 1.3 bacteris de tipus A i 0. bacteris de tipus B cada mig dia (i el bacteri de tipus A desapareix). D’altra banda, cada mig dia un 60% dels bacteris de tipus B presents al cultiu moren.
Diguem an al nombre de bacteris de tipus A i bn al nombre de bacteris de tipus B que tenim al cap de n mitjos dies. Suposem que comen¸cam amb unes quantitats desconegudes a 0 i b 0 de bacteris de tipus A i B, respectivament.
- Trobau la matriu quadrada M d’ordre 2 tal que ( an+ bn+
= M ·
an bn
per a tot n ≥ 0.
Explicau breument com l’heu obtinguda.
Si el mig dia que fa n el nombre de bacteris de tipus A ´es an i el nombre de bacteris de tipus B ´es bn, aleshores el mig dia que fa n + 1:
- El nombre de bacteris de tipus A seran els descendents dels anteriors, 1. 3 an. Per tant an+1 =
- 3 an.
- El nombre de bacteris de tipus B seran els descendents dels de tipus A, 0. 6 an, m´es els que sobreviuen, 0. 4 bn. Per tant, bn+1 = 0. 6 an + 0. 4 bn.
Aix`o d´ona el sistema d’equacions
an+1 = 1. 3 an bn+1 = 0. 6 an + 0. 4 bn
que escrit en forma matricial correspon a
( an+ bn+
an bn
Per tant,
M =
- Trobau f´ormules expl´ıcites per a an i bn, que quedaran en funci´o de les condicions inicials a 0 i b 0. De la igualtat (^) ( an+ bn+
an bn
en dedu¨ım (^) ( an bn
= M n^ ·
a 0 b 0
Calculem les pot`encies de M.
Per tant tendeix a haver-hi un 40% de bacteris de tipus B, independentment de les condicions inicials.
- Disposam d’unes dades que relacionen el nombres de fulles de plantes de blat de moro amb un determinat genotip, amb les seves al¸cades. Per estudiar-les, entram les dades en una sessi´o de R en dues llistes, A (al¸cades de les plantes, en cm) i N (nombres de fulles de les plantes). A continuaci´o executam les instruccions seg¨uents (hem esborrat les l´ınies irrellevants dels resultats i ho escrivim a doble columna, per no tudar paper).
> lm(N~A) Coefficients: (Intercept) A 5.9133 0. > summary(lm(N~A))$r.squared [1] 0. > lm(log10(N)~A) Coefficients: (Intercept) A 0.985262 0. > summary(lm(log10(N)~A))$r.squared [1] 0.
> lm(N~log10(A)) Coefficients: (Intercept) log10(A) -44.91 27. > summary(lm(N~log10(A)))$r.squared [1] 0. > lm(log10(N)~log10(A)) Coefficients: (Intercept) log10(A) -0.2676 0. > summary(lm(log10(N)~log10(A)))$r.squared [1] 0.
A partir d’aquesta sessi´o, podeu deduir una expressi´o que doni N aproximadament en funci´o de A? Quantes fulles estimar´ıeu que t´e una planta de 198 cm? Justificau completament la vostra resposta.
La regressi´o amb R^2 m´es alt ´es la de log(N ) en funci´o de A, amb R^2 = 0.9979452. Per tant, de la sessi´o dedu¨ım que la millor aproximaci´o ´es log(N ) = 0.985262 + 0.002157, d’on dedu¨ım
N = 10log(N^ )^ = 10^0 .985262+0.^002157 = 10^0.^985262 · (10^0.^002157 )A^ = 9. 666339 · 1. 004979 A
Si ara A = 198, tenim que N ≈ 9. 666339 · 1. 004979198 = 25. 84315
i concloem que tindr`a unes 26 fulles.
- Tenim una matriu A, amb la que efectuam les operacions seg¨uents amb R (ho escrivim a doble columna per no tudar paper).
> (A^2)[1,1] [1] 0. > (AA)[1,1] [1] 0. > A%%A[1,1] Error in A %% A[1, 1] : non-conformable arguments > (A%%A)[1,1] [1] 26.
> (t(A))[1,1] [1] 0. > (solve(A[1,1])) [,1] [1,] 1. > (solve(A))[1,1] [1] -0. > (A^(-1))[1,1] [1] 1.
Que val l’entrada (1, 1) de A^2? Que val l’entrada (1, 1) de A−^1? Justificau les vostres repostes. L’entrada (1, 1) de A^2 ´es 26.49, perque A^2 es calcula amb A%*%A. L’entrada (1, 1) de A−^1 ´es − 0 .05792748, perque A−^1 es calcula amb solve(A).
