¡Descarga Soluciones a Exámenes de Matemáticas Económicas y Empresariales de UPF - Prof. Gil y más Exámenes en PDF de Matemáticas solo en Docsity!
FACULTAT DE CIENCIES ECONOMIQUES I EMPRESARIALS, UPF
Matem`atiques II – Examen de Recuperaci´o –
ECO/ADE/IBE
Soluci´o provisional Examen recuperaci´o 2015-
1 (10 p) Donada la funci´o
f (x, y) =
9 − (x − 2)^2 − y^2 +
(2 − x)(4 − x) x^2 + y^2 − 1
trobeu raonadament i representeu el seu domini. SOLUCI O´
− 2 − 1 1 2 3 4 5 6
− 4
− 3
− 2
− 1
1
2
3
4
x
y
2 (10 p) Sigui la funci´o de dues variables f (x, y) = mxy +
x^2 − 2 y^2. Trobeu per quin valor del
par`ametre m el pla 10y + z −
= 0 ´es tangent a f (x, y) sabent que aix`o passa quan z = −
SOLUCI O´
Perque hi hagi tangencia s’ha de complir, simult`aniament, f (^) x′ = my + x = 0 i f (^) y′ = mx − 4 y = −10. La soluci´o del sistema ´es x = −
10 m m^2 + 4
, y =
m^2 + 4
. S’ha de complir, a
m´es, que z(−
10 m m^2 + 4
m^2 + 4
; ´es a dir − 10
m^2 + 4
, que t´e per soluci´o m = ±4.
3 (10 p) Donada la seg¨uent forma quadr`atica
f (x, y) = (k − 1)x^2 + 4xy + (k + 2)y^2 ,
(a) (7 p) Determineu per quins valors de k ´es definida negativa. (b) (3 p) Si les variables estan sotmeses a la restricci´o y = −x, per quins valors de k ´es definida negativa?
SOLUCI O´ El determinant de la matriu associada ´es k^2 + k − 6 = (k + 3)(k − 2). (a) Es definida´ negativa si i k ∈ (− inf, −3). La restricci´o en y = −x ´es f (x, −x) = (2k − 3)x^2 i, ´es definida negativa si i k < 3 /2.
4 (10 p) Considereu la funci´o f (x, y) =
2 x^ y^3. Observeu que f (3, 2) = 16.
(a) (5 p) Si la y es mant´e fixada en el valor 2, aproximadament quin increment ha de tenir x = 3, perqu`e el valor de la funci´o passi de 16 a 18? (b) (5 p) Si suposem ara que x = t^2 i que y = t + 2, doneu una f´ormula usant la regla de la cadena per
df dt
i calculeu
df dt
SOLUCI O´
(a) Com que dy = 0, df = f (^) x′(3, 2)dx = 2. A m´es (treballant amb 4 decimals), f (^) x′(3, 2) = 11 , 0903 i, per tant dx = 0, 1803. (b)
df dt
= f (^) x′
dx dt
dy dt = 14 2 xy^3 ln 2 · 2 t + 14 2 x 3 y^2 = 14 2 t
2 (t + 2)^3 ln 2 · 2 t + 14 2 t
2 3(t + 2)^2 ,
i
df dt
5 (15 p) Sigui
f (x, y) =
x ya^
3 x^2 bxb^ +
x^3 y + xy^3
(a) (10 p) Trobeu per a quins valors de a, b ∈ R la funci´o f (x, y) ´es homog`enia, i el seu grau d’homogene¨ıtat.
(b) (5 p) Calculeu
y (^) ∂y∂ f (x, y) x (^) ∂x∂ f (x, y)
SOLUCI O´
a) b = 2 o b = 0 i a = 1. El grau ´es 0. b) Pel Teorema de Euler, val −1.
6 (15 p) Considereu la funci´o f (x, y) = 9 − x^2 − y^2 , subjecta a la restricci´o −x^2 + y = −3.
(a) (9 p) Trobeu els candidats a optims mitjan¸cant el metode de Lagrange. (b) (6 p) Classifiqueu els punts obtinguts a l’apartat anterior pel metode grafic, indicant si s´on locals o globals i mostrant clarament el raonament seguit.
SOLUCI O´
a) M´ınims en els punts {(x, 0) : 0 ≤ x ≤ 1 } i en {(0, y) : 0 ≤ y ≤ 1 } amb valor 0 i m`axim en (
6 /3) amb valor 2
3 /9. No hi ha punts estacionaris en l’ interior de S. La funci´o s’anulla en els punts de S sobre els eixos. Substituint y per 1 − x^2 amb 0 ≤ x ≤ 1 en f (x, y) es troba el candidat (
6 /3) que pren valor 2
3 /9 i, per tant ´es maxim. b) No t´e maxim global. Els punts de T sobre els eixos (que tenen x = 0 o y = 0) s´on m´ınims globals.
8 (15 p) Considerem el problema
Min g(u, v, w) = u + 2v + 3w t.q.
u + w ≥ − 1 1 − w ≤ v u, v, w ≥ 0
(a) (7 p) Trobeu i resoleu el corresponent problema dual. (b) (5 p) Trobeu el m´ınim global de g(u, v, w) amb les restriccions plantejades. (c) (3 p) Com es modifica el problema dual i la seva soluci´o si canviem u + w ≥ −1 per u + w ≥ − 1 .01?
SOLUCI O´
a) Max f (x, y) = −x + y t.q. x ≤ 1, y ≤ 2, x + y ≤ 3. El m`axim ´es (0, 2), amb valor 2.
x
y
b) Es (0´ , 1 , 0). c) No canvia.
