Departamento de Matemáticas
Matemáticas II (Grado en Química)
Examen de Teoría. 2 de junio de 2017
1. Sea
X
la variable aleatoria concentración de cloruros en
ml/g
en una muestra de agua. Supondremos
que
X∼N(µ, σ).
(a) Calcula
P(X≥µ+σ).
(b) Obtén
a > 0
tal que
P(|X−µ| ≤ a) = 0.99
.
(c) Determina el tamaño mínimo que debe tener una muestra de la variable
X,
para poder asegurar
que la media muestral dista de la media de
X
menos que
σ
en al menos el
99%
de muestras de
dicho tamaño.
2. Para estudiar si el contenido en azúcar, antes y después de envasar melocotones en almíbar, cambia,
se tomó una muestra de tamaño
10
y se midió el nivel de azúcar antes y después de su envasado. Los
datos obtenidos proporcionaron unas medias de
¯xA= 0.721
,
¯xD= 0.808
, con unas varianzas corregidas
de
s2
A= 0.004629
y
s2
D= 0.008076
.
Suponiendo que los datos se distribuyen normalmente y que
σ2
A=σ2
D
, ¾podemos armar con un nivel
de signicación del
1%
que el contenido de azúcar aumenta cuando los melocotones se envasan en
almíbar?
3. En la siguiente tabla tenemos información sobre una función
f
en el intervalo
[−1,2]
y una tabla de
diferencias divididas asociada a dichos puntos.
xif[·]f[·,·]f[·,·,·]f[·,·,·,·]
−1 0
0 1 1
18
5
3
5−1
5
272
5
64
5
61
10
21
10
(a) Aproxima el valor de
f(0.9)
mediante interpolación lineal utilizando la tabla de diferencias divi-
didas anterior. Justica la elección de nodos que has realizado y escribe el polinomio que obtienes
por dicha técnica.
(b) Aproxima el valor de
f(0.9)
mediante interpolación cuadrática utilizando la tabla de diferencias
divididas anterior. Justica la elección de nodos que has realizado y escribe el polinomio que
obtienes por dicha técnica.
4. Calcula mediante el método de Simpson compuesto el valor
∫4
1log(x2)dx
con un error absoluto menor
que
0.02
.
5. Considera el siguiente problema de valores inicales:
y′= 2x e−y;y(0) = 1.
Se pide:
(a) Calcula el valor aproximado de
y(1)
mediante el método de Euler mejorado (con
h= 0.5
), y
también el valor aproximado de
y(1)
mediante el método de Runge-Kutta de cuarto orden (con
h= 1
).
(b) Calcula el error absoluto de cada aproximación teniendo en cuenta que la solución exacta es
y= log(x2+e)
.
(c) Comenta razonadamente si la relación entre ambos errores absolutos es la esperada.
NOTA
: La prueba consiste en realizar los ejercicios 1, 2 y 3, junto con uno de los ejercicios 4 y 5 a vuestra
elección. Todas las preguntas puntúan igual.
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