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p > MATEMÁTICAS || Nombre y apellidos PRUEBA DE SÍNTESIS - A 8 de julio de 2013 Max. 10-x?-—y? 1. (2 puntos) Sea el problema de programación no lineal: s.a: x+3y>10 ,se pide: a) Analiza el cumplimiento de las hipótesis del teorema de Weierstrass y deduce la consecuencia adecuada. b) Escribe las condiciones de Kuhn y Tucker. c) Calcula el único punto de Kuhn y Tucker. d) Analiza si dicho punto es el máximo global. Max. da +3y+z sami s6n tinas. $0 +4yFZEÓ a 2. (2 puntos) Dado el siguiente problema de Programación lineal: 4x+3y+67<12 * se pide: xyZ2>20 a) Calcula la tabla del simplex asociada a las variables básicas xa=(Z, 51). b) Razona si es la tabla óptima. En caso afirmativo, extrae el valor de las variables principales, de holgura y de la función objetivo. En caso negativo, realiza una iteración del método simplex e interpreta la nueva tabla obtenida (si es óptima o si habría que seguir iterando). Max. 2x+4y+z Sen ls Sa x+y+zZ4 3. (2 puntos) Dado el siguiente problema de Programación lineal: 2x+2y+22<12 * cuya xy 220 tabla óptima es: 2 4 1 o 0 Xx y z Si Ss 2 x 1 0 o -1/2 1/4 1 4 y 0 1 1. 14 ysa|os 2 2 4 4 1238 |., m o o 3 1.) 3 a) b) c) a) 4. Obtén el análisis de sensibilidad del coeficiente de la variable z en la función objetivo, Obtén el análisis de sensibilidad del segundo término independiente bz. ¿Cuál es la nueva solución óptima si el coeficiente de la variable y en la función objetivo ha pasado a valer 3? Calcula la solución óptima de su problema dual. (1,5 puntos) a) Estudia si el conjunto de oportunidades S = [(x, y) €R?/1? + y? <4, 2x—y<2, 120) es convexo. Pon un ejemplo de solución infactible, factible interior y factible frontera. b) ¿Qué tipo de solución se deduce de la siguiente tabla del simplex de un problema de maximizar tras aplicar el método de las penalizaciones?: 2 1 0 o -M Xx y Si Ss A 2 xo 1 3 1 0 o 6 -M A 0 5 2 1 1 E wj 0 75M 22M -M o [| 12-3m ¿Y qué tipo de solución puede tener su problema dual? (1 punto) Al resolver el problema linea! asociado al problema entero siguiente: Max. F=3x+2y sa: 2x+5y<9 4x+2y<9 xy>2>0, x, y enteras se obtiene la solución (x, y)=(1'6875, 1125), con F=7"3125. Escribe los dos problemas que habría que resolver a continuación según el método de ramificación y acotación. ¿Qué puedes decir sobre el valor óptimo de la función objetivo en esos problemas? . (1,5 puntos) Dos depósitos de gas suministran a tres fábricas en un polígono industrial. El coste de transportar cada metro cúbico de gas durante un kilómetro es de 0,06 euros. La distancia (en kilómetros) entre los depósitos y las fábricas se recogen en ta tabla siguiente Depósito A | Depósito B Fábrica 1 17 23 | Fábrica 2 16 12 Fábrica 3 8 19 Las capacidades de los depósitos son, respectivamente de 2000 y 1500 m!. Las necesidades diarias en cada fábrica son de 500, 1000 y 1500 mí, respectivamente. Además, para evitar una dependencia excesiva, ningún depósito puede suministrar más del 75% del gas que necesita cada fábrica. Plantea en esas condiciones el problema para minimizar los costes de transporte. 5. (1 punto) Al resolver el problema lineal asociado al problema entero siguiente: Max. F=2x+3y s.q: 5x+2y<9 2x+4y<9 xyz20, x, y enteras se obtiene la solución (x, y)=(1'125, 16875), con F=7'3125. Escribe los dos problemas que habría que resolver a continuación según el método de ramificación y acotación. ¿Qué puedes decir sobre el valor óptimo de la función objetivo en esos problemas? 6. (1,5 puntos) Dos depósitos de gas suministran a tres fábricas en un polígono industrial. El coste de transportar cada metro cúbico de gas durante un kilómetro es de 0,08 euros. La distancia (en kilómetros) entre los depósitos y las fábricas se recogen en la tabla siguiente Depósito A | Depósito B Fábrica 1 18 21 Fábrica 2 14 10 Fábrica 3 10 Eo] Las capacidades de los depósitos son, respectivamente de 1500 y 2000 m?. Las necesidades diarias en cada fábrica son de 1500, 1000 y 500 m', respectivamente. Además, para evitar una dependencia excesiva, ningún depósito puede suministrar más del 75% del gas que necesita cada fábrica. Plantea en esas condiciones el problema para minimizar los costes de transporte. 
