¡Descarga Concepto de Función: Pendiente y Derivada - Prof. Ferreiro Pérez y más Apuntes en PDF de Matemática Empresarial solo en Docsity!
(^1) Aproximadamente, para una persona de 60 kilos, si pedalea con una dureza baja.
(^2) En economía a veces se utiliza la convención contraria. Por ejemplo, el precio es la
variable independiente en una función de demanda, pero se representa en el eje de ordenadas.
Apéndice a las Notas de clase: Repaso matemático
Muchos de los conceptos económicos que se presentan en este curso tienen una base matemática; en este apéndice se presenta un repaso a un nivel muy básico de algunos de los conceptos que utilizamos.
1. CONCEPTO DE FUNCIÓN Dados dos conjuntos, X e Y, una función definida de X en Y es una regla que asigna a cada elemento del conjunto X un único elemento del conjunto Y.
Por ejemplo, X puede ser el conjunto de jugadores un equipo de fútbol e Y el número que llevan en la camiseta. Hay una función que asigna a cada jugador un único número de su camiseta.
Abusando de la notación, los economistas solemos denotar un elemento de un conjunto y el conjunto del mismo modo. Es decir, que X e Y denotan también valores de los respectivos conjuntos. Si Y es el valor de la función en X, escribimos Y = f (X) para expresar una función definida del conjunto X en el Y. La variable X es la variable independiente , y la variable Y la dependiente.
Por ejemplo, una persona que pedalea en bici estática para perder peso, puede estar interesada en cuántas calorías quema. Si X es el número de minutos que pedalea e Y el número de calorías que quema por minuto, la función que las relaciona es Y= 6,5 X, que indica que quema 6,5 calorías por cada minuto que pedalea. 1
Si la función f se define de X en Y, los valores permitidos de X son el dominio de la función y los valores que toma Y la imagen de la función.
2. REPRESENTACIÓN GRÁFICA DE UNA FUNCIÓN
Dada una función Y = f (X), podemos representarla gráficamente en los ejes de coordenadas. La variable independiente X se representa en el eje horizontal o eje de abscisas , y la variable dependiente Y en el eje vertical o eje de ordenadas. 2
El gráfico de la función es el conjunto de pares ( X , f ( X )). Puesto que en la mayoría de los casos las variables económicas son positivas o cero, sólo consideramos el primer cuadrante de los ejes de coordenadas. Volviendo al ejemplo de las calorías que se queman por minuto que se pedalea, el Gráfico 1 representa la función Y = 6,5X. Si X=1, Y= 6,5, y si X= 2,
(^3) Al hacer un gráfico, es muy importante que nombre los ejes y mantenga la escala dentro de cada eje.
Y=13. Los pares de puntos (1, 6,5) y (2, 13) están representados en el Gráfico 1. 3
La abscisa en el origen es el punto en el que la variable Y toma el valor 0; es decir, es el punto en el que la recta corta al eje de abscisas. En el ejemplo, la abscisa en el origen es (0, 0). Del mismo modo, la ordenada en el origen es el punto en que la variable X toma el valor 0; es decir, el punto en el que la recta corta al eje de ordenadas. En el ejemplo, la ordenada en el origen es también (0, 0): se trata de una recta que sale del origen de los ejes de coordenadas, el punto (0, 0)
2.1 Un tipo de función: Una función lineal. Representación de una recta y pendiente entre dos puntos
La función Y = 6,5X representada en el Gráfico 1, es un ejemplo de una función lineal , cuya representación es una recta. Es una recta porque por cada minuto que aumenta el tiempo que pedalea una persona, el número de calorías que quema aumenta siempre en la misma cantidad, 6,5 calorías.
Además, es una recta creciente , lo que indica que el número de minutos que pedalea y el número de calorías que quema una persona están relacionados positiva o directamente : si aumenta el número de minutos que pedalea, aumenta, el número de calorías que quema.
El que sea una recta y una recta creciente, tiene mucho que ver con el concepto de pendiente , que introducimos a continuación.
para este ejemplo:
- Por tratarse de una recta, obtendrá el mismo valor sean cuales sean los puntos que elija: la pendiente de una recta es una constante.
- En este ejemplo, la pendiente es negativa. Si la pendiente es negativa la recta es decreciente, lo que indica que la relación entre ambas variables es negativa o inversa : cuando una aumenta, la otra disminuye.
- La pendiente indica cuánto varía Y , la variable dependiente, al variar X , la variable independiente, en una unidad. En el ejemplo, la pendiente es -0,05: el coste de 1 segundo.
El gráfico 2 representa la función que relaciona el saldo restante de la tarjeta prepago de 10 € y los segundos que se ha utilizado el teléfono. Fíjese que una vez que ha razonado que se trata de una recta, representando dos puntos cualesquiera de la misma puede trazarla.
2.3 Ecuación de una recta Si conocemos la pendiente y la ordenada en el origen de una recta, podemos obtener la expresión analítica o la ecuación de la recta. A partir de la ordenada en el origen, (X 1 , Y 1 ) = (0, b), y un punto genérico, (X 2 , Y 2 ) = (X, Y), utilizando la definición de pendiente entre dos puntos:
m =
Y - b X - 0
⇒ Y − b = m (X - 0) ⇒ Y = b + mX
Es decir, la expresión analítica de una recta siempre puede expresarse como la variable representada en el eje de ordenadas, Y, igual a una constante, b, que es el valor de Y para el que X es igual a 0, mas una constante, m, que es la pendiente de la recta, multiplicada por X.
En el ejemplo de la bicicleta y las calorías quemadas, b= 0 y m= 6,5, por lo que obtenemos la
ecuación con la que comenzamos el ejemplo: Y= 6,5 X. En el ejemplo de la tarjeta prepago, b= 10 y m=-0,05, por lo que la ecuación de la recta es Y = 10 - 0,05X.
Del mismo modo, dada la ecuación:
Y = 100 + 50X sabemos que es una recta con ordenada en el origen (0, 100) y de pendiente positiva e igual a
- Como es una recta, es suficiente representar dos puntos para poder trazarla. Uno de ellos puede ser la ordenada en el origen, (0, 100). Y otro lo obtenemos dando un valor a la variable X en la ecuación. Por ejemplo, si X = 2, Y = 200, es decir, (2, 200) es otro punto de la recta. Una vez que tenemos dos puntos, ya podemos representar la recta, como hacemos en el Gráfico 3.
3. COMPARACIÓN DE PENDIENTES
Muchos de los conceptos económicos que se presentan en este curso, pueden interpretarse como la pendiente de una recta o una curva, y algunos razonamientos se basan en comparar las pendientes de dos rectas, por ejemplo, para determinar cuál es mayor.
Considere las dos rectas de pendientes positivas que están representadas en el Gráfico 4.
3.1 Casos extremos Como casos extremos, una recta que es paralela al eje de abscisas tiene pendiente 0, puesto
que ∆Y = 0para cualquier par de puntos sobre la recta que consideremos, de modo que
m =. Y una recta paralela al eje de ordenadas tiene pendiente^ , puesto
Y
X
X
que ∆X = 0para cualquier par de puntos sobre la recta que consideremos, y
m =.
Y
X
Y
4. RELACIONES NO LINEALES ENTRE VARIABLES, PENDIENTE EN UN PUNTO
Y EL CONCEPTO DE DERIVADA
Considere la función Y = f (X) representada en el Gráfico 6, una relación positiva puesto que se trata de una curva creciente (aumenta Y al aumentar X).
Como en el caso de una recta, podemos hallar la pendiente entre cualquier par de puntos, pero a diferencia de lo que ocurría con una recta, la pendiente depende de los dos puntos elegidos, y varía a lo largo de la curva.
Los economistas asociamos en muchos casos un concepto económico a la pendiente en un punto, que, geométricamente, corresponde a la pendiente de la recta tangente a la curva en ese punto, y que definimos como el límite, cuando la variación de X tiende a 0, de la pendiente entre dos puntos. Es decir,
lim
Y
X
∆X 0
→
Pero este es el concepto de derivada de la función Y = f (X) con respecto a X, que se escribe f ’(X ).
Formalmente, dado el valor X 0 de la variable X , si ∆X =h, la derivada de la función en X 0
es:
f f^ X^ h^ f^ (^ )
h h '(X ) = X 0 lim^0
( ) →
El signo de la primera derivada, f ’(X), indica si se trata de una función creciente o decreciente. Si la primera derivada de la función es positiva, la función es creciente ; es decir, las variables tienen una relación positiva o directa. Si la primera derivada de la función es negativa, la función es decreciente ; es decir, las variables tienen una relación negativa o inversa.
Una función es diferenciable en un punto si su derivada existe en ese punto; una función es diferenciable si su derivada existe en todo su dominio.
La segunda derivada de la función, f “(X), es la derivada de la primera derivada. Si es positiva, indica que la primera derivada, es decir, la pendiente de la función, es creciente a medida que aumenta X. Si es negativa indica que la primera derivada, es decir, la pendiente de la función, es decreciente a medida que aumenta X.
5. CONCAVIDAD Y CONVEXIDAD DE UNA FUNCIÓN
La concavidad y la convexidad se pueden definir de varias maneras, que son equivalentes.
Gráficamente, y representando la variable X en abscisas, una función es cóncava si:
- el segmento que une dos puntos cualesquiera de la curva queda por DEBAJO de la **curva
- la tangente a cualquier punto de la curva** queda por ENCIMA de la curva
Analíticamente , una función diferenciable Y = f ( X ) es cóncava si:
- su segunda derivada es MENOR que 0 , f “ ( X ) < 0, o lo que es lo mismo, su pendiente es decreciente
Del mismo modo, gráficamente , una función es convexa cuando:
- el segmento que une dos puntos cualesquiera de la curva queda por ENCIMA de **la curva
- la tangente a cualquier punto de la curva** queda por DEBAJO de la curva
Analíticamente , una función diferenciable Y = f ( X ) es convexa si:
- su segunda derivada es MAYOR que 0 , f “ ( X ) > 0, o lo que es lo mismo, su pendiente es creciente
Gráfico 10: Funciones cóncavas y convexas
En el gráfico10 se representan funciones cóncavas y convexas. Verifique que las definiciones gráficas se cumplen en todos los casos.
6. FUNCIÓN DE VARIAS VARIABLES; MOVIMIENTOS A LO LARGO DE UNA
CURVA Y DESPLAZAMIENTOS DE LA CURVA
Hasta ahora hemos considerado funciones de una variable, pero en economía también manejamos funciones en que una variable es función de dos o más variables.
Por ejemplo, la cantidad de compactos que demanda un consumidor puede ser función del precio de los compactos y de la renta del consumidor. Si denotamos el número de compactos que demanda mensualmente por X, su precio por P y la renta por R, X = f (P, R) es la función que relaciona cantidad demandada con precio y renta, la función de demanda de compactos del consumidor.
7. CONTINUIDAD DE UNA FUNCIÓN
Informalmente, una función f es continua si la curva que la representa, es decir, el conjunto de puntos (X, f (X)), se puede trazar sin levantar el lápiz del papel.
Una función f es continua si y solo si es continua en todos los puntos de su dominio.
El Gráfico 13 presenta dos ejemplos gráficos de funciones, una que es continua y otra que no lo es.
8. DOS DERIVADAS QUE SE VAN A UTILIZAR A LO LARGO DEL CURSO
En el tema de producción se utilizan básicamente dos formas funcionales, de las cuales le recordamos a continuación sus derivadas.
Derivada de Y = b+mX, donde b y m son constantes En este caso, se trata de la derivada de la ecuación de una recta.
f "(X) = dm dX
= 0 f ' (X) = dY
dX
=m
Es decir, la primera derivada de la función es igual a la pendiente de la recta, m. La segunda derivada es:
lo que indica que la pendiente no varía al variar X.
Por ejemplo, si Y = f (X) = 20+10X, f '(X) = 10 > 0, es decir, la recta es creciente.
Derivada de Y = k Xj, donde k y j son constantes
f ' (X) = dY dX
=jkX j-
( )
f "(X) = ( ) X
d jkX dX
= j j-1 k
j- j-
Por ejemplo, si Y = 8 X X ,. Puesto que la
1 = 8 2 f '(X) = dY
dX
X X
X
1 2
1
= 1 −^ = −^2 = >
1
primera derivada es positiva, la función es creciente.
f "(X) = - X X. Que la segunda derivada sea negativa indica que la
X
1 2 -
3 2 3 2
− − 1
primera derivada es decreciente, es decir, que la pendiente disminuye al aumentar X y que la función es cóncava.
