¡Descarga Problemas de cálculo y física para la titulación de Genética - Prof. Reig y más Exámenes en PDF de Matemáticas solo en Docsity!
Matemàtiques. Titulació de Genètica
Curs 2011-
1er Examen Parcial.
1. Uns especialistes en biologia marina estan estudiant la disminució de la intensitat I = I(z) de la llum solar en funció de la profunditat z en el mar. El model que utilitzen estableix que la velocitat amb la que la intensitat de la llum I(z) disminueix és proporcional a la intensitat de la llum a la profunditat considerada. La constant de proporcionalitat k rep el nom de coeficient d’atenuació vertical.
a) Escriu l’equació diferencial que compleix la funció I(z) d’acord amb el model. Escriu també la seva solució, és a dir la funció I(z), en termes del coeficient k i de la intensitat de la llum I 0 = I(0) en la superfície del mar. b) Els biòlegs determinen experimentalment el coeficient k observant que el 15% de la llum solar s’absorbeix en el primer metre. Quin és aquest valor de k? c) Quina proporció de la llum en superfície arriba als 5 metres de profunditat? A quina profunditat la llum solar queda reduïda a la meitat?
Resp: a) D’acord amb el model, la funció I = I(z) compleix l’equació diferencial
I′(z) =
dI dz = k · I(z)
que té per solució I(z) = I 0 ekz^ on I 0 = I(0).
b) Experimentalment es comprova que 0. 85 · I 0 = I 0 ek·^1 , d’on resulta
- 85 = ek^ ⇒ k = ln 0. 85 ≈ − 0. 1625
i per tant I(z) = I 0 ekz^ = I 0 eln 0.^85 ·z^ = I 0 e−^0.^1625 ·z^ = I 0 · 0. 85 z.
c) La intensitat de llum als z = 5 metres de profunditat és igual a I(0) = I 0 e−^0.^1625 ·^5 = I 0 0. 4437 i per tant la proporció de llum que arriba als 5 metres és
I(5) I 0 = e−^0.^1625 ·^5 = 0. 4437.
La intensitat de la llum queda reduïda a la meitat quan es compleix
I 0
= I 0 · 0. 85 z, és a dir quan 1 2 = 0. 85 z^ ⇒ z · ln 0. 85 = ln
= − ln 2 ⇒ z = −
ln 2 ln 0. 85
2. Es considera la funció f (x) = 2 x 1 + x^2
(a) Determineu el domini de la funció, els intervals de creixement i decreixement i els seus màxims i mínims locals.
(b) Determineu les seves asímptotes en cas que en tingui. (c) Utilitzant els resultats anteriors, feu un dibuix aproximat de la seva gràfica. (d) Determineu els seu màxim i el seu mínim absoluts (tant els valors com els punts en els que els prenen) en el domini de la funció. Quin és el recorregut de la funció? Determineu el màxim i el mínim de la funció en el interval [− 10 , − 1 /2].
(e) Calculeu la integral definida
0
2 x 1 + x^2
dx.
Resp: a) El domini de la funció és Dom( f ) = R i la seva derivada és
f ′(x) = 2 1 − x^2 (1 + x^2 )^2
La funció serà creixent quan la derivada sigui positiva, és a dir
f ′(x) > 0 ⇔ 2
1 − x^2 (1 + x^2 )^2
0 ⇔ 1 − x^2 > 0 ⇔ 1 > x^2 ⇔ x ∈ (− 1 , 1).
De manera similar serà decreixent quan
f ′(x) > 0 ⇔ 1 < x^2 ⇔ x ∈ (−∞, −1) ∪ (1, ∞).
Finalment, els punts crítics estan determinats per
f ′(x) = 0 ⇔ x^2 = 1 ⇔ x = − 1 o x = 1.
De l’anterior discussió es desprèn que la funció tindrà un mínim relatiu en x 1 = − 1 i un màxim relatiu en x 2 = 1.
b) La funció no té asímptotes verticals ja que el seu domini és tot R. D’altra banda
lim x→−∞
2 x 1 + x^2
= lim x→∞
2 x 1 + x^2
i per tant la funció té l’asímptota horitzontal y = 0 a dreta i esquerra.
c) La representació gràfica de la funció és
De manera similar serà decreixent quan
C′(t) > 0 ⇔ t > 2 ln 2 ≈ 1. 3863
Finalment, hi ha un únic punt crític determinat per
C′(t) = 0 ⇔ t = 2 ln 2 ≈ 1. 3863
De l’anterior discussió es desprèn que la funció tindrà el seu màxim absolut en t = 2 ln 2 ≈
- El valor del màxim serà
Max = C(2 ln 2) = 40
e−^ ln 2^ − e−2 ln 2
= 40(2−^1 − 2 −^2 ) = 10.
c) Utilitzant el càlcul de la derivada C′(t) de C(t), tenim
C′(t) = 40
e−^ 2 t
= 20 e−^
t 2 − 40
e−^ 2 t − e−t
= 20 e−^
t 2 − C(t).
