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Examen Final de Matem·ticas I
16 de enero de 2012
No est· permitido el uso de calculadora ni de cualquier otro dis- positivo electrÛnico para hacer los c·lculos. El examen consta de 10 preguntas, todas de igual valor.
- Calcula, razonando la respuesta, el dominio de la funciÛn
f (x) =
r 1 x x^2 9
El dominio viene deÖnido por
D (f ) =
x 2 R :
1 x x^2 9
Consideramos dos situaciones:
(a) 1 x 0 y x^2 9 > 0 , de donde x 2 ( 1; 3) (b) 1 x 0 y x^2 9 < 0 , de donde x 2 [1; 3)
Por tanto D (f ) = ( 1; 3) [ [1; 3).
- Calcular el lÌmite lim x! 2 ^
(2 x)^4 x
2 .
lim x! 2 ^
(2 x)^4 x
2 = 0^0.
Resolvemos la indeterminaciÛn,
lim x! 2
ln
h (2 x)^4 x
2 i = lim x! 2
4 x^2
ln (2 x) = 0 ( 1)
= lim x! 2
ln (2 x) (4 x^2 ) ^1
LíHÙpital lim x! 2
1 2 x 2 x (4 x^2 ) ^2
= lim x! 2
4 x^2
2 x (2 x)
= lim x! 2
(2 x)^2 (2 + x)^2 2 x (2 x)
= lim x! 2
(2 x) (2 + x)^2 2 x
Por lo tanto, lim x! 2 ^
(2 x)^4 x
2 = lim y! 0 ey^ = 1.
- Utilizar el teorema de Bolzano para demostrar que la ecuaciÛn x^4 x^2 + x 2 = 0 tiene al menos una soluciÛn real. Razonar bien la respuesta. Tomamos f (x) = x^4 x^2 + x 2 y demostramos que existe c 2 R tal que f (c) = 0. Para ello, aplicamos el teorema de Bolzano. Vemos que f (0) = 2 < 0 y que f (2) = 12 > 0. Adem·s f es un polinomio y, por tanto, f es continua en todo R. Entonces, f es continua en [0; 2] y existe c 2 (0; 2) tal que f (c) = 0, como querÌamos demostrar.
- Dada la funciÛn f (x) = 1 e^2 ^2 x^ ln (x).
(a) Calcular las asÌntotas horizontales, si las hay. No tiene sentido evaluar el lÌmite cuando x! 1 ya que estamos fuera del dominio (el logaritmo no puede calcularse). Cuando x!
lim x!+ 1 1 e^2 ^2 x^ ln (x) = 1 0 1.
Resolvemos la indeterminaciÛn 0 1:
lim x!+ 1 e^2 ^2 x^ ln (x) = lim x!+ 1
ln (x) e^2 x ^2
LíHÙpital
lim x!+ 1
1 =x 2 e^2 x ^2
Por tanto lim x!+ 1 1 e^2 ^2 x^ ln (x) = 1 0 = 1.
La funciÛn tiene la asÌntota horizontal y = 1 cuando x! + 1. (b) Obtener la mejor aproxÌmaciÛn lineal para f alrededor de x = 1. Por un lado, tenemos f (1) = 1. La funciÛn derivada es
f 0 (x) = 2e^2 ^2 x^ ln (x) e^2 ^2 x^
x
e^2 ^2 x^ (2x ln (x) 1) x y f 0 (1) = 1. Por tanto,
1 + e^2 ^2 x^ ln (x) f (1) + f 0 (1) (x 1) = 1 (x 1) = 2 x.
- Sea la funciÛn
f (x) = ln
x 1 x^2
cuyo dominio es D (f ) = ( 1; 1) [ (0; 1), que es continua y derivable en su dominio, y cuya primera derivada es
f 0 (x) =
x^2 + 1 x x^3
Calcular los intÈrvalos de crecimiento y decrecimiento de f , asÌ como sus m·ximos y mÌnimos locales, si los tiene. Teniendo en cuenta el dominio que nos ofrece el enunciado, estudiamos el signo de la derivada f 0. Su numerador es estrictamente positivo. Nos Öjamos entonces en el denominador, que es x
1 x^2
. Por tanto,
Estudiemos el lÌmite de la sucesiÛn
lim n!
p n 2
p n 1
= lim n!
2 p^1 n
donde hemos dividido numerador y denominador por
p n. Por tanto, como la sucesiÛn no converge a cero, la serie no converge.
- Calcular la integral impropia Z (^0)
ex^ 1 p ex^ x
dx.
La integral indeÖnida es inmediata Z ex^ 1 p ex^ x
dx = 2
Z
ex^ 1 2
p ex^ x
dx = 2
p ex^ x + C
Por tanto, Z (^0)
ex^ 1 p ex^ x
dx = lim a!
Z 0
a
ex^ 1 p ex^ x
dx = lim a!
p ex^ x
a =^ a! 1lim 2 ^2
p ea^ a
= 2 2
p 0 + 1 =
p 1 = 1. La integral es divergente.
- ClasiÖcar y, en caso de tener soluciÛn, resolver el sistema
x 1 +x 3 = 1 x 1 +2x 2 x 3 +x 4 = 1 2 x 1 4 x 2 +2x 3 x 4 = 4
0 @
A !
f 2 + f 1 f 3 2 f 1
A
f 3 +2f 2
A
El rango de A y de A j b es 3 , por tanto el sistema es compatible indeter- minado. De la tercera ecuaciÛn, obtenemos x 4 = 2. De la segunda, 2 x 2 2 = 0, es decir, x 2 = 1. De la primera, x 1 = 1 + x 3. Por tanto, la soluciÛn en forma paramÈtrica es: x 1 = 1 + t x 2 = 1 x 3 = t x 4 = 2.
- Dada la matriz
A =
(a) Estudiar el rango de A en funciÛn de. El determinante es jAj = ( 1). Por tanto, el rango es 2 si 6 = 0 y 6 = 1, y el rango es 1 en caso contrario. (b) øPara quÈ valores de la matriz A es invertible? Calcular la inversa cuando sea posible. La matriz es invertible si 6 = 0 y 6 = 1. Los elementos adjuntos son A 11 = , A 12 = 0, A 21 = 2 y A 22 = 1. Por tanto,
A ^1 =
jAj
[Adj(A)]^0 =
