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Universidad Autónoma de Madrid
TEMA 1: MATEMÁTICAS FINANCIERAS
1 Capitales Financieros
Empezaremos este tema con el principio más importante en finanzas:
UN EURO HOY VALE MÁS QUE UN EURO EN EL FUTURO
El tiempo es un elemento importante en la definición del valor del dinero, ya que un euro hoy puede invertirse en determinada operación obteniendo un rendimiento por ello. Imaginemos que queremos realizar un master on-line en Administración y Dirección de Empresas, la duración del master es de un año, el importe del mismo supone un desembolso de 6000C= que actualmente no disponemos, pero tenemos una madrina soltera que vive bastante bien acomodada a la que se le da muy bien hacer negocios. Nos ofrece los 6000C= a cambio de que se los devolvamos al finalizar el master a un económico tipo de interés del 2% por ser familar. Es decir, al cabo de un año deberemos reembolsarle a nuestra madrina el importe de 6120C=. Entendemos por capital financiero al valor económico de cierto bien en el momento en el que lo tendremos disponible. En nuestro caso tenemos dos capitales financieros, los 6000C= hoy y los 6120C= dentro de un año, podemos ver que son cantidades de dinero referidas a momentos temporales distintos. Si finalmente accedemos a la proposición de nuestra madrina y aceptamos su préstamo acabaremos de realizar una operación financiera, es decir, un intercambio no simultáneo de capitales financieros. Esta claro que para nuestra madrina los 6000C= de hoy equivalen a 6120C= dentro de un año, dichos capitales financieros son financieramente equivalentes. Una ley financiera no es más que una fórmula matemática que nos permite cuantificar el efecto que supone dejar de disponer de cierta cuantía de dinero durante cierto periodo de tiempo. Toda operación financiera está formada por dos partes, por una lado la parte inversora, la que presta el dinero y da lugar a una prestación, por otro lado esta la parte que necesita la financiación, o parte deudora que da lugar a una contraprestación. Dependiendo de la ley financiera que utilicemos se utilizará una fórmula adecuada que nos permite calcular el valor del dinero en el tiempo. Denominaremos por C 0 el capital inicial o capital hoy que da lugar a la prestación y Ct el capital en el momento t, por ejemplo al cabo de t años, que da lugar a la contraprestación, según la ley financiera empleada estableceremos una equivalencia financiera entre C 0 y Ct. Sólo hay dos movimientos que podemos realizar con el dinero, o bien llevarlo al futuro, hacia adelante o bien llevarlo al momento actual, moverlo hacia atrás. A la acción de calcular
el valor equivalente de un capital incial C 0 en una fecha futura Ct se le denomina capitalizar o diferir, a Ct lo llamaremos valor futuro de C 0. A la acción de calcular el valor equivalente de un capital en una fecha futura Ct en el momento actual C 0 se le denomina descontar o actualizar, a C 0 lo llamaremos valor actual de Ct.
C 0 Ct
Capitalizar o diferir
C 0 Ct
Descontar o actualizar
1.1 Leyes de capitalización y descuento.
Definimos el interés de una operación financiera como el rendimiento en tanto por ciento, que esperamos obtener con la operación de renunciar a disponer de cierta cantidad de capital durante cierto periodo.
Rendimiento =
Ct − C 0 C 0 En el caso del ejemplo de nuestra madrina el rendimiento de la operación sería 6120 − 6000 6000
de manera que el interés de la operación es del 2%. Ya hemos dicho que capitalizar consiste en proyectar capitales financieros hacia el futuro, la práctica financiera utiliza dos leyes financieras de capitalización:
- capitalización simple,
- capitalización compuesta. Por otro lado, el descuento o actualización consiste precisamente en lo contrario, proyec- tar capitales financieros hacia el pasado. En el mercado se utilizar tres leyes financieras de descuento:
- descuento racional o matemático,
- descuento comercial o simple,
- descuento compuesto.
Deberemos resolver la siguiente ecuación:
4000 = 2000 (1 + 0. 04 · t)
t =
= 25 meses
es decir, debemos invertir nuentro capital incial durante dos años y un mes.
1.3 Capitalización Compuesta
Con la ley de capitalización compuesta los interesen no se pagan tan solo sobre el capital principal sino que los intereses se reinvieten, con lo cual cada vez que se calculan los intereses se realiza sobre el capital acumulado. De esta manera con la capitalización compuesta, un inversor gana intereses sobre el capital inicial C 0 y sobre los intereses generados en periodos anteriores. Si se dipone de un capital incial C 0 y se invierte a lo largo de t años al tipo de interés r anual tendremos la siguiente tabla de interés obtenidos en cada periodo y capital acumulado:
Año Intereses Capital acumulado 0 0 C 0 1 C 0 · r C 0 (1 + r) 2 C 0 (1 +^ r)^ ·^ r^ C 0 (1 +^ r)^2 3 C 0 (1 + r)^2 · r C 0 (1 + r)^3 .. .
t C 0 (1 + r)t−^1 · r C 0 (1 + r)t
En esta tabla vemos como se reinvierten los intereses de manera que al final de los t años el capital obtenido es Ct = C 0 (1 + r)t^.
C 0 Ct
C 0 r C 0 (1+r)r
(^1 2 3) t-1 t
t periodos
C 0 (1+r)^2 r (^) C 0 (1+r)t-2r C 0 (1+r)t-1r
Al factor (1 + r)t^ se le denomina factor de capitalización compuesta.
Ejemplo 4 Doña Luisa Martinez ha invertido 6000C= es un fondo de inversión que le ofrece un tipo de interés del 4% anual durante 5 años. ¿Qué capital podrá retirar Doña Luisa al cabo de los 5 años? El fondo de inversión reinvierte los intereses en cada periodo, de manera que Doña Luisa tendrá los siguientes capitales acumulados en los 5 años siguientes:
Año Intereses Capital Acumulado 1 6000 · 0 .04 = 240. 0 C= 6000 (1 + 0.04) = 6240C= 2 6240 · 0 .04 = 249. 6 C= 6000 (1 + 0.04)^2 = 6489. 6 C= 3 6489. 6 · 0 .04 = 259. 58 C= 6000 (1 + 0.04)^3 = 6749. 2 C= 4 6749. 2 · 0 .04 = 269. 97 C= 6000 (1 + 0.04)^4 = 7019. 2 C= 5 7019. 2 · 0 .04 = 280. 77 C= 6000 (1 + 0.04)^5 = 7299. 9 C=
Ejemplo 5 Don Antonio Sinsal quiere invertir cierto capital en una cuenta de ahorro a plazo fijo durante 3 años que le ofrece un tipo de interes de un 5,3% anual, para posteriormente poder costear los estudios de su hijo mayor que quiere estudiar un master en Business Administration en una prestigiosa universidad americana. Si prevee que necesitará cerca de unos 8500C= para financiar el master, ¿cuanto dinero deberá ingresar hoy en la cuenta de ahorro? Don Antonio necesita saber que capital inicial C 0 debe ingresar en la cuenta de ahorros para que al cabo de los 3 años se hayan convertido en 8500C= con los que podrá mandar a su hijo a esa maravillora universidad americana a estudiar. Como los intereses de la cuenta se reinvierten al 5.3% cada año entonces deberá resolver la siguiente ecuación:
8500 = C 0 (1 + 0.053)^3
cuya solución es C 0 = 7280C=.
Ejemplo 6 Nos pregunta nuestro padre durante cuánto tiempo deberá invertir unos ahorrillos de 5600C= en una cuenta que ofrece un tipo de interés anual del 10%, de manera que el capital se duplique. En este caso deberemos resolver la siguiente ecuación:
2 · 5600 = 5600 (1 + 0.10)t
simplificando y despejando t tenemos que:
2 = (1 + 0.10)t ln 2 = t ln 1. 1 t =
ln 2 ln 1. 1
De modo que tendrá que esperar un poco más de 7 años para poder duplicar su capital inicial.
1.4 Descuento racional o matemático
Como ya hemos mencionado anteriormente, la operación de descontar es la contraria a la de capitalizar. Se trata de actualizar un capital que recibiremos en un tiempo futuro. En
letra ahora, es lo que se conoce como tipo de descuento. Imaginemos que el banco nos aplica un tipo de descuento del 10% anual. ¿Qué quiere decir esto? Pues que el banco nos va a cobrar un 10% sobre el capital a recibir dentro de 90 días, haciendo el cálculo
= 175C=
Es decir, el banco nos va a cobrar 175C= por aceptar la letra de cambio, de manena que si estamos de acuerdo con estas condiciones, en lugar de los 7000C= hoy tendremos disponibles:
7000 − 175 = 6825C=
Observar que cuando hemos calculado el coste de la letra hemos anualizado el periodo de 90 días dividiendo por 360. La ley de descuento comercial considera años de 360 días, es lo que se denomina como año comercial. Los 7000C= es lo que se denomina nominal de la letra, mientras que los 6825C= se denomina líquido. Sea C 0 el capital incial y Ct el capital final cuando aplicamos un tipo de descuento d. La ley de descuento comercial establece la siguiente relación:
C 0 = Ct (1 − d · t)
de manera que
Ct =
C 0
(1 − d · t) Vamos a seguir haciendo más cálculos con nuestro ejemplo. Hemos visto que aplicando el descuento comercial obtendríamos 6825C= por parte del banco. Ahora bien si hubiesemos aplicado el descuento racional pensaríamos que el banco nos iba a abonar:
7000 1 + 0. 1 36090
= 6829. 3 C=
Esta claro que esta operación nos ha salido un poquito más cara de lo que pensabamos, real- mente el tipo de interés de la operación es un poco mayor que el 10%. Vamos a calcular el tipo de interés efectivo de la operación. En principio recibimos un capital de 6825 C= por parte del banco al que dentro de 90 días le abonaremos 7000C=, aplicando la ecuación de equivalencia financiera entre prestación y contraprestación y utilizando un año comercial tenemos que:
μ 1 + r
despejando r tenemos que, r = 0. 1025
es decir, el banco nos está cobrando un 10.25% por anticiparnos 6825C= durante 90 días. Acabamos de ver que un tipo de descuento comercial del 10% es equivalente a un 10.25% si el plazo de la operación es a 90 días.
Generalicemos lo que acabamos de ver. Si actualizamos aplicando un descuento comercial cierto capital Ct al que se le ha aplicado un descuento d durante cierto periodo t tenemos que el valor actual de este capital es: C 0 = Ct (1 − d · t) Si actualizamos utilizando descuento racional al tipo r entonces:
C 0 =
Ct 1 + r · t
igualando ambas identidades estableceremos una relación entre el tipo de descuento o interés vencido y el tipo de descuento racional o interés anticipado:
Ct (1 − d · t) =
Ct 1 + r · t 1 − d · t =
1 + r · t
=⇒ (1 + r · t) =
(1 − d · t)
r · t =
(1 − d · t)
− 1 =⇒ r · t =
1 − 1 + d · t (1 − d · t)
=⇒ r · t =
d · t (1 − d · t)
de modo que la relación entre el tipo de interés vencido r y el tipo de interés anticipado d viene dada por la fórmula:
r =
d (1 − d · t)
Ejemplo 8 Un cliente debe pagar 45000C= dentro de 60 días a la empresa farmacéutica Pirulas S.A. Entre ambos establecen una letra de cambio. La empresa vende la letra a un banco y este firma un 13% de descuento. ¿Cuál es el importe líquido que recibe la empresa a través del banco? ¿Cuál es el tipo de interés vencido de esta operación de financiación?
C 0 Ct =45000€ t
60 días
Aplicando la fórmula de descuento comercial tenemos que el líquido que recibirá la empresa farmacéutica será:
C 0 = 45000
μ 1 − 0. 13
= 44025C=
por otro lado el tipo de interés vencido es:
r =
es decir, r = 13.28%.
C 0 C1 año =6000·(1+4%)^3
1 año
1er trimestre 2º trimestre 3er trimestre
6000·(1+4%) 6000·(1+4%)^2
Los flujos de caja que recibirá cada trimestre se calculan en la siguiente tabla:
Periodo Capital acumulado 1er trimestre 6000 (1 + 0.04) = 6240. 0 C= 2 o^ trimestre 6000 (1 + 0.04)^2 = 6489. 6 C= 3er trimestre 6000 (1 + 0.04)^3 = 6749. 2 C=
De manera que a final de año nuestro capital inicial se habrá transformado en 6749. 2 C=.
Ejemplo 9 Calcular el valor fururo de una inversión de 12500C= a un tipo nominal del 15% anual capitalizable cuatrimestralmente durante 3 años. Queremos saber la cuantía de dinero que tendremos al cabo de 3 años con este tipo de inversión, al ofrecernos un tipo del 15% anual pero capitalizable cuatrimestralmente. Entonces cada cuatrimestre nos pasarán la tercera parte del tipo nominal, es decir, un 5%. Con lo cual al cabo de los 3 años nuestro capital se habrá transformado en:
C 3 a˜nos = 12500
μ 1 +
= 19392C=
Ejemplo 10 Supongamos que voy a comprar un coche de segunda mano a través de una entidad financiera que me permite pagarlo al contado por un importe de 5800C= o dentro de un año por 6200 C=. Podría pagarlo al contado, pero tengo el dinero en una cuenta que me está pagando un 6% de interés cuatrimestral. ¿Qué opción es más interesante, pagar el coche al contado o pagarlo dentro de un año? Si pago el coche hoy tendré que sacar los 5800C= de la cuenta, si no lo saco veamos cuanto dinero tendré disponible en la cuenta dentro de un año. Como la capitalización de intereses es cuatrimestral, capitalizaré el capital tres veces a lo largo del año, siendo el tipo de interés efectivo cada cuatrimestre la tercera parte del interés nominal anual, es decir, un 2%. Por tanto a final de año el capital disponible en la cuenta será de:
C 1 = 5800 (1 + 0.02)^3 = 6155C=
Vemos que a final de año tendré en la cuenta 6155C=, cifrá algo menor que el importe del coche dentro de un año, por tanto si realmente necesito el coche deberé abonarlo al contado, ya que dentro de un año no podré realizar el pago.
Ejemplo 11 Tenemos invertidos un capital de 3200C= en una cuenta fantástica que nos renta un interés nominal anual del 13% capitalizable mensualmente. ¿Cuánto habremos acumulado dentro de 3 meses? En este caso el tipo de interés mensual efectivo será de 13% 12 = 1. 08%, de manera que el valor de nuestro capital dentro de tres meses será de:
C 3 meses = 3200 (1 + 0.0108)^3 = 3304. 8 C=
Ejemplo 12 Un cliente me debe 2800C= pero no puede pagarme hoy, me propone posponer el pago a seis meses por 3000C=. Actualmente yo podría invertir mi dinero en unas letras del tesoro que ofrecen un tipo anual del 8%. ¿Debería aplazarle el pago? Si invirtiese mi dinero en esa cuenta, dentro de 6 meses tendría:
C 6 meses = 2800 (1 + 0.08) 126 = 3756. 6 e
que como podemos observar es bastante superior a lo que me ofrece el cliente, por tanto, no debería aplazarle el pago o hacerlo a cambio de 3756. 6 e dentro de 6 meses. Vamos a ver este ejemplo de otra manera. Calculemos el valor actual de lo que el cliente me ofrece, como yo puedo invertir el dinero a un 8% anual entonces descontaremos el dinero que nos ofrece el cliente por el pago aplazado a ese tipo de interés.
C 0 =
6 12
= 2236. 1 C=
de esta manera podemos ver de una manera más clara que el cliente es un listo y que intenta ahorrarse unos 563. 9 C= con el pago aplazado.
1.7 Tasas Equivalentes
Las tasas o tipos de interés equivalentes son aquellos que referidos a distinta unidad de tiempo pero aplicados sobre la misma cuantía inicial durante el mismo periodo de tiempo producen el mismo capital final. Veamos de una forma más clara lo que son tasas o tipos equivalentes a través de un ejemplo. Imaginemos que tenemos la posibilidad de invertir 10000C= de diversas maneras:
- a una tasa nominal anual del 12% capitalizable anualmente durante un año
- a una tasa del 11.66% anual capitalizable semestralmente o
- a una tasa del 11.387% anual capitalizable mensualmente ¿Cuál de las tres opciones es la más rentable? Para ello veremos cúall es el valor futuro dentro de un año de los 10000C= con cada una de las alternativas. Si consideramos la primera de ellas el valor futuro dentro de un año será:
10000 (1 + 0.12) = 11200C=
con la segunda opción
10000
μ 1 +
= 11200C=
A continuación introducimos el concepto de la Tasa Anual Equivalente o Tanto Anual Efectivo más conocido a través de la publicidad de los productos financieros como TAE. El TAE es una anualización del tipo de interés efectivo que ha sido realmente utilizado en determinada operación financiera. A través del TAE podremos comparar distintos productos financieros semenjantes ofrecidos por entidades distintas. El TAE es un tipo de interés anual y compuesto que se acerca más al tipo de interés real de la operación que se esté realizando, pero en general no coincide con él prácticamente nunca por la incidencia que tienen los gastos y comisiones que pagan acreedor y deudor (sobre todo el deudor). Si queremos conocer el TAE de una operación financiera que ofrece un tipo rn anual capi- talizable n veces al año, deberemos resolver la siguiente ecuación:
1 + T AE =
rn n
´n
T AE =
1 + r nn
¢n − 1
Ejemplo 15 Hemos recibido una herencia de 40000C= y tenemos distintas alternativas de in- versión:
- Ingresarlo en una cuenta de la entidad A que ofrece un tipo de interés del 8% nominal capitalizable semestralmente.
- Ingresarlo en la entidad bancaria B que ofrece un tipo anual capitalizable mensualmente del 8.6%
- Ingresarlo en la entidad bancaria C que ofrece un tipo anual capitalizable bimestralmente del 9.6%
¿En que entidad bancaria deberíamos ingresar el dinero de la herencia? Podemos hacerlo de dos maneras, calculando el capital disponible con cada cuenta al final de año o bien calculando el TAE de cada opción. En el caso de la segunda opción tenemos un TAE igual a:
T AE =
μ 1 +
es decir, un TAE de 8.16%. La segunda opción ofrece el siguiente TAE:
T AE =
μ 1 +
vemos que la segunda entidad ofrece un TAE del 8. 94%. Por último, calculamos el TAE de la tercera entidad bancaria:
T AE =
μ 1 +
la tercera entidad bancaria ofrece entonces un TAE del 8.69%. Con esta información del TAE que ofrece cada una de las entidades ya sabemos cual de las tres entidades es la más rentable y en la que debemos invertir el dinero de la herencia, que en este caso es la entidad bancaria B.
1.8 Capitalización continua
Hemos visto que pueden darse situaciones donde la capitalización de intereses puede ser anual, sementral, semanal o inclusive diaria. Nos preguntamos a continuación qué ocurre cuando el intervalo de capitalización es muy pequeño de manera que se capitalizan intereses de forma continua. Sabemos que dado el tipo de interés nominal capitalizable n veces al año, rn, tiene el siguiente TAE: T AE =
rn n
´n − 1
despejando rn de la anterior identidad tenemos que:
rn = n
h (1 + T AE)
(^1) n − 1
i
Queremos calcular la tasa de capitalización continua o instantánea, r, equivalente al TAE. Para conseguir esta tasa habría que hacer n cada vez más grande, es decir, calcular el límite de la anterior expresión cuando n tiende a infinito:
r = lim n→∞ n
h (1 + T AE) n^1 − 1
i
esta expresión da una indeterminación del tipo ∞· 0 , para resolverla reescribiremos la expresión dentro del límite de la siguiente manera:
r = lim n→∞
(1 + T AE)
(^1) n − 1 1 n
ahora ya tenemos una indeterminación del tipo 00 y podemos aplicar L’Hopital:
r = lim n→∞
− (^) n^12 ln (1 + T AE) − (^) n^12
= lim n→∞ ln (1 + T AE)
de manera que: r = ln (1 + T AE)
de esta última expresión deducimos que:
T AE = er^ − 1
De manera que utilizaremos el número e cuando realicemos operaciones tanto de capitalización como de descuento a tiempo continuo. Cuando invertimos cierto capital C 0 durante cierto periodo de tiempo t a la tasa anual instantánea r obtendremos el capital Ct:
Ct = C 0 ert
donde t está anualizado.
Ejemplo 16 Queremos calcular el valor futuro dentro de 4 meses de 12000C= cuando podemos invertirlo a un tipo anual instantáneo del 1.5%, por la fórmula anterior tenemos:
Ct = 12000e^0.^015 ·^ 124 = 12060C=
- Rigoberta ha retirado de su fondo de inversión 23.000C=. ¿Qué capital invirtió hace 5 años Rigoberta en dicho fondo si este le ofrecía un rendimiento del 12% anual?
- Invertimos 1.200C= en un fondo de inversión que nos ofrece una rentabilidad del 5% an- ual el primer año, un 5,25% el segundo año y un 5,5% el tercer año. ¿Cuánto dinero dispondremos al final del tercer año?
- Hemos invertido 15.000C= al 7% de interés anual durante dos años. Unos primos lejanos me ofrecen un proyecto de inversión por el que recibiré al cabo de dos años 42.500C=. Me gustaría saber si es rentable la proposición de mis primos.
- Mis tios tienen un solar en el pueblo por el que pueden obtener hoy 230.000C= e invertirlos en una cuenta de ahorro al 10% anual o bien pueden edificar 4 chalets adosados que podrían vender por 241.000C= cada uno dentro de un año. Las obras les costarían cerca de unos 520.000C= que abonarían al final de la obra. ¿Qué opción es más rentable?
- Mi amiga Sandrá vende su apartamento y no puedo perder la oportunidad de hacerme con el precioso ático que tiene en pleno centro de la ciudad. Me pide por el apartamento 240.000C=, pero me hace un 5% de descuento si lo pago al contado, o puedo pagarle una entrada hoy de 100.000C=, 70.000C= dentro de un año y los otros 70.000C= dentro de dos años. ¿Qué opción es la más rentable al 11% de interés anual?
- Tengo 2.500C= disponibles, puedo invertirlos en la cuenta bancaria A que me ofrece un 12% nominal anual capitalizable trimestralmente o invertilos en otra cuenta bancaria B que me ofrece un 12,5% de interés nominal pero capitalizable semestralmente. ¿Qué cuanta en más rentable?
- ¿Cual es el tipo mensual efectivo equivalente a un tipo trimestral efectivo del 12%?
- Andrea Lafuente recibirá cuatro pagos trimestrales de 240C= cada uno de ellos. ¿Cuál es el valor actual de estos cuatro pagos si el tipo nominal para capitalizaciones trimestrales actualmente está al 8%?
- Un capital de 15.000C= se capitaliza durante 5 años a un tipo de interés trimestral efectivo del 4%. Calcular la cuantía final.
- Calcular el tipo de interés anual equivalente al capitalizar 1.000C= durante 4 años y medio al 0,25% de interés mensaul efectivo.
- El Señor Rodriguez del Campo ha recibido un premio hoy de 95.000C=. Desea invertir este dinero durante 10 años. Se le presentan dos alternativas posibles.
(a) Depositar el capital en una entidad financiera que le proporciona unos intereses del 5% anual durante los tres primeros años, un 6% durante los tres siguientes y un 7% los cuatro últimos años. (b) Colocar el capital en otra entidad financiera que le proporciona un interés del 0,75% bimestral.
Determinar cual es la arternativa más conveniente.
- ¿Qué es más conveniente para un inversor, invertir en una sociedad que garantiza duplicar el capital invertido en 15 añós ó depositar el capital disponible del inversor en un fondo de inversión que ofrece un 5% anual capitalizable cuatrimestralmente?
- Una entidad financiera abona a sus depósitos un interés del 5% nominal anual pagando intereses cada cuatrimestre. Una persona coloca el capital necesario para disponer de 250.000€ dentro de cuatro años. A los dos años, la entidad cambia de tipo de interés que a ser del 4,25% compuesto anual capitalizable trimestralmente. Determinar:
(a) Cuanto invirtió inicialmente la persona si no considero cambios en los tipos de interes. (b) El capital disponible al final de los cuatro años.
- Calcular el valor futuro dentro de 14 meses de 2.300C= capitalizado a un tipo de interés continuo anual del 7%.
- Calcular el valor actual si dentro de 18 meses recibiremos 3.500C= y ha sido capitalizado al 5% de interés continuo anual.
- Una empresa tiene que realizar un pago de 3.000€ dentro de 8 meses, 4.500€ dentro de 16 meses y otro de 5.000€ dentro de 28 meses. La empresa tiene la posibilidad de cancelar la deuda con un único pago dentro de 2 años. Calcular cual la cuantía de ese único pago si el TAE es del 12%.
- Calcular el valor final de 200.000C= colocados al 4 % de interés semestral con capitalización mensual durante cuatro años.
- ¿Cuál será el interés efectivo trimestral y mensual si la TAE es del 6,5 %?
- La sociedad Confisca, S.A., tiene tres capitales de 200.000, 400.000 y 1.500.000 de euros, con vencimiento a los dos, tres y cuatro años, respectivamente que desea sustituir por un único capital con vencimiento a los seis años, ¿cuál deberá ser el importe del mismo si el tipo de interés aplicado es del 8 % compuesto anual?
multiplicando a Sn por la razón r obenemos:
rSn = a 1 r + a 1 r^2 + a 1 r^3 + · · · + a 1 rn
de manera que
Sn − rSn = a 1 − a 1 rn Sn (1 − r) = a 1 (1 − rn)
por tanto
Sn = a 1
(1 − rn) (1 − r) Cuando r > 1 , la progresión crece indefinidamente y la suma de sus términos tiende a infinito. En cambio, si r < 1 , cada término será menor que el anterior, y los términos de la progresión se irán acercando a 0 conforme aumente el número de sus términos. Cuando |r| < 1 , puede demostrarse que la suma se convierte en:
Sn =
a 1 1 − r
3 Rentas Financieras
Las rentas se definen como un conjunto de capitales con vencimientos equidistantes de tiempo. Para que exista una renta se tienen que dar los dos siguientes requisitos:
- Existencia de varios capitales, al menos dos.
- Periodicidad constante, entre los capitales, es decir, entre dos capitales consecutivos debe existir siempre el mismo espacio de tiempo (cualquiera que sea).
3.1 Elementos
A la hora de estudiar una renta financiera debemos considerar los siguientes elementos: Fuente de la renta: fenómeno económico que da origen al nacimiento de la renta. Origen: momento en el que comienza a devengarse el primer capital. Final: momento en el que termina de devengarse el último capital. Duración: tiempo que transcurre desde el origen hasta el final de la renta. Término: cada uno de los capitales que componen la renta. Período: intervalo de tiempo entre dos capitales consecutivos. Tanto de interés: tasa empleada para mover los capitales de la renta.
t 0 t 1 t^2 t 3 t^ n-1 t (^) n
C 1 C^2 C^3 C^ n
Origen Final
Duración = t (^) n -t (^0)
t 0 t 1 t^2 t 3 t^ n-1 t (^) n
C 1 C^2 C^3 C^ n
Origen Final
Duración = t (^) n -t (^0)
3.2 Valor financiero de una renta en el momento t (Vt)
Es el resultado de llevar financieramente (capitalizando o descontando) todos los términos de la renta a dicho momento de tiempo t. Casos particulares Si t = 0 (siendo 0 el origen de la renta) nos encontramos con el valor actual, esto es, resultado de valorar todos los términos de la renta en el momento cero. Si t = n (siendo n el final de la renta) se define como el valor final, resultado de desplazar todos los términos de la renta al momento n.
