matrices positivas MATEMATICAS I, Apuntes de Matemática Financiera

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Introducción a las matrices positivas

Tema 7 de la asignatura de Matemáticas I

Grado de ADE

Curso 2014/

2

4 ÍNDICE

Capítulo I

MATRICES POSITIVAS

I.1. MATRICES POSITIVAS 7

I.1 MATRICES POSITIVAS

En esta sección se definen las matrices positivas y las matrices estrictamente positivas, y se estudian sus propiedades más importantes.

1. Definición de matriz positiva y de matriz estricta- mente positiva Una matriz (real) positiva no es más que una matriz cuyos términos son todos números positivos o nulos (ninguno puede ser negativo). Que una matriz A es positiva se denota así: A  O. Por otra parte, una matriz (real) estrictamente positiva no es más que una matriz con todos sus términos positivos (ninguno puede ser negativo ni nulo). Que una matriz A es es- trictamente positiva se escribe así: A > O. Por ejemplo, consideremos las siguientes matrices: ( 2 1 0 0 1 10

Las tres primeras son positivas, y la última no lo es por tener algún término negativo. La segunda es además estrictamente positiva, pero la primera y la tercera no lo son por tener algún término nulo. Nótese que la tercera matriz es una matriz nula: las matrices nulas son positivas, aunque obviamente no son estrictamente positivas.

2. Matrices positivas y modelos lineales de produc- ción Las matrices positivas tienen gran interés en el contexto de las estructuras productivas. Consideraremos una estructura productiva constituida por n industrias que producen n bienes, de forma que cada industria produce sólo un bien y cada bien es producido sólo por una industria. Designaremos por los números natuarales 1, 2,... n tanto las industrias como los bienes que producen. Cada industria requiere inputs para llevar a cabo su producción, y éstos pueden ser cualesquiera de los n bienes, incluido el bien que la propia industria produce. Dados dos bienes i y j , se denota por aij la cantidad (positiva o nula) del bien i necesaria para producir una unidad del bien j. Los números aij se denominan coeficientes técnicos , y pueden escribirse formando una matriz: A =

aij

, cuadrada de orden n , llamada matriz de coeficientes técnicos.

8 I. MATRICES POSITIVAS

El modelo de producción que estamos describiendo es un modelo lineal , lo que significa que se admiten dos hipótesis: la de rendimientos a escala y la de aditividad. La formulación detallada de ambas puede leerse en el texto. La primera viene a decir que si una de las industrias aumenta su producción en una determinada proporción, la cantidad de cada input que esta indus- tria requiere aumenta en la misma proporción; por ejemplo, si la industria 1 duplica su producción, la cantidad de cada uno de los n inputs que demanda también se duplica. La segunda hipótesis establece que la cantidad de cada bien utilizada por toda la estructura productiva para alcanzar un determi- nado nivel de producción es igual a la suma de las distintas cantidades de ese bien que cada industria utiliza como input. Supongamos que la estructura productiva alcanza un nivel de produc- ción x 1 , x 2 ,... , x (^) n ; es decir, que se producen x 1 , x 2 ,... , x (^) n unidades de los bienes 1, 2,... n , respectivamente. La cantidad ai 1 x 1 + ai 2 x 2 + · · · + ai n x (^) n se denomina consumo intermedio del bien i , y es el total de bien i utilizado como input por las n industrias. 1 Si denotamos por X la matriz columna cuyos términos son x 1 , x 2 ,... , x (^) n , llamada matriz de producción , enton- ces los consumos intermedios son precisamente los términos de la matriz columna obtenida como resultado del producto AX. Finalmente, el modelo se completa suponiendo una demanda final de cada uno de los bienes 1, 2,... n , que denotamos y 1 , y 2 ,... , yn , respecti- vamente. En concreto, suponemos que la cantidad producida de cada bien se descompone en dos montantes: por un lado, el consumo intermedio de ese bien, que es la cantidad del bien que emplea la estructura productiva para alcanzar su nivel de producción; por otro lado, la demanda final del bien. Es decir: x (^) i = ai 1 x 1 + ai 2 x 2 + · · · + ain x (^) n + yi , para cada 1  i  n , y en notación matricial: X = AX + Y , donde Y es la matriz cuyos términos son y 1 , y 2 ,... , yn , llamada matriz de demanda final.

Nota bene Las tres matrices A , X y Y (de coeficientes técnicos, de producción y de demanda final, respectivamente) son positivas, pues sus términos son canti-

dades, positivas o nulas, de algún bien. 

En el contexto de este modelo lineal de producción descrito se desarrolla el resto del capítulo. Veamos un ejemplo. Consideremos una estructura productiva como la descrita (en particular, lineal), con tres industrias y tres bienes (es decir, estamos en el caso n = 3). Una producción se lleva a cabo (^1) Como se explica en el texto, esta última afirmación es consecuencia de la hipótesis de rendimientos constantes a escala y de la hipótesis de aditividad.

10 I. MATRICES POSITIVAS

es decir: 100 unidades del primer bien, 200 del segundo y 10 del tercero. Estas cantidades son las que necesita la estructura productiva para alcanzar el nivel de producción dado. En este caso, se observa que el consumo in- termedio de cada bien coincide con la cantidad producida del bien, en otras palabras: AX = X , así que no queda lugar para una posible demanda final: como AX = X , de la relación X = AX + Y se deduce: Y = O. Nota La estructura productiva de este ejemplo es de subsistencia : el total de la producción se dedica exclusivamente al consumo intermedio. Las estructuras

productivas de subsistencia se estudian más adelante. 

Consideremos ahora otro ejemplo, esta vez de una estructura productiva de dos industrias y dos bienes, también descrita con un modelo lineal. Se producen 100 unidades del primer bien y 50 del segundo. Para esta produc- ción, en la primera industria hacen falta 40 unidades del primer bien y 20 del segundo bien; en la segunda industria, 20 unidades del primer bien y 10 del segundo. Las cantidades necesarias para la producción de una unidad del primer bien resultan: a 11 = 40 / 100 y a 21 = 20 / 100; y para la produc- ción de una unidad del segundo: a 12 = 20 / 50 y a 22 = 10 / 50. La matriz de coeficientes técnicos es entonces:

A =

Por otra parte, la matriz de producción y la matriz cuyos términos son los consumos intermedios (las matrices X y AX , respectivamente) son estas:

X =

y AX =

Finalmente, para obtener la matriz de demanda final despejamos en la rela- ción X = AX + Y ; resulta:

Y = X − AX =

En este sistema de producción, con el nivel de producción alcanzado, el con- sumo intermedio de ambos bienes es menor que el nivel de producción, con lo cual es posible atender una posible demanda final: en concreto hasta 40 unidades del primer bien y 20 del segundo. Ahora bien, nos preguntamos lo siguiente: fijada una demanda final de antemano, ¨hay algún nivel de pro- ducción que permita atenderla? De otra forma: fijada la matriz Y (positiva), ¨hay alguna matriz X , positiva, que verifique: X = AX + Y? Para la estruc- tura productiva de este ejemplo la respuesta será afirmativa, pues su matriz

I.2. MATRICES PRODUCTIVAS 11

de coeficientes técnicos es lo que se llama una matriz productiva ; este tipo de matrices se estudia en la sección siguiente.

I.2 MATRICES PRODUCTIVAS

Dada una matriz de coeficientes técnicos, representante de una estructura productiva descrita con un modelo lineal, decir que la matriz es productiva significa decir que existe algún nivel de producción con el cual la producción de cada bien supera estrictamente su consumo intermedio. Si denotamos la matriz de coeficientes técnicos por A , la matriz A es productiva si existe alguna matriz de producción X (en particular, positiva) tal que X > AX. Desde el punto de vista práctico, interesa la caracterización dada en el texto: una matriz A (cuadrada y positiva) es productiva si y sólo si la matriz I − A es invertible y su inversa: (I − A) −^1 , es positiva. (Con I denotamos la matriz identidad del mismo orden que la matriz A .) De acuerdo con esta caracterización, se comprueba que la matriz de coeficientes técnicos del primer ejemplo visto en el apartado anterior no es productiva. En efecto, se tiene:

I − A =

pero esta última matriz no es invertible (el lector puede calcular que su rango es igual a 2). Pero la otra matriz que vimos en el apartado anterior (segundo ejemplo) sí es productiva; en efecto, se tiene:

I − A =

y esta matriz es invertible y su inversa es positiva:

(I − A) −^1 =

 O.

Podemos ahora justificar la respuesta afirmativa que dábamos a la pregunta que nos hacíamos al final del apartado anterior: fijada una demanda final Y , ¿existe algún nivel de producción X que permita atenderla, es decir, tal que X = AX + Y? Esta última igualdad es equivalente a esta otra: X − AX = Y , que se puede escribir así: (I − A)X = Y. Si la matriz I − A fuera invertible,

I.3. CONJUNTOS AUTÓNOMOS 13

Veamos un ejemplo. Consideremos la siguiente matriz de coeficientes técnicos:

A =

representante de una estructura productiva con seis industrias y seis bie- nes. El conjunto { 1 , 2 , 3 , 4 , 5 , 6 }, el de todos los bienes, es autónomo por definición. El conjunto T = { 4 , 6 } también es autónomo: ninguno de los bienes que no pertenece a T es necesario para la producción de los bienes que sí pertenecen a T ; es decir, los bienes 1, 2, 3 y 5 no son necesarios para la producción de los bienes 4 y 6. ¨Cómo lo comprobamos? Exa- minando los coeficientes técnicos correspondientes. Se tiene: a 14 = 0, lo que se¤ala que el bien 1 no es necesario en la producción del bien 4; tam- bién: a 24 = a 34 = a 54 = 0, que se¤ala que tampoco el bien 2, ni el 3, ni el 5 son necesarios para la producción del bien 4. Por otro lado, también se tiene: a 16 = a 26 = a 36 = a 56 = 0, y así los bienes 1, 2, 3 y 5 tampoco son necesarios para la producción del bien 6. El conjunto T = { 4 , 6 } es efectivamente autónomo. Otro conjunto autónomo es el formado sólo por el bien 6: T ′^ = { 6 }. En efecto: acabamos de comprobar que ninguno de los bienes 1, 2, 3 y 5 es necesario en la producción del bien 6, pero a 46 = 0, así que tampoco es necesario el bien 4; tenemos, pues, que los bienes que no pertenecen al conjunto T ′^ no son necesarios en la producción de los que sí pertenecen al conjunto T ′: el conjunto T ′^ es autónomo. Hay más conjuntos autónomos para esta matriz; verbigracia: { 1 , 2 , 4 , 6 }, { 1 , 2 , 3 , 4 , 6 } y { 1 , 2 , 4 , 5 , 6 }. La comprobación correspondiente es un útil ejercicio que dejamos al lector. Dada una matriz de coeficientes técnicos A =

aij

y un bien i , de- notamos por M(i) el conjunto formado por el bien i y por todos aquellos bienes que son directa o indirectamente necesarios en la producción del bien i. Veamos lo que esto significa con la matriz A del ejemplo del pár- rafo anterior; estudiemos, verbigracia, el conjunto M( 2 ). Este conjunto está formado por el propio bien 2 y por aquellos bienes que son directa o indi- rectamente necesarios en su producción. A la vista de la segunda columna de la matriz A , podemos decir que sólo hay un bien que sea input para la industria que produce el bien 2: tal bien es el bien 1; por ser input para la producción del bien 2, decimos que el bien 1 es directamente necesario en

14 I. MATRICES POSITIVAS

tal producción. Vayamos ahora a la primera columna, que es la que nos dirá qué inputs requiere la producción del bien 1: vemos que necesitaremos can- tidades positivas de los bienes 1, 2 y 4; de estos tres bienes decimos que son indirectamente necesarios para la producción del bien 2 (aunque algunos de ellos —por ejemplo, el bien 4— no son inputs para el bien 2, sí lo son para el input con el que se produce el bien 2). Pero hay más. Si nos vamos a la cuarta columna, leemos que el bien 4 necesita a su vez como inputs los bienes 4 y 6; por este motivo el bien 6 también se considera indirectamente necesario en la producción del bien 2 (el bien 4 ya lo era). Finalmente, si nos vamos a la sexta columna, vemos que para producir el bien 6 sólo hace falta cierta can- tidad positiva del mismo bien 6: no hay, pues, más bienes indirectamente necesarios para producir el bien 2 que no hayamos considerado ya. Recapi- tulando, el conjunto M( 2 ) , que está formado por el bien 2 y por los directa o indirectamente necesarios para producirlo, es este: M( 2 ) = { 1 , 2 , 4 , 6 }. En el texto se explica detalladamente, y con profusión de ejemplos, un algoritmo para “construir” un conjunto M(i). El procedimiento tiene como primer paso escribir el propio bien i ; a continuación, este bien se “enlaza” con sus inputs (dicho de otra forma: con aquellos bienes que son directa- mente necesarios en su producción); después se enlazan estos inputs a su vez con sus propios inputs , y estos últimos de nuevo con los inputs que tengan, y así sucesivamente. En todo este proceso se sigue una regla: no se escribe un bien más que una vez. El procedimiento termina cuando ya no nos quedan bienes nuevos que escribir, es decir, bienes nuevos que sean inputs de bienes ya escritos, y el conjunto M(i) está formado por todos los bienes que han sido escritos. Nótese que al menos el propio bien i ha sido escrito, así que el conjunto M(i) tiene al menos un elemento: i ∈ M(i). Para el conjunto M( 2 ) de la matriz A del ejemplo que venimos considerando, la aplicación de este algoritmo toma este aspecto:

2 ^1 ^4 ^6.

En el primer paso escribimos el propio bien 2; en el segundo paso, escribi- mos los inputs del bien 2: sólo el bien 1; en el tercer paso, escribimos los inputs del bien 1 que no han sido escritos ya: sólo falta el bien 4 (sus otros inputs , los bienes 1 y 2, ya han sido escritos en los pasos anteriores); en el último paso, escribimos los inputs del bien 4 que sean bienes “nuevos”: sólo el bien 6 (el propio bien 4, el otro input del bien 6, ya está escrito); y este es efectivamente el último paso porque el bien 6 sólo tiene como input él mismo, y ya está escrito. El conjunto M( 2 ) es el conjunto de los bienes que hemos escrito a lo largo del proceso; éstos son: 2, 1, 4 y 6. Los

16 I. MATRICES POSITIVAS

Esta sección termina estudiando los productos fundamentales. Dada una matriz de coeficientes técnicos, un producto fundamental es un bien que es utilizado, directa o indirectamente, en la producción de todos los bienes. En otras palabras: es un bien que pertenece a todos los conjuntos M(i). Verbigracia, para la matriz A del ejemplo de párrafos anteriores hay un producto fundamental nada más: el bien 6; es el único que pertenece a los seis conjuntos M(i) de la matriz.

I.4 MATRICES INDESCOMPONIBLES

Una matriz de coeficientes técnicos es indescomponible , o irreducible , si el único conjunto autónomo que admite es el de todos los bienes. O equiva- lentemente: todos los conjuntos M(i) son iguales al conjunto formado por todos los bienes. Nótese que para una matriz indescomponible todos los bienes son productos fundamentales. La matriz A del ejemplo estudiado en el apartado anterior no es indes- componible, pues admite conjuntos autónomos distintos del de todos los bienes. Pero estas dos matrices: ⎛ ⎜⎝

⎟⎠ y

con las que trabajamos en los apartados segundo y tercero, sí son indes- componibles, como el lector puede fácilmente comprobar. Realmente, una matriz de coeficientes técnicos que sea estrictamente positiva es indescom- ponible, porque la existencia de un conjunto autónomo distinto del de todos los bienes obliga a que haya algún coeficiente técnico nulo. Pero hay matri- ces indescomponibles que no son estrictamente positivas; por ejemplo: ( 0 1 / 4 1 / 2 0

(Se tiene: M( 1 ) = M( 2 ) = { 1 , 2 }, con lo que es efectivamente indescomponi- ble.) En esta sección también se muestran distintas propiedades de las ma- trices indescomponibles, algunas de ellas de carácter técnico. Queremos destacar aquí sólo una: la matriz traspuesta de una matriz indescomponi- ble también es indescomponible.

I.5. ESTRUCTURAS PRODUCTIVAS DE SUBSISTENCIA 17

I.5 ESTRUCTURAS PRODUCTIVAS

DE SUBSISTENCIA

Una estructura productiva es de subsistencia si existe algún nivel de pro- ducción no nulo de forma que los consumos intermedios necesarios para alcanzarlo lo igualan. En símbolos: dada una matriz de coeficientes técni- cos A , la estructura productiva que representa es de subsistencia si existe alguna matriz de producción X , positiva y no nula, tal que X = AX. La estructura productiva con esta matriz de coeficientes técnicos:

A =

que fue estudiada en el segundo apartado, es de subsistencia. En efecto, como vimos en el citado segundo apartado, se verifica la igualdad X = AX para la matriz de producción siguiente:

X =

la cual es positiva y no nula. Resultan especialmente interesantes las estructuras productivas de sub- sistencia representadas por matrices de coeficientes técnicos indescomponi- bles. Para este caso se verifica el teorema de D EBREU–H ERSTEIN , que asegura la existencia de una matriz columna P , estrictamente positiva, tal que P = A t P. Los términos de esta matriz P se pueden interpretar como los precios uni- tarios de los bienes, de forma que el producto A t P es una matriz columna cuyos términos son los costes unitarios de producir los distintos bienes; existe entonces una matriz columna de precios con la cual el coste unitario de cada bien es igual a su valor unitario bruto. Veamos la aplicación de este teorema a la matriz A del ejemplo anterior, que es indescomponible al ser estrictamente positiva. Existe, de acuerdo con el teorema, una matriz columna P , estrictamente positiva, tal que P = A t P. Esta igualdad matricial es equivalente a esta otra: (I − A t )P = O, que puede verse como un sistema homogéneo de matriz asociada I − A t^ y con matriz de incógnitas P ; toma la forma: (^) ⎛ ⎜⎝

p 1 p 2 p 3