¡Descarga Matemáticas 2014 y más Apuntes en PDF de Matemáticas solo en Docsity!
DESARROLLO DEL PENSAMIENTO
MATEMÁTICO Y SU DIDÁCTICA
T1. Didáctica de la lógica y los conjuntos
T2. Didáctica del número natural
T3. Didáctica de la geometría
T4. Didáctica de la medida
T1. Didáctica de la lógica y los conjuntos
Parte psicológica
En la primera parte hemos visto los contenidos matemáticos básicos de la Lógica y la Teoría de Conjuntos, ahora plantearemos cuáles son los procesos de pensamiento relacionados con la construcción del pensamiento lógico-matemático. Con este fin revisaremos algunas nociones sobre el funcionamiento de la inteligencia que nos permitan delimitar cuáles son las capacidades más específicas ligadas a este tipo de pensamiento.
La inteligencia según las teorías cognitivas
Según las teorías cognitivas, la inteligencia depende de cómo cada individuo representa internamente el mundo y de qué forma puede actuar sobre estas representaciones internas. Estas formas de representación están condicionadas por los procesos cognitivos básicos que son: percepción, aprendizaje y pensamiento.
- Percepción: proceso básico de extracción de la información desde el mundo exterior o del propio individuo. Comprende una serie de etapas desde el E a la R.
- Aprendizaje: es la actividad mediante la cual la información adquirida pasa a formar parte del repertorio de datos de las estructuras mentales del individuo.
- Pensamiento: es la actividad que ejecuta un individuo cuando se ocupa de resolver situaciones problemáticas utilizando los datos recogidos en el aprendizaje.
Se considera formación de conceptos al proceso que eslabonan estos tres procesos básicos. En la medida en que el niño crece y se desarrolla se van modificando las estructuras mentales.
- La formación de conceptos comprende dos tipos de operaciones: la abstracción de ciertas propiedades para formar una categoría y generalizar estas propiedades a otros elementos del mismo concepto. Por ejemplo, el concepto silla.
- Al analizar la formación de conceptos un elemento esencial es el lenguaje.
Según los psicólogos cognitivos, existen cuatro factores que influyen en el aprendizaje: lo innato, la experiencia (manipulativa, física, lógico-matemática), lo social y el equilibrio.
Piaget
Es la figura más conocida dentro de las teorías de desarrollo cognitivo. Piaget llamó esquemas a las estructuras mentales internas y operacionales a las formas en que las manipulamos cuando pensamos.
En ciertos intervalos de tiempo en el desarrollo humano las estructuras mentales cambian de forma especial, o de forma paulatina como cuando se asimila la información y se acomoda a las estructuras ya existentes. Estos cambios marcan la separación entre dos periodos de desarrollo evolutivo o estadios.
En el periodo de las operaciones concretas el niño es capaz de operar mentalmente sobre las situaciones concretas realizadas en el periodo preoperacional, y es capaz de realizar operaciones lógicas mentalmente. El último período, el de las operaciones formales, comienza cuando se adquiere la capacidad de realizar operaciones mentales sobre los símbolos y no sólo sobre los objetos. Se desarrolla la capacidad de pensar en términos de lo posible, apareciendo el pensamiento científico.
Desde el punto de vista del desarrollo del pensamiento lógico, en el periodo preoperacional se introducen las clasificaciones y las seriaciones a través de dos operaciones:
- (^) La coordinación entre la comprensión y la extensión. Discriminación de cualidades.
- Cuando no tienen ni esquema anticipatorio ni realizan las seriaciones efectivamente.
- (^) Tienen cierto esquema anticipatorio pero no son capaces de realizar seriaciones. Por ejemplo, dibujan regletas de menor a mayor pero no tienen en cuenta los colores.
- Tienen esquema anticipatorio y la realizan la seriación efectiva.
Críticas a Piaget
En las investigaciones hay un predominio por el estudio de la pertenencia inclusiva y no de la pertenencia partitiva. Los psicólogos actuales han observado que la pertenencia partitiva es a menudo más usada que la inclusiva, incluso en adultos.
Así, además de las clasificaciones taxonómicas (pertenencia inclusiva) que estudia Piaget, existen otros tipos: las clasificaciones temáticas relacionadas con el concepto de esquema. Un esquema es un bloque de información organizado. Pueden ser marcos o guiones.
La inteligencia como sistema de procesamiento de la información
Estas teorías estudian la adquisición, codificación, clasificación, interrelación, que se realiza de los conocimientos. Existen tres tipos de mecanismos que utiliza el individuo para tratar la información:
- De adquisición de conocimientos: seleccionan la información relevante separándola de aquella que no es relevante.
- De resolución de tareas: implicados en la resolución de situaciones problemáticas.
- Metacomponentes: intervienen en las tareas de planificación ejecutiva y toma de decisión.
En las tareas se observan estos mecanismos. Las inductivas son aquellas que parten de los casos particulares a los más generales: clasificaciones, seriaciones. Deductivas: silogismos.
Teorías específicas sobre el aprendizaje de los conceptos naturales
Un concepto es cualquier objeto, acontecimiento o situación que viene determinado por una o varias características y está determinado por un símbolo lingüístico. Los conjuntos matemáticos son formas de expresión de los conceptos. Por tanto, la formación de conjuntos y su lenguaje específico es una labor íntimamente relacionada con el desarrollo conceptual del niño. Así, el aprendizaje de los conceptos debe desarrollarse de forma paralela a la enseñanza de los
conjuntos y viceversa.
Los conceptos pueden ser naturales o formales. Los primeros se determinan por sus características funcionales: silla, sentarse. Los segundos por sus características descriptivas o abstractas: triángulo, tres lados, tres vértices no alineados.
Factores que intervienen en el aprendizaje de los conceptos formales:
- Cuando el concepto es más complejo, la dificultad de su aprendizaje aumenta. Un concepto A es más complejo que B cuando el nº de características relevantes de A, que son las que permiten definirlo, son mayores a dicho número en B.
- Cuanto mayor es el número de características irrelevantes presentadas, más difícil es el aprendizaje de un concepto.
- Cuanto mayor es el número de valores de las características relevantes es mayor la dificultad en el aprendizaje.
- Cuanto mayor sea la capacidad discriminatoria del niño respecto de las características relevantes, más fácil será el aprendizaje del concepto.
- (^) El método de presentación de ejemplos posibivos de un concepto (un triángulo tiene tres lagos) mejora el aprendizaje de los conceptos conjuntivos (qué tipo de característica a y característica b) mientras que el de los disyuntivos (aQb) es mejorado por el método de presentación de ejemplos negativos (un triángulo no tiene cuatro lados) o el de alternancia de positivos y negativos.
Los conceptos naturales: Eleaonora Rosch
Los conceptos naturales vienen a responder a relaciones existentes entre el individuo y el medioambiente que vive. Una de las tesis fundamentales de Eleaonora Rosch es que los conceptos naturales no son igualmente concretos para la persona que los construye.
Los conceptos más básicos para una persona de campo serían: perro, gato, gallina; sin embargo, para una persona de ciudad no serían estos.
Rosch insiste en que los conceptos básicos reflejan agrupamientos de atributos que constituyen la estructura correlacional del medio. Lo cual hace que los conceptos naturales sigan una clasificación taxonómica:
formalización creciente, yendo de lo puramente manipulativo, práctico, concreto hasta lo simbólico, abstracto y formal.
La progresión de los contenidos matemáticos se considera más como una espiral que como una progresión lineal.
La percepción sensorial y la manipulación de objetos va a ayudar inicialmente al niño a captar cualidades y propiedades de los mismos, a observar diferencias y semejanzas entre ellos, a conocerlos. Las actividades que el niño realiza en torno a los objetos han de llevarle a utilizar distintos procedimientos de tipo matemático, que se perfeccionarán al utilizarlos en situaciones diversificadas.
Diferenciando, nombrando, agrupando, comparando, seleccionando, ordenando, colocando, repartiendo, añadiendo, quitando, estableciendo correspondencias, podrá ir captando las primeras nociones matemáticas con la ayuda del educador.
Las actividades que se proponen a los pequeños deben fomentar su actuación y manipulación directa, han de responder a un interés y a un objetivo fácilmente identificable y deben permitir a los niños la planificación de su propia actuación. Preferiblemente, en un modelo lúdico. Por ejemplo, la aproximación del niño a las formas geométricas no tiene sentido si no se inscribe en un contexto de juego, en la realización de algún proyecto (construcciones, mosaicos).
Capacidades lógicas
Consiste en extraer las características que definen a un determinado concepto u objeto. El niño tiene que expresar qué es, cómo es, dónde está. P.ej., dado un olmo, reconocer sus características de árbol. Los objetos reales son más cercanos a los niños que las imágenes. Se debe potenciar la expresión gestual. Se puede hacer el reconocimiento al dictado mudo, a través de tarjetas que simbolicen las características forma, tamaño, color, etc.
Buscar un objeto o concepto que tenga unas determinadas características dadas. P.ej., hacer un ruido y encontrar un objeto que lo pueda producir, o decir el animal que hace “miau”. Es importante desarrollar las percepciones sensoriales.
Consiste en buscar un objeto o concepto a partir de unas características dadas de entre una colección con características semejantes. P.ej. de la caja de pinturas elegir las que son azules.
Buscar las semejantes y diferencias entre varios objetos o conceptos, lo cual implica dos acciones consecutivas. P.ej., ¿en qué se parecen y en qué se diferencian un gato y un perro?
Se trata de partir de una característica y buscar todos los objetos que tienen esa característica. P.ej., levántense todos los niños que cumplan los años en diciembre.
Se trata de partir de varios objetos y determinar la característica común. P.ej., perro, gato, murciélago, vaso.
Utilización de los cuantificadores (todo, nada, algunos) que sean adecuados para referirse al grado de presencia de una determinada cualidad en objetos y colecciones. P.ej., ¿cuántos niños tienen dos piernas?
No, o, y. Se trata de reconocer objetos que no cumplan una característica, que cumplan una característica u otra y que tengan características comunes.
- Formas de representación y expresión
Asociar a un conjunto su representación gráfica y simbólica cuando surja esa necesidad: para resumir situaciones, ver a simple vista, recordar fácilmente. P.ej., diagramas de Venn, tablas de doble entrada.
■ Respecto de una asociación buscar cuál sería el elemento que le corresponde a otro dado.
■ (^) Dada una asociación ya hecha, buscar el criterio.
La idea matemática subyacente a este tipo de concepto es la de sucesión o serie. Los tipos de pautas son repetitivos o acumulativos. Los criterios pueden estar relacionados con el movimiento, el sonido, la forma, el tamaño.
■ Crear pautas.
■ (^) Ampliarlas.
■ Transferirlas de un contexto a otro.
Diferentes teorías didácticas para la enseñanza de las capacidades lógicas
Según Skinner, el aprendizaje se produce creando una conexión o vínculo entre el estímulo y la respuesta. Los conexionistas estudian fundamentalmente los conceptos formales, aquellos que quedan bien definidos por características objetivas, como el concepto “árbol”.
No sólo les interesa el vínculo, también el estímulo y la respuesta, la palabra por medio de la cual identificamos el concepto y las relaciones entre estos tres elementos. Además, es el niño quien crea su propio conocimiento mediante la generación y la comprobación de hipótesis.
Eleaonora Rosch Fases
- Organizador previo
Es el material introductorio a los nuevos conceptos que se van a enseñar. Su objetivo es
crear una actitud favorable que motive el interés hacia los conocimientos posteriores.
Si el concepto es básico, como los colores primarios, el organizador debe ser expositivo, como un cuento o un dibujo. Por ejemplo, un cuento sobre manzanas rojas y verdes y un dibujo posterior.
Si es secundario, lo que implica que ya conocen un concepto primario relacionado con él, el organizador debe reflejar el tipo de relaciones que se establecen con otros conceptos; de semejanzas, diferencias o analogías.
- “Casa” Partiendo de los tipos que ya conocen, reconocer las relaciones de dif.
- “Fruta” El niño ya conoce diversos tipos de fruta. Para llegar al concepto se puede realizar como organizador previo una salida al mercado para observar la relación de semejanza entre ellas y ver que todas están en la frutería.
- Si conocen los conceptos largo-corto, enseñarles por relaciones de analogía los conceptos grueso-delgado.
Estos organizadores previos, a través de preguntas y diálogos del maestro con los alumnos dan lugar al prototipo de un concepto (ejemplar más típico) y se pueden destacar tres tipos de características: descriptivas, funcionales o emocionales.
- (^) Presentación del prototipo en relación con el contexto
Se realiza especialmente si el prototipo tiene unas características funcionales relevantes: ¿Qué hace el prototipo en este contexto? ¿Cómo lo hace? ¿Qué utilidad tiene? Se pretende que vean las características funcionales del concepto en relación con el medio y así ir aislando el prototipo.
Por ejemplo, se quiere enseñar el concepto “ave” y aparece el prototipo “pájaro”, así que presentamos mediante un mural los pájaros en tres contextos diferentes: volando, incubando, naciendo. Si el prototipo tiene por características relevantes alguna de tipo perceptivo, esta fase no sería necesaria.
- Comparación del prototipo con los no-ejemplares del concepto
Las características que definen el prototipo se comparan con las características de ejemplares claramente diferentes que no son de ese concepto, así se van estableciendo las características relevantes. Por ejemplo, una gallina tiene dos patas y un caballo cuatro. Las características de comparación puede ser perceptivas, funcionales o emocionales.
en ambos procesos, para que el aprendizaje sea significativo, el camino debe recorrerse de forma reversible. De los conceptos básicos el niño debe poder pasar a los subordinados y de éstos nuevamente a los básicos, a partir de los cuales puede llegar a conceptos supraordinados e invertir. Esto lleva a la enseñanza de la inclusión de conjuntos y de las operaciones entre conjuntos de unión e intersección.
- Zoltan Dines Seis etapas del aprendizaje de las matemáticas
- El concepto de entorno es de gran importancia, pues todo aprendizaje supone un proceso de adaptación del organismo al entorno. Se presenta al niño un entorno (real o artificial) al cual pueda adaptarse, en fase de juego libre. Por ejemplo, si pretendemos que aprenda los conceptos lógicos podemos usar los bloques lógicos.
- Tras un cierto periodo de adaptación de juego, el niño se da cuenta de las limitaciones de cada situación. Está dispuesto a jugar contando con unas restricciones que se le impondrán: reglas de juego, lo que le lleva al juego estructurado.
- Jugar, aún con juegos estructurados según unas leyes matemáticas, no es aprender matemáticas. ¿Cómo puede el niño extraer del conjunto de estos juegos las abstracciones matemáticas subyacentes? El método psicológico consiste en hacer que jueguen a diversos juegos que tengan una misma estructura pero una apariencia distinta, es el juego del diccionario, en el que el niño obtiene la estructura común de los juegos y se deshace de los aspectos carentes de interés, produciéndose una primera abstracción.
- Proceso de representación gráfica que le permita hablar de lo que ha abstraído, de observarlo desde fuera, de salir del juego o conjunto de juegos, de reflexionar sobre ello. Diagramas de Venn, tablas de doble entrada.
- Para realizar la descripción, necesitamos de un lenguaje. Deben llegar a la invención de un lenguaje. Es conveniente que cada niño invente su propio lenguaje y que más tarde se discutan las ventajas e inconvenientes de cada uno y adoptar todos el mejor.
- (^) A partir de la descripción de la abstracción se pueden generar unas nuevas y más complejas mediante las reglas de demostración, surgiendo los teoremas.
Ha elaborado la teoría de las situaciones didácticas para la enseñanza de los conceptos matemáticos en general. Propone una serie de actividades que ponen en relación varios aspectos: maestro, alumno, aula, materiales, conocimientos que se han de enseñar, etc. Estas actividades se recogen en cuatro situaciones:
- De acción: el maestro da la información y el niño debe actuar.
- De formulación: entre un niño emisor y otro receptor que actúan. Una vez realizada, la actividad será confirmada.
- De validación: en gran grupo, el maestro actúa de moderador y los niños establecen soluciones a las etapas.
- De institucionalización: fase personal de interiorización del conocimiento.
Materiales lógicos
Hay dos grandes grupos de materiales: los no estructurados y los estructurados. Los materiales no estructurados son cualquier material, de deshecho o no, que conviene que conozcan el niño de su entorno. Los materiales estructurados son materiales especiales y normalmente comercializados para la enseñanza de lógica y conjuntos. Entre ellos están:
- Bloques lógicos : 48 piezas de cuatro formas, tres colores, dos tamaños y dos grosores. La alternativa son las personas lógicas, cuyos atributos son edad, sexo, color y tamaño.
- Logitab : bandejas de plásticos que se utilizan para hacer clasificaciones dobles de ciertas piezas.
- Logiclub : cubos de plástico donde se representan diversas situaciones que hay que relacionar o secuenciar.
- Mathuevos : diferentes piezas que se meten en un huevo con agujeros con las formas.
- Talleres de olores : clasificar olores.
quien en 1922 escribió Psicología de la Aritmética, donde propone cómo deben enseñarse los conceptos numéricos.
Los conductistas creen que el aprendizaje de un concepto se produce creando un vínculo entre estímulos y respuestas a través de la repetición de ejercicios donde intervengan esos estímulos y las respuestas. Así, 2+2 se considera un estímulo y 4 una respuesta.
Teorías cognitivas Piaget
En los años sesenta aparecen las teorías cognitivas. En particular, las teorías de la escuela de Ginebra, con Jean Piaget. Según su teoría, existen cuatro etapas en la concepción del número:
- Los niños aprenden el concepto de número como una síntesis de dos operaciones lógicas: la inclusión de clases (clasificaciones) y las relaciones asimétricas (seriaciones), las cuales deben ser desarrolladas antes de cualquier planteamiento sobre el número. Piaget considera que por medio de las seriaciones se consigue enseñar el aspecto ordinal del número, mientras que las clasificaciones dan lugar al aspecto cardinal.
- Se refiere a la conservación de la cantidad. Es central en la construcción del número y se basa en la percepción de las diversas disposiciones de un conjunto.
La comparación entre dos conjuntos será inicialmente global, lo cual corresponde a una etapa de cuantificadores, que son palabras que permiten la comparación entre cantidades sin el uso explícito del número, como algunos-varios, más grande-más pequeño o nada-todo.
En esta etapa se realizan actividades que analizan la conservación de la cantidad respecto de la percepción y la relación que existe entre la conservación y la correspondencia uno a uno, con las que son posibles establecer el valor cardinal de un conjunto.
- El siguiente momento en la adquisición del concepto de número para Piaget es la coordinación de aspecto cardinal con el aspecto ordinal Para estudiar cómo los niños realizan esta coordinación propone, por ejemplo, la actividad del experimento de los hombrecitos y los bastones.
Tenemos diez hombrecitos de diferentes alturas y diez bastones de diferentes alturas, no coincidiendo el orden de crecimiento de los bastones y hombrecillos. Primero, se les pide que asignen a cada hombre su bastón.
Para realizar esto los niños utilizan dos algoritmos diferentes, de mayor complejidad el segundo que el primero: ordenan una serie y emparejan con el segundo conjunto desordenado, y ordenan ambas series y hacen correspondencias paralelas. Luego, invirtiendo el orden de una se las series se les vuelve a pedir que asignen a cada hombre su bastón.
- Consiste en tratar diversas aplicaciones del número, fundamentalmente en torno a la composición y descomposición de números. Por tanto, de casos sencillos de sumas y de restas.
Críticas a la teoría de Piaget
Algunos autores como MacGarrigle afirman que las respuestas erróneas de los niños menores de siete años a la pregunta de si hay más bolas rojas o de madera son debidas a una mala interpretación del problema, por lo que lo resuelven de forma inesperada, pero a otras preguntas similares si responden adecuada mente. Así, propone experiencias alternativas basadas en tareas cercanas para los niños.
En general, los test clásicos de Piaget tienen grandes críticas. De algunos de ellos, como el de la correspondencia uno a uno, se cuestiona realmente qué quieren medir. Por ello, surgen diversos tipos de test complementarios como los de Bryant y el de cardinación de Brained.
La gran crítica a Piaget es la de no estimar las dificultades reales de los niños en el aprendizaje de los conceptos numéricos: no predice las dificultades, ni tampoco ofrece consejos prácticos para enfrentarse a ellas. Por otra parte, también ignora el contexto donde el aprendizaje tiene lugar, así como su relación con el lenguaje.
Teorías basadas en el recuento
El recuento es una de las actividades más frecuentes a la que se dedican los niños pequeños. A medida que aprenden la secuencia numérica, la aplican en diversos contextos de su medio social y se ejercitan en su recitado.
- (^) Principio del orden estable
Gelman y Gallistel notaron ya que el recuento del niño en el nivel de Educación Infantil era limitado en su conocimiento de las palabras numéricas, no siendo extraño encontrar una serie como “uno-dos-tres-cuatro-cinco-ocho-treinta”. Sin embargo, la parte no convencional de esta lista (en este caso, a partir del ocho) podía ser utilizada de forma estable en el recuento. Esto significaría que los recuentos tomarían siempre la misma forma y se presentarían con una correspondencia uno-a-uno correcta.
Un estudio posterior ha añadido datos más sistemáticos sobre la forma que adopta el recuento infantil, dividiéndolo en tres partes. La primera, la parte convencional suele llegar en los grupos más jóvenes de edad, de tres a cuatro años, hasta diez o catorce.
La segunda parte del recuento es una parte estable no convencional que se desvía de la secuencia convencional pero que es empleada de forma consistente por el niño. Esta parte contiene fundamentalmente palabras en el orden convencional pero presentando omisiones, repeticiones o inversiones locales del orden tradicional.
La tercera parte del recuento es una parte no estable en la que caen el 60% de los niños que empleaban una parte estable. Pese a que, por su definición, son producciones aleatorias, es posible registrar ciertas regularidades junto a palabras sin relación alguna, lo que permite suponer que sirvan de ensayo para su incorporación posterior a la parte estable.
- Principio cardinal
Este principio afirma que la última palabra numérica del recuento tiene significado especial al representar el número total de elementos del conjunto.
Gelman y Gallistel encontraron que aquellos niños quedaban respuestas adecuadas respecto a la última palabra utilizaban los dos primeros principios. Además, los que dominaban estos dos principios no siembre daban respuestas de última palabra. Todo ello les llevó a concluir que los dos primeros principios resultan ser necesarios para entender el principio cardinal pero que no son suficientes.
Los tres criterios que consideraban válidos para detectar la presencia del principio cardinal eran tres. Que formule el recuento y repite la última palabra numérica como uno-dos-tres-tres, que marque énfasis, acentuando el tono en la última palabra, y que asigne el valor correcto numéricamente al conjunto pero sin contar en voz alta.
- (^) Principio de abstracción
Los tres primeros principios son los de mayor importancia por referirse a cómo se cuenta. El cuarto principio se refiere al qué se cuenta, afirmando que los principios anteriores se pueden aplicar a cualquier conjunto, independientemente de la naturaleza
de sus elementos.
A través de numerosos protocolos se han distinguido hasta cinco etapas en el desenvolvimiento de este principio de abstracción. Estas etapas consistirían en la creación, por el niño, de diversos tipos de unidades de recuento. El niño poco a poco progresa en el recuento en dependencia decreciente del material perceptivo. Así, en la última etapa el niño puede prescindir de todo tipo de ayuda externa o vocal de su memoria y puede contar con un modelo de recuento aplicable a distintos elementos y situaciones.
De estas cinco etapas se pueden entender dos como transitorias entre su anterior y su posterior dentro del protocolo creciente de abstracción e internalización de las unidades. En síntesis, hay dos etapas de transición: unidades figurables y verbales, y tres principales.
- Unidades perceptivas.
- Unidades figurables. Contar los elementos de imágenes visuales.
- Unidades motoras. Contar con los dedos.
- Unidades verbales. Formar partes de la secuencia numérica.
- Unidades abstractas.
- Principio de orden irrelevante
Según este principio, el orden de enumeración es irrelevante para determinar el cardinal de un conjunto. O lo que es lo mismo, el resultado del recuento es independiente del orden en que los elementos sean contados.
El principal resultado aportado por Gelman y Gallistel en torno a este principio es el hecho de que todos los niños que comprendían la irrelevancia del orden seguían los tres primeros principios del recuento, pero no sucedía al revés. Es decir, que estos últimos son necesarios para la compresión de la irrelevancia del orden, pero no suficientes.
Recitado de la secuencia numérica
La elaboración de la secuencia numérica es un proceso de diferenciación de las palabras dentro de un recitado y de construcción de relaciones entre estas palabras. Este proceso se divide en:
