Examen de Matem´
aticas
1ode la Diplomatura en ´
Optica y Optometr´
ıa. Grupos A y B
29 de noviembre de 2008.
Nombre y Apellidos: . Curso:
Elegir cuatro de los siguientes ejercicios.
Ejercicio 1. Esbozar la gr´
afica y enunciar las propiedades (dominio, imagen, inyectividad, sobreyectivi-
dad, biyectividad, acotaci´
on, crecimiento, paridad y periodicidad) de las siguientes funciones:
(I)1
2x
(II)arc sen(x)
(III)p|x|(indicaci´
on para dibujar la gr´
afica: te-
ner en cuenta c´
omo es la gr´
afica de x2as´
ı co-
mo las propiedades de p|x|)
Ejercicio 2. Consideramos la funci´
on f (x) = e√x2−4. Estudiar: dominio, imagen, inyectividad, sobreyec-
tividad y biyectividad. A partir de ella, obtener una funci´
on biyectiva y calcular su inversa.
Ejercicio 3. Estudiar si existen a y b n´
umeros reales de modo que la funci´
on sea continua.
g(x) =
ebx si x <−1
1+x2
√x+1−1si −1≤x<0
log2(√x2+a)si x ≥0
Ejercicio 4. Estudiar las as´
ıntotas de la siguiente funci´
on, as´
ı como la posici´
on de la misma respecto de
las as´
ıntotas
h(x) =
x3
2(x2−1)si x <−1
x2−x−6
2x3−4x2−2x+4si x >−1
Ejercicio 5. Consideramos la funci ´
on f :R+→R,f(x) = arc tg(x)sen(x).
(I) Demostrar que f (x) = π
3tiene al menos una soluci´
on.
(II) Demostrar que f (x) = π
3tiene infinitas soluciones (indicaci´
on: recordar que la funci´
on seno es
peri´
odica y las propiedades de la arcotangente).
(III) Demostrar que f (x) = −π
3tiene infinitas soluciones.
(IV) ¿Qu ´
e puedes decir entonces del l´
ımite de f cuando x tiende a +∞?