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TEMA 0 – MATRICES
Matriz
:- Listas y tablas numéricas. Las matrices se emplean para almacenar información, para describir relaciones, para el estudio de sistemas de ecuaciones,…, y aparecen de modo natural en Economía, Sociología, Psicología, Estadística,Geometría,... 0.1.DEFINICIONES BÁSICAS •^ Matriz de orden
m x n
Todo conjunto de elementos dispuestos de modo ordenado en forma de una tabla de
m^
filas y
n^ columnas. Se simboliza
en las formas:
mn
m m
n n a
a a
a
a a
a
a a A
L
M
M
M
M
L L
2 1
2
22 21
1
12 11
,^
ó^
(^
)^
nm aij A^
∗
(^
,^21
cn c c A^ =
ó
f = f ^ m A^
1 M
Siendo: a^ ij^ : el término situado en la fila i y columna j, c: vector-columna formado por los elementos de la columna j (j = 1, 2, ..., n)j^ f: vector-fila formado por los elementos de la fila i (i = 1, 2, ..., m)i^
-^ Matrices cuadradas Son aquéllas en las que el número de filas coincide con el número de columnas
m = n
. Los elementos
{^
} nn
a a a^
,^2211
forman la diagonal principal. La suma de los elementos de la diagonal principal se denomina
TRAZA
de la matriz.
(^ )
ann
a a A Traz
=^
22 11
Las matrices cuadradas que tengan nulos los elementos que quedan a uno de los lados de la diagonal principal sedenominan
matrices triangulares
.
Matriz diagonal:
la que tiene nulos todos los elementos que no están en la diagonal principal.
nn
n n^
a
a a
a a a A
L
M
M
M
M
L L
2 1
22 11 21
n an a nn
a
a
a a A
L
M
M
M
M
L L
2
22
1
12 11
Triangular superior
Triangular inferior
a^ nn
a a A
L
M
M
M
M
L L
11
Diagonal
0.2.OPERACIONES ELEMENTALES CON MATRICES Cuando los elementos de la matriz son números reales:SUMA DE MATRICES
-^ Suma de dos matrices del mismo orden: es la matriz que resulta al sumar los elementos que ocupan el mismo lugar enambas.
nm nm nm
B
A
C^
∗ ∗ ∗^
Sumándose elemento a elemento:
ij ij ij^
b a c^
El conjunto de matrices
nm M^
∗^ de un mismo orden tiene estructura de grupo abeliano o conmutativo respecto a la suma
matricial, cumpliéndose las siguientes propiedades:
1.^ Asociativa:
A + (B + C) = ( A + B ) + C
2.^ Conmutativa:
A + B = B + A
3.^ Elemento neutro:
A +
_ 0 = A
4.^ Elemento opuesto:
A + (-A) =
_ 0
Siendo A, B, y C matrices del mismo orden y
_ 0 la matriz nula (cuando todos los elementos son iguales a cero).
PRODUCTO DE NÚMERO REAL POR MATRIZ El producto de un número real (
k ) por matriz
A^ = (a
) es la matriz que resulta al multiplicar el escalar por cada uno de losij
elementos de la matriz.
R
k y M BA B A k^
nm
⋅^
∗
, /
Siendo:
ij ij^
ak b^
0.3.PRODUCTO DE MATRICES El producto de una matriz
A^ de orden
m^ x^ n,
por otra matriz
B^ de orden
n^ x
p,^ es la matriz
C , de orden
m^ x^ p,
cuyo elemento
genérico c
es el resultado de sumar los productos de los elementos de la filaij
i^ de
A^ por los de la columna
j^ de
B.
nj in j i j i ij pm pn nm
b a b a b a c C B
A^
⋅^
∗ ∗ ∗^
/^
2 2 1 1
Propiedades:
1.^ Asociativa:
C
B
A
C
B
A^
⋅^
2.^ Distributivas:
CA
B
A
C
B
A^
⋅^
y también:
(^
A^
B^
C^
A C
B C
+^
⋅^
=^
⋅^
+^
- Elemento Simétrico:
1
1
A^
A^
A A
I
−^
−
⋅^
=^
⋅^
=^
(ojo, no siempre existe)
4.^ No
cumple la Conmutativa:
A
B
B
A^
1 donde I: Matriz Identidad
PROPIEDADES DE LA TRANSPOSICIÓN DE MATRICES
1.^ Propiedad involutiva
: el resultado de transponer dos veces (o un número par de veces) una matriz, es la propia
matriz.
A
A
tt ^ =
2.^ La transpuesta de una suma de matrices es la suma de las transpuestas.
(^
)^
t t t^
B
A
B
A^
3.^ La transpuesta de un producto de dos matrices es el producto de las transpuestas cambiadas de orden.
(^
)^
t t t^
A
B
B
A^
0.5 DETERMINANTE DE UNA MATRIZ CUADRADA A toda matriz cuadrada
nn A^ ∗
se le asocia un número llamado determinante de
A , que se simboliza como
(^ ) A
det
o^ A
.
Este número es una característica de la matriz que contiene información sobre la dependencia o independencia lineal de losvectores-columna (y de los vectores-fila) que forman la matriz
A.
Lo más relevante es el hecho de que sea igual a cero o distinto de cero. En el primer caso, los vectores son linealmentedependientes (l.d.) y en el segundo, linealmente independientes (l.i.)
2
il
regular matriz
A
dl
gular
matriz
A
sin
El cálculo del determinante se basa en la definición que se da a continuación y en las propiedades que siguen: DEFINICIÓN:
Determinante de una matriz cuadrada
nn A^ ∗
(de orden
n ) es el número que resulta al sumar todos los productos de
n^ elementos de la matriz que cumplan dos requisitos:
1.^
Que en cada producto entre un solo elemento de cada fila y de cada columna.
2.^
Que a cada producto se le anteponga signo + o signo – según que haya un número par o impar de inversiones del orden natural en los subíndices de columnas, previa ordenación de los elementos de cada producto por filas, o en los subíndices de filas, previa ordenación de los elementos de cada producto por columnas. De la definición se desprende que el número de productos que hay que sumar para calcular el determinante, coincide con el número de permutaciones que pueden hacerse con los n primeros números naturales, que es n!, y que a la mitad de ellos, hay que anteponer signo (-). 2 ver tema de Espacios Vectoriales.
3.^ Determinante de una matriz de orden superior a tres Existen distintos métodos que permiten calcular el determinante de un matriz de orden superior a tres, el más utilizado es elde los adjuntos.La suma de los productos de los elementos de una fila (o una columna) por sus respectivos adjuntos es igual al determinantede la matriz.
(^ )
(^
)^
(^
) ij
ji
m i
ij^
M
a A^
det 1
det
1
∑^ =
Donde:
det( ) 1 (^
ij ji
ij^
M
A^
− =^
es el adjunto de
a^ ij
.
4.^ Determinante de una matriz triangular En una matriz triangular son nulos los elementos que quedan a uno de los lados de la diagonal principal. Debido a esto, losproductos cuya suma es el determinante de la matriz son nulos, excepto el producto de los elementos de la diagonalprincipal.
nn
nn
n
a a a a a a a
a a a A
n
33 22 11
1
22 11 21
2
L
M
M
M
M
L L
Para el cálculo del determinante de una matriz cuadrada, no triangular, de orden mayor que tres, procede recurrir a laspropiedades de los determinantes.
PROPIEDADES DE LOS DETERMINANTES Permiten
simplificar el cálculo del determinante
,^ dar un procedimiento operativo para calcularlo
en cualquier caso y
además,
resuelven el problema de la dependencia e independencia lineal de n vectores del espacio vectorial R
n.
1.^ PROPIEDADES QUE SIMPLIFICAN EL CÁLCULO: PROPIEDAD 1:
El determinante de una matriz coincide con el de su transpuesta
(^ )
(^
t ) A
A^
det
det
PROPIEDAD 2:
Si una de las columnas (o de las filas) de la matriz es nula, el determinante vale 0.
det
_ 1
^
cn
c
PROPIEDAD 3:
Si se intercambian entre sí dos columnas (o filas) de la matriz, el determinante cambia de signo.
(^
)^
(^
) n
i j
n j i^
c c c c c c c
c^
det
... ... ... det
1
1
PROPIEDAD 4:
Si la matriz tiene dos columnas (o filas) iguales, su determinante es cero.
(^
)^
j i
n j i^
c c si
c c c c^
=^0
det
1
PROPIEDAD 5:
Si cada columna (o fila) de una matriz se multiplica por un escalar, el determinante de la nueva matriz es
igual al producto de los escalares por el determinante de la matriz inicial.
det ... ... ) ,..., ,..., ( det
1
1
(^11)
n j
n j
nn jj
c c c k k k
ck ck ck
K K ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ =
0.6.
RANGO DE UNA MATRIZ
Si el determinante es un número real asociado sólo a las matrices cuadradas, el rango es un número natural asociado acualquier matriz.Si interpretamos las filas (o las columnas) de una matriz como vectores de R
n, el estudio de los modelos lineales de
compatibilidad requiere procedimientos operativos que permitan averiguar la dependencia o independencia lineal de losvectores-columna formados por los coeficientes de las incógnitas. El concepto de determinante, al ir referido a matrices cuadradas, no aporta un procedimiento operativo general
. Es necesario otro concepto más general, aplicable tanto a matrices
cuadradas como no cuadradas. Tal concepto es el rango de la matriz. DEFINICIÓN Llamamos
MENORES
de orden
h^ a los determinantes de las submatrices cuadradas formadas por los elementos comunes a
h^ filas y
h^ columnas cualesquiera de la matriz. Se dice que el
RANGO DE UNA MATRIZ
A^
es el número natural
r , si
algún menor de orden
r^ es distinto de cero y todos los menores de orden mayor que
r^ son nulos.
TEOREMA El rango de una matriz coincide con el máximo número de vectores-columna y con el máximo número de vectores-filalinealmente independientes que hay en la matriz.De este teorema se desprende que todo el problema relativo al estudio de la dependencia o independencia lineal entrevectores de los espacios de tipo R
n^ queda reducido al cálculo del rango de matrices.
CÁLCULO DEL RANGO 1.^ Elegir las dos primeras columnas y buscar un menor de orden dos no nulo. Si lo hay, c1 y c2 son l.i. y el rango de lamatriz es, al menos dos. Si no lo hay, c2 es múltiplo de c1, se suprime c2, y se elige la siguiente columna en su lugar.
2.^ Partiendo del menor no nulo de orden 2, se elige una nueva columna y se van calculando solamente los menores de orden3 que sean orlados del de orden dos no nulo, hasta encontrar uno no nulo. Si lo hay, las tres columnas son l.i. y el rangoes al menos tres. Si no lo hay, la tercera columna es cl de las dos primeras y puede suprimirse. 3.^ Se reitera el procedimiento partiendo del menor de orden tres no nulo.
4.^ La inversa de un producto es igual al producto de las inversas cambiadas de orden.
(^
(^1) )
1
1
. A B^
B^
A −^
−^
− =^
⋅
5.^ La inversa de la transpuesta de una matriz, es igual a la transpuesta de la inversa de la matriz
(^
)^
(^
t )
t^
A
A^
1 1
− −^ =
CÁLCULO DE LA INVERSA La inversa de la matriz A es igual al inverso de su determinante por la matriz formada por los adjuntos de A transpuestos.
(^1) det( 1
t A adj A
A^
0.9 SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES Un sistema lineal de
m^ ecuaciones con
n^ incógnitas se escribe de la forma siguiente:
m n mn
m m
n^ nn n
b x a x a x a b x a x a x a b x a x a x a =
L
LL
LL
LL
LL
L
L L 2
2 (^11)
2 2
2 22 1 21
1 1
2 12 (^111)
o escrito en forma matricial quedaría:
b X A
b b b x x x a
a a
a
a a
a
a a
m n mn
m m
n n
M
M
L
L
L
L
L
L L
1 2 1 2
2 1
2
22 21
1
12 11
Discusión del sistema (Teorema de Rouchè-Frobenius) Si rango(A)
≠^
rango(A|b)
⇒^
el sistema es incompatible (sin solución)
Si rango(A) = rango(A|b)= r = n
el sistema es compatible determinado (con solución única)
Si rango(A) = rango(A|b) = r < n
el sistema es compatible indeterminado (con múltiples soluciones)
(n-r)= Número de Variables Libres(m-r)= Número de Ecuaciones Redundantes
