¡Descarga Operaciones con Vectores y Matrices: Algebra Lineal - Prof. 10214 y más Apuntes en PDF de Matemáticas solo en Docsity!
TEMA 1 : ESPACIO VECTORIAL
Definición de cuerpo: Supongamos un conjunto K. K es un cuerpo si en el se han definido 2 operaciones internas:
- Una, la suma que le da la estructura de grupo abeliano: la suma tiene las siguientes propiedades:
- Asociativa: (a+b)+c=a+(b+c)
- Elemento neutro 0: a+0=0+a
- Elemento opuesto: "a " K " (−a) a+(−a)=(−a)+a=
- Conmutativa: a+b=b+a Y otra segunda a la que llamaremos producto que le da estructura de grupo cumpliendo las siguientes propiedades:
- Asociativa: (ab)c=a(bc)
- Elemento neutro 1: a1=1a=a
- Elemento inverso: "a /=0 " a−1 a−1*a=
- Se verifica además la propiedad distributiva del producto respecto de la suma. Definición de espacio vectorial: Sea V un conjunto cuyos elementos llamaremos vectores y K un cuerpo. Diremos que V tiene una estructura de Espacio Vectorial sobre el cuerpo si: En V hay definida una ley de composición interna a la que llamaremos suma que le da estructura de grupo abeliano. Esa operación es:
(V, +)
− asociativa (a +b) + c = a + (b+c) − elemento neutro 0: a+0=0+a=a " a " V − elemento opuesto "a"V " −a a+(−a)=(−a)+a= − conmutativa : a+b=b+a "a,b Hay una ley de composición externa de elementos del cuerpo K por vectores cuyos resultados son vectores a la que llamaremos multiplicación de nº por vectores.
K*VV
( ,a) a
- Distributiva de vectores (a+b)= a+ b
- Distributiva de números: ( + )a= a+ a
- Asociativa de números por vectores: ( )a= ( a) " , " K
- Elemento neutro: 1a=a "a,b "K Ejemplos: V2 vector libre V3 vector libre R2={(a1,a2) / ai " R} R3= { (a1,a2,a3) /ai " R } Rn={(a1,a2....an)/ai" R} (a1,a2...an)+(b1,b2...bn)=(a1+b1,a2+b2...an+bn) (a1,a2...an)=( a1, a2... an) mn (aij)+(bij)=(aij+bij) (aij)= (aij) P1 (x) = { a0+a1 x/ ai " R} Pn (x)= { a0+a1x+a2x2...+anxn/ai" R} FR (x) (f+g) (x)= f(x) + g(x) ( f) (x)= f(x) Ejercicios: Demostrar que el conjunto R3 (a1,a2,a3) con las operaciones ordinarias es espacio vectorial: (a1,a2,a3)+(b1,b2,b3)=(a1+b1,a2+b2,a3+b3) Suma: −Asociativa [(a1,a2,a3)+(b1,b2 ,b3)]+(c1,c2,c3 )=(a1,a2,a3)+[(b1,b2,b3)+(c1,c2,c3)] Primer miembro = (a1+b1,a2+b2,a3+b3)+(c1,c2,c3)=(a1+b1)+c1,(a2+b2)+c2,(a3+b3)+c Segundo miembro = (b1+c1,c2+b2,b3+c3)+(a1,a2,a3)=a1+(b1+c1),a2+(b2+c2),a3+(b3+c3) −Elemento neutro (0,0,0) (a1,a2,a3)+(0,0,0)=(0,0,0)+(a1,a2,a3)=(a1+0,a2+0,a3+0)=(a1,a2,a3)
vectorial. −Distributiva de vectores [(a1,a2)+(b1,b2)]= (a1,a2)+ (b1,b2) Primer miembro: (a1+b1,a2+b2)=( (a1+b1)2, (a2+b2))=( a12+ b12+ a1b1, a2+ b2) Segundo miembro: ( a12, a2)+( b12, b2)=( a12+ b12, a2+ b2) Los dos miembros son distintos. No es espacio vectorial. −Distributiva de números ( + )(a1,a2)= (a1,a2)+ (a1,a2) Primer miembro: (( + )a12,( + )a2)=( a12+ a12, a2+ a2= Segundo miembro: ( a12, a2)+( a12, a2)=( a12+ a12, a2+ a2) −Asociativa de escalares por vectores: ( )(a1,a2)= ( (a1,a2)) Primer miembro: (( )a12,( )a2)=( a12, a2) Segundo miembro: ( a12, a2)=( ( a12)2, ( a2))=( a4, a2) −Elemento neutro: 1(a1,a2)=(a1,a2) (1a12,1a2)=(a12,a2) Ejercicio: En !2 definimos:
- (a1,a2)+(b1,b2)=(a1+b1,a2+b2)
(a1,a2)=( a1, a2)
- (a1,a2)+(b1,b2)=(a1+b1+1,a2+b2) (a1,a2)=( a1, a2) ¿!2 con éstas operaciones tiene estructura de espacio vectorial?
- No será espacio vectorial en las propiedades de distributiva respecto de escalares. No será espacio vectorial en las propiedades del producto: distributiva respecto de vectores, escalares, elemento neutro.
Propiedades Axiomas de la definición:
- 0*v = 0
- a*0v=
- K(−vv)=−kvv
- (−k)vv=−kvv
- k(vv−wv)=kvv−kwv
- (k−t)vv=kvv−tvv Demostración
- k+0=k vv(k+0)=kvv kvv+0vv=kvv 0vv=kvv−kvv=0v
- vv+(−v)=0v k[(vv+(−vv)]=k0v kvv+k(−vv)=k0v kvv+kvv=0 k(−vv)=−kvv Combinaciones lineales: Sumas de productos de escalares por vectores: vv1+ vv2........... pvvp=" ivvi Ejemplos: 2(−1,4)+6(3,2)−(−1,6) 3 −1 4 3 1 6 24 2 42 6 0 2 0 0 1 18 0 11 2(1+x2)+3(2−x+x2)−(−3+x2) Las combinaciones lineales de vectores son vectores. Dependencia e independencia lineal: Definición: Los vectores v1,v2.......vp son linealmente independientes o que forman un sistema libre de vectores si la única combinación lineal de ellos que vale el vector 0v es aquella en la que todos los coeficientes son 0.
(A)=2inf. sol. sol"sol. triv. l.i. x+2y=−4z −x+y=z 3y=−3z solución (z= ) y= − x=− z= "!
a(1+x2)+b(1−x2)+c(1+2x−2x2)=0p=(0+0x+0x2) a+b+c+(3c)x+(a−b−2c)x2=0p
- polinomios iguales mismos coeficientes a+b+c=0 1 1 1 0 3c=0 0 0 3 0 A =6"0 (A)= a+b−2c=0 1 −1 −2 0 menor de orden 2 " 0 rango de los polinomios por lo menos 2. x=y=z= l. i.
x+ ex+ e−x= 2 funciones asocian a cualquier número real el mismo valor en ambas x=1 + e+ (1/e)= x=0 + =
x=2 2 + e2+ *(1/e2)= Determinante de la matriz de los coeficientes " 0 independiente 1 e 1/e 0 1 1 =(1/e2) + 2e − (2/e) − e2" 2 e2 1/e Sabiendo que vv1, vv2, vv3 son l. i. Averiguar si w1, w2, w3, son l. i. o l. d.
- { wV1, wv2, wv3} / wv1=vv1+2vv2−vv wv2=−vv1+vv2+2vv wv3=2vv1 +vv xwv1+ywv2+zwv3=0v x(vv1+2vv2−vv3)+y(−vv1+vv2+2vv3)+z(2vv1 +vv3)=0v (x−y+2z)vv1+(2x+y )vv2+(−x+2y+z)vv3=0v vv1, vv2, vv3, son l. i. luego necesariamente tienen que ser 0 sus coeficientes: x−y+2z=0 x−y+2z=0 x−y+2z=0 z=y=x=0 l. i. 2x+y =0 3y−4z=0 3y−4z= −x+2y+z=0 y+3z=0 13z= b) {wv1, wv2, wv3} / wv1=vv1−vv2+vv wv2=2vv1+2vv2−vv wv3=4vv1+vv xwv1+ywv2+zwv3=0v x(vv1−vv2+vv3)+y(2vv1+2vv2−vv3)+z(4vv1+vv2 )=0v (x+2y+4z)vv1+(−x+2y+z)vv2+(−x−y)vv3=0v x+2y+4z=0 x+2y+4z=0 x+2y+4z=0 y=z=x=0 l. i. −x+2y+z=0 4y+z=0 4y+z= x−y =0 3y=0 y= Propiedades de la dependencia lineal.
(1,2,k)=x1(2,−1,3)+x2(1,1,−1) 2x1+x2=1 2 1 1 −x1+x2=2 −1 1 2 (A)=2 luego (A/b)= 3x1−x2=k 3 −1 k A/b = 2k+6+1−3+4k= 3k+8= k=−8/ 2 1 1 0 3 5 0 −5 2k− 2 1 1 6k+16= 0 3 5 k=−16/6 : k= −8/ 0 0 6k−9+ Sistemas de generadores: Generadores: Los vectores vv1, vv2,...vvn son un sistema de generadores del espacio vectorial V si todo vector de V se puede expresar como combinación lineal de ellos: {vv1, vv2,....vvn} s. g. de V!"xv"" xv= vv1+ vv2..... nvvn Ejercicio: Indicar si los conjuntos siguientes de vectores son generadores:
- {(1,−1)(2,3)} en!
- {(−1,1)(1,3)(2,−1)} en!
- {(1,1,−1)(1,0,1)(0,1,1)} en!
- {(1,1,2)(−1,1,3)((1,3,1)} en!
- {1+x2,1+x2,1+x+x2} en !2(x) 1 1 −1 0 1 1 0 1 1 1 −1 0 en x 1 1 0 1 0 0 1 0 0 0 1 0 1 1 0 1 en M2x
- Sea un vector cualquiera del espacio y le expresamos como combinación lineal de los vectores: (a1,a2)=x1(1,−1)+x2(2,3) x1+2x2=a1 1 2 a1 comp. det. " que sea a1,a −x+3x2=a2 −1 3 a2 (A)=2 (A/b)= Sol: " que sea a1,a2 serán generador Todo vector del espacio vectorial se puede si únicamente tiene solución para al− expresar de forma única como expresión de gunos valores de a1, a2 no serán gene− los dos generadores radores.
- (a1,a2)=x1(−1,1)+x2(1,3)+x3(2,−1) −x1+x2+2x3=a1 −1 1 2 a1 (A) (A/b)=2 x1+3x2−x3=a2 1 3 −1 a2 Comp. indet. <incog " vector se puede expresar de infinitas formas como combinación lineal de esos 3 Generadores c) d) (a1,a2,a3)=x1(1,1,2)+x2(−1,1,3)+x3(1,3,1) x1−x2+x3=a1 1 −1 1 a x1+x2+3x3=a2 1 1 3 a 2x1−3x2+x3=a3 2 −3 1 a ¿A?
- − 1 1 "0 =2 por lo menos A = 1−6−3−2+9+1= (a)= Sistema debe de tener solución (A/b) también tiene que ser 2 1 −1 a
2x1+3x2+x3=0 x3=0 (nos queda el mismo sistema igualado a 0) B)
- Generadores x1(1,−1,1)+x2(1,1,2)+x3(2,0,3)=(a1,a2,a3) x1+x2+2x3=a1 1 1 2 a1 (A)>= 2 −x1+x2 =a2 1 1 0 a2 A =0 (A)= x1+2x2+3x3=a3 1 2 3 a Para que sea compatible (A/b)= 1 1 a1 a3+a2−2a1−a1−2a2+a3= 1 1 a2 = 1 2 a No son generadores No son base. Todos los vectores tienen que cumplir esa condición y no todos la cumplen. C)
- Generadores (a0+a1x+a2x2)= (1+x2)+ (−1+x+x2)+ (x+2x2) − =a0 1 −1 0 a
- =a1 0 1 1 a1 (A)=
- +2 =a2 1 2 2 a (A/b) debe ser 2 1 −1 a0 Unicamente son combinación lineal aquellos cuyos 0 1 a1 coeficientes cumplen esta condición. No son gen. No son Base 1 1 a D) E)
a b 1 −1 1 1 0 1 c d 1 0 1 3 1 − x+y =a x+y =a x+y =a x+y =a −x+y+z=b 2y+z=a+b 2y+z=a+b 2y+z=a+b x+y+z=c z=c−a z=c−a z=c−a 3y−z=d 3y−z=d −5z=2d−3a−3b 0=−8a−3b+5c+2d para que el sistema tenga solución se tiene que cumplir la última ecuación. Únicamente son combinaciones lineales de esos tres elementos cumplan esa igualdad. No todas las matrices cumplen esa condición. No son generadores. No son base. F)
- generadores a1,a2,a3)=x1(1,1,0)+x2(0,1,0)+x3(−1,1,1)+x4(0,2,1) x1 −x3 =a1 1 0 −1 0 a x1+x2+x3+2x4=a2 1 1 1 2 a2 (A)= x3+x3=a3 0 0 1 1 a (A/b) no puede tener − que 3 filas (A/b)=3 Sistema compatible indeterminado porque el (A/b)<x con infinitas soluciones deopendientes de un parámentro. Todo vector se puede formar de infinitas formas como combinación de esos 4. Son generadores.
- Independientes: (0,0,0)=x1(1,1,0)+x2(0,1,0)+x3(−1,1,1)+x4(0,2,1) Son independientes y Son BASE Un espacio vectorial puede tener más de una base. ¿Qué relación existe entre las distintas bases de un espacio vectorial? Teorema de la Base Todas las bases de un espacio vectorial tiene el mismo número de vectores. Demostración Hay dos tipos de bases: Generación finita: Aquellos que están engendrados por un número finito de vectores. Tiene un sistema de
Si xv es un vector cualquiera x es c.l. de los vectores de la base B={uv1,uv2,........uvn} entonces el uv1 puede ser sustituido por un c.l. de los vectores de vv1,uv1.......uvn. xv=c.l. {uv1{vv1,uv2...uvn},uv2.....uvn} vv2 también será c.l. de H2={vv1,vv2,uv3,uv4.....uvn} Son un sistema de generadores del espacio. Sustituyes uv1 por vv1 etc... Iterando el proceso n veces el conjunto H es un sistema de generadores y como eran independientes forman base. P.3. Si un espacio vectorial " posee una base formada por n vectores en ese espacio vectorial no puede haber más de n vectores independientes.
- si B={uv1,uv2..........uvn} base de " y H={vv1,vv2..........vvp} independientes !n"p Si p>n contradicciónp>n y los vectores de H son independientes los n primeros seguirán siendo independientes. {vv1,vv2....vvn}l.i. resto {vvn+1,vvn+2.....vvp} c.l. por la propiedad 2 Contradicción 1−p son independientes p>n 1−n son independientes n−p c.l. dependientes. P.4. Teorema de la Base. Todas las bases de un espacio vectorial tienen el mismo número de vectores. Supongamos de bases de " B={uv1,uv2..........uvn} Base de " B´={vv1,vv2..........vvp}Base de " n=p En primer lugar: p"n B´ es base y B al ser base son independientes. Por P.3. el número de vectores independientes es menor o igual que el número de vectores independientes de la otra base. p=n Dimensión: Llamaremos Dim. de un espacio vectorial al número de vectores que tienen sus bases.
!2 2 Dim. 2 vectores. Bases Canónicas. !2{(1,0)(0,1)} !3{(1,0,0),(0,1,0)(0,0,1)} !n{(1,0,0,......0),(0,1,0,.........0),(0,0,1,.............0),...........(0,0,0,.............1)} 1 0 ..........0 0 1 .............0 0 0 ................. 0 0 ..........0 0 0 .............0 0 0 ................. ..................... ....................... ........................... M2x 0 0 ...........0 0 0 0 0 0 1 !n(x) n+1 dim {1,x,x2............xn} Consecuencias prácticas: La Dim de " es el número de vectores que tienen sus bases. La Dim es el número máximo de vectores independiente que tiene ese espacio. La Dim es el número mínimo de vectores que se necesita para engendrar ese espacio. Si conocemos la Dim de un espacio vectorial para demostrar que un conjunto de vectores es una base de ese espacio bastará con comprobar que su número coincide con la Çdim y comprobar si es generador o independiente. Ejemplo: Sea " un espacio vectorial y en el una base formada por ev1,ev2,ev3. Sean H1,H2 y H3 los siguientes conjuntos: B={ ev1,ev2,ev3} H1={uv1,uv2,uv3} uv1= ev1+ ev2 / uv2= ev1+ ev3 / uv3= uv2+uv H2={vv1,vv2} vv1= ev1−ev2 / vv2= ev1+ev2+ev H3={wv1,wv2,wv3,wv4} wv1= ev1+ev2+ev3 / wv2= ev1− ev3 / wv3=2ev1− ev2 / wv4= −ev1−ev2−ev Estudiar si son base de ese espacio: H2 no es base porque el espacio es de tres dimensiones y H2 tiene 2 vectores nada más. Número mínimo 3 H3 no es una base porque el espacio es de tres dimensiones y H3 tiene 4 vectores pueden ser generadores nº mínimo 3 pero no son independientes nº máximo 3.
3/2= y + z 9/2= 2z x=−1+(6/4)=2/4=1/
- Demostrar que los polinomios siguientes forman Base del espacio de los polinomios de grado menor igual que 3. {1,x−1,(x−1)2,(x−1)3} Dim !3(x)=4hay 4 polinomios por lo que bastará con ver que son independientes. 1+ (x−1)+ (x−1)2+ (x−1)3 = Desarrollar; ordenar en potencias, igualar coeficientes en ambos miembrros. x=1; si sustituyo: +2 (x−1)+3 (x−1)2=0 He derivado x= 2 +32 (x−1)=0 He vuelto a derivar x=1 2 = 3*2 = = Son Base porque todos son 0 − Ejercicio de septiembre del 99 Sea " en espacio vectorial sobre! y B={uv1,uv2,uv3} una base de ". Probar que B´={vv1,vv2,vv3} es otra base si : vv1= uv vv2= −uv1+uv vv3= uv1−uv2+uv Hay que ver si son independientes: vv1+ vv2+ vv3= Se sustituye: uv1+ (−uv1+uv2)+ (uv1−uv2+uv3)=0v ( − + )uv1+( − )uv2+ uv3=0v
Hallar las coordenadas de los vectores de B respecto de los vectores de B´. vv1+ vv2+ vv3=uv uv1+ (−uv1+uv2)+ (uv1−uv2+uv3)=uv ( − + )uv1+( + )uv2+ uv3=uv − + =1 = − =0 = =0 = Se hace lo mismo pero igualando a uv2 y queda: − + =0 = − =1 = =0 = Se hace lo mismo pero igualando a uv3 y queda: − + =0 = − =0 = =1 = 1 + n {1+xn,x+xn,x2+xn,...........xn−1+xn,xn+xn} Demostrar que estos polinomios son una base de !n(x): Hay que probar que son independientes: a0 (1+xn)+a1(x+xn)+................an−1(xn−1+xn)+an(xn+xn)=0! a0= a1= ........
