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El libro Matemáticas orientadas a las enseñanzas académicas para 4. o^ curso de ESO es una obra colectiva concebida, diseñada y creada en el Departamento de Ediciones Educativas de Santillana Educación, S. L., dirigido por Teresa Grence Ruiz. En su elaboración ha participado el siguiente equipo: José Carlos Gámez Pérez Ana María Gaztelu Villoria Fernando Loysele Susmozas Silvia Marín García Carlos Pérez Saavedra Domingo Sánchez Figueroa EDICIÓN José Antonio Almodóvar Herráiz Silvia Marín García Virgilio Nieto Barrera Laura Sánchez Fernández EDITOR EJECUTIVO Carlos Pérez Saavedra DIRECCIÓN DEL PROYECTO Domingo Sánchez Figueroa
Las actividades de este libro no deben ser realizadas en ningún caso en el propio libro. Las tablas, esquemas y otros recursos que se incluyen son modelos para que el alumno los traslade a su cuaderno.
SERIE RESUELVE
Matemáticas
Enseñanzas académicas ESO
UNIDAD SABER SABER HACER
1 Números reales. Porcentajes
6
- Números racionales 8
- Números irracionales 9
- Números reales 10
- Aproximación de números reales 12
- Errores de aproximación 13
- Intervalos 14
- Porcentajes 16
- Interés simple 18
- Interés compuesto 19
- Hallar los conjuntos numéricos a los que pertenece un número
- Calcular la unión y la intersección de intervalos
- Resolver problemas de porcentajes encadenados
- Representar una raíz cuadrada aplicando el teorema de Pitágoras sucesivas veces
- Calcular la cantidad inicial sabiendo los intereses producidos
(^2) Potencias y radicales. Logaritmos
28
- Potencias de exponente entero 30
- Radicales 32
- Potencias de exponente fraccionario 33
- Operaciones con radicales 34
- Racionalización 38
- Notación científica 40
- Logaritmos 41
- Propiedades de los logaritmos 42
- Extraer factores de un radical
- Realizar operaciones combinadas con radicales
- Racionalizar
- Resolver ecuaciones logarítmicas
- Simplificar radicales y potencias de exponente fraccionario
- Sumar y restar en notación científica
- Multiplicar y dividir en notación científica
- Resolver problemas de interés compuesto utilizando logaritmos
(^3) Polinomios y fracciones algebraicas
52
- Polinomios 54
- Potencia de un polinomio 56
- Igualdades notables 57
- División de polinomios 58
- Teorema del resto 60
- Raíces de un polinomio 61
- Factorización de polinomios 62
- Fracciones algebraicas 64
- Extraer factor común en un polinomio
- Dividir un polinomio entre ( x - a ) mediante la regla de Ruffini
- Factorizar un polinomio
- Resolver operaciones con fracciones algebraicas
- Calcular un polinomio conocidas sus raíces y su coeficiente principal
(^4) Ecuaciones e inecuaciones
72
- Ecuaciones 74
- Ecuaciones de primer y segundo grado 75
- Otros tipos de ecuaciones 77
- Inecuaciones 82
- Resolver una ecuación bicuadrada
- Resolver una ecuación mediante factorización
- Resolver ecuaciones racionales
- Resolver ecuaciones con radicales
- Resolver inecuaciones de segundo grado
- Resolver ecuaciones del tipo ax^2 n^ + bx n^ + c = 0
- Resolver inecuaciones de grado mayor que 1
5 Sistemas de ecuaciones e inecuaciones
92
- Sistemas de ecuaciones lineales 94
- Resolución de sistemas de ecuaciones 96
- Sistemas de ecuaciones no lineales 98
- Sistemas de inecuaciones con una incógnita 100
- Sistemas de inecuaciones con dos incógnitas 102 - Determinar gráficamente el número de soluciones de un sistema de ecuaciones - Resolver un sistema de ecuaciones lineales - Resolver sistemas de ecuaciones no lineales - Resolver sistemas de inecuaciones con una incógnita - Resolver sistemas de inecuaciones con dos incógnitas - Resolver sistemas de ecuaciones en función de un parámetro - Resolver un sistema de ecuaciones compatible indeterminado - Resolver sistemas de ecuaciones no lineales por el método de reducción
(^6) Áreas y volúmenes. Semejanza
112
- Perímetro y área de figuras planas 114
- Área de cuerpos geométricos 118
- Volumen de cuerpos geométricos 122
- Semejanza 124
- Semejanza en áreas y volúmenes 125
- Calcular el área de polígonos
- Calcular el área de figuras planas
- Calcular el área de un poliedro
- Calcular el área de un cuerpo de revolución
- Calcular el volumen de un cuerpo geométrico
- Calcula el área de un triángulo cualquiera conociendo sus lados
- Calcular el área de un trapecio circular
- Calcular el área y el volumen de un tronco de pirámide
- Calcular el área y el volumen de un tronco de cono
7 Trigonometría
134
- Medidas de un ángulo agudo 136
- Razones trigonométricas de un ángulo agudo 137
- Relaciones entre las razones trigonométricas 138
- Razones trigonométricas de 30°, 45° y 60° 140
- Razones trigonométricas de un ángulo cualquiera 141
- Signo de las razones trigonométricas 142
- Relaciones entre las razones trigonométricas de ciertos ángulos 144
- Resolución de triángulos rectángulos 146
- Calcular todas las razones trigonométricas de un ángulo agudo conocida una de ellas
- Reducir ángulos al primer cuadrante
- Resolver problemas mediante trigonometría
- Calcular el área de un triángulo conocidos dos ángulos y un lado
- Calcular el área de un triángulo conocidos dos lados y el ángulo que forman
- Calcular el área de un polígono regular
- Determinar longitudes mediante el método de la doble tangente
Índice
Introducción a la unidad: dos elementos básicos, una base sólida y una motivación adecuada.
Páginas de contenidos: SABER y SABER HACER como un todo integrado.
Se especifican los contenidos ( Saber ) y los procedimientos ( Saber hacer ) de la unidad.
Esquema de la unidad
La estructura de las unidades didácticas es muy sencilla, ya que se trata de facilitar la localización de los contenidos fundamentales, de los ejemplos resueltos y de las actividades propuestas. A lo largo de toda la unidad marcamos con iconos aquellos contenidos o actividades en los que se trabajan de manera particular las competencias básicas.
Competencia matemática, científica y tecnológica Comunicación lingüística
Competencia social y cívica Competencia digital
Conciencia y expresión cultural Aprender a aprender
Iniciativa y emprendimiento
(^1863) Se crean lasprimeras máquinas remolcadoras,propulsadascon vapor.
Distinguir entre identidad y ecuación Una igualdad algebraica está formada por dos expresionesalgebraicas separadas por el signo igual ( = ). Las igualdades algebraicas son de dos tipos: • Identidad: es cierta para cualquier valor de las letras.
- EJEMPLO Ecuación: no es cierta para todos los valores de las letras. 5( Damos valores a x + 1) = 7 x - (^) x (^2) y comprobamos si obtenemos una igualdad numérica. x + 5 5(5( x x ++ 1)1) = = 7 7 xx - - 22 x x + + 5 5 xx^ ==^1 " (^0) " 5(1 5(0 ++ 1)1) = = 7 7?? 10 - - 2 2?? 10 + + 5 5 " " (^105) = = 5 10 5(Si damos más valores a x + 1) = 7 x - 2 x + (^5) x , la igualdad se sigue cumpliendo; por tanto, x^ =^2 " 5(2 + 1) = 7? 2 - 2? 2 + 5 " 15 = 15 es una identidad. 2 x - 7 = - 4 x + 11 22 xx - - 7 7 = = - - 44 xx + + 11 11 xx^ ==^3 " (^0) " 2 2?? 30 - - 7 7 = = - - 44?? 30 ++ 11 11 "" - - 17 =! - 111 Existe al menos un valor,por tanto, es una ecuación. x = 0, para el cual la igualdad no es cierta; ACTIVIDADES 1 Indica si estas igualdades son identidades o ecuaciones. a)b) 6( - x 6( (^) - x - 1) 2) = + 4( (^5) x (^) - = (^) 2)- 2(3- x 3( - - (^) x 3) - + 5) 11 Construir intervalos en la recta real Cada intervalo viene determinado por sus extremos. Si el extremo pertenece al intervalo, se indica con un corchete. F F El extremo no pertenece al intervalo.^ AbiertoF a El extremo pertenece al intervalo. b F^ Cerrado
( a , b ] ( EJEMPLO a , b ] " Los números mayores que a y menores o iguales que b. ( [ - - 2, 3)2, 3) " " Todos los números mayores queTodos los números mayores o iguales que - 2 y menores que 3. - 2 y menores que 3. [ - 2, 3] (^) " Todos los números mayores o iguales queo iguales que 3. - 2 y menores ACTIVIDADES 2 Busca tres números que pertenezcan a estos intervalos. a) [4, 6] b) (-7, - 5) c) (- 3 , - 5] d) [8, 9)
CLAVES PARA EMPEZAR
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(^4) Aproximación de números reales Aproximar con menos cifras decimales. El valor de la aproximación puede ser tancercano al número como queramos. un número decimal consiste en sustituirlo por otro número Decimos que una aproximación se realiza porción es mayor que el número original, y decimos que se realiza por fecto si la aproximación es menor que él. exceso si la aproxima- de- Eltodas las cifras a partir de un orden establecido. truncamiento es una aproximación que consiste en eliminar EJEMPLO4. Aproxima a las centésimas por el método de truncamiento y determina si la aproximación que has hecho es por exceso o por defecto.a) 13,2754 " Truncamiento: 13,27 " Aproximación por defecto b) c) - 21,4785 2 = 1,414213… " (^) " Truncamiento: Truncamiento: 1,41 - 21,47 "" Aproximación por exceso Aproximación por defecto Ellas cifras a partir de un cierto orden, aumentando una unidada la última cifra si la primera eliminada es mayor o igual que 5. redondeo es una aproximación que consiste en eliminar EJEMPLO5. Aproxima estos números a las décimas mediante truncamiento y redondeo. ¿En qué casos coinciden los resultados?a) 57,423 (^) " Truncamiento: 57,4 Redondeo: 57, b) 3,578 c) - 2,357 "" Truncamiento: 3,5Truncamiento: - 2,3 Redondeo: 3,6Redondeo: - 2, d) 9,971 e) 3 = (^) 1,7320508… "" Truncamiento: 9,9Truncamiento: 1,7 Redondeo: 10,0Redondeo: 1, El truncamiento y el redondeo coinciden cuando la primera cifraeliminada es menor que 5. ACTIVIDADES (^12) PRACTICA. Con ayuda de la calculadora, escribe 8 en forma decimal y sus aproximaciones,por redondeo y por truncamiento, a las milésimas. ¿Son aproximaciones por exceso o por defecto?
(^13) APLICA. exceso y por defecto con dos cifras decimales. Aproxima 0,121212…; 5,23888… y 119 por (^14) REFLEXIONA. Redondea 1 9,^!^ a las centésimas.
Aproximar números decimalesresulta útil a la hora desimplificar los datos para realizar algunos cálculos.
¿Es el truncamiento siempre^ RESUELVE EL RETO una aproximación pordefecto? ¿Y el redondeo?
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Halla el volumen del cofre.^ Calcular el volumen de un cuerpo geométrico
Pasos a seguir
1. Descomponemos la figura en otrasmás sencillas cuyos volúmenessabemos calcular. La figura está formada por un ortoedro y medio cilindro. 2. Hallamos el volumen de cada una Ortoedro^ Cilindro de las figuras.^ V V Como hay que calcular la mitad:Ortoedro (^) Cilindro^ ==^ r Ar h Base 2?^ h^ =^ (10^?^ 5)^?^4 =^ 200 dm^3 V Medio cilindro = r r h^ 22 = = r?^ 2 5,^2 2?^10 = 98 17,dm^3 3. El volumen total de la figuracompuesta es la suma de los volúmenes de las figuras quela componen.
V = 200 + 98,17 = 298,17 dm^3 = 0,29817 m^3
SABER HACER Unidad principal de:
- Superficie • Volumen " " mm 3 2 Para transformar unidades de:• Superficie " Potencias de 100
- Volumen " Potencias de 1 000
ACTIVIDADES 25 Halla el volumen del cuerpo geométrico.
26 Determina el volumen del siguiente cuerpo.
27 Calcula el volumen de este cuerpo.
28 Halla el volumen del cuerpo geométrico.
4 dm 10 dm 5 dm 10 dm^ 2,5 dm
4 dm 10 dm 5 dm
3,91 cm
5 cm
5 cm 4 cm
4 cm 5 cm
2,5 cm 6 cm
F
9 cm^ 5 cm
4 cm 2 cm 2 cm 123
Áreas y volúmenes. Semejanza 6
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Comenzamos la unidad en torno a la historia, utilidades y curiosidades de algún invento.
Las Claves para empezar te permitirán recordar aquellos contenidos que te serán útiles para la unidad.
Nuestra propuesta para Saber son unos textos claros y estructurados. Los Ejemplos te ayudarán a afianzar esos saberes.
Junto a los textos encontrarás informaciones complementarias. Además, en Resuelve el reto pondremos a prueba tus conocimientos y tu razonamiento matemático.
Las actividades te ayudarán a practicar, aplicar y reflexionar sobre los conocimientos. Las actividades que acompañan a Saber hacer tienen como objetivo afianzar y dominar estos procedimientos.
En la parte Saber hacer aprenderás, paso a paso, los procedimientos necesarios para tu desarrollo matemático.
El tractor El tractor es un tipo de vehículo que ayuda a los agricultores en su trabajo,reduciendo considerablementesu esfuerzo físico y aumentando su productividad. • Si un terreno tiene forma cuadrada y un área de 125 mtiene?^2 , ¿qué medidas
VIDA COTIDIANA
Ecuaciones e inecuaciones^4 SABER • Ecuaciones de primer y segundo
- Ecuaciones bicuadradas, con^ grado
- Inecuaciones de primer y segundo^ radicales y fracciones algebraicas grado con una incógnita SABER HACER • Resolver ecuaciones bicuadradas, racionales, con radicales y mediantefactorización
- Resolver inecuaciones con una incógnita
(^1912) Nacen los primeros tractores con motor de gasolina.Mucho más fuertes y baratos. (^1940) Se emplean por primeravez los neumáticos (^2000) Aparecen tractores con motor eléctrico. de goma.
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La Vida cotidiana te propone un ejercicio sencillo, relacionado con la imagen de entrada.
Páginas de actividades finales: una forma práctica de aprender a aprender.
Páginas de competencia matemática: un paso más en la aplicación de los contenidos aprendidos.
En la vida cotidiana es una actividad relacionada con el invento inicial, donde podrás trabajar con algunos contenidos de la unidad.
Con las Formas de pensar pondremos a prueba tu razonamiento matemático.
ACTIVIDADES FINALES
60 Calcular el área de un trapecio circular (^) Halla el área del trapecio circular. 3 cm 2 cm60° primero mayor y ángulo dado.. Se halla el área del sector circular de radio A = r R 360 2 a^ = r^?^3603 2?^60 = 4 71,cm^2 segundo menor y ángulo dado.. Se halla el área del sector circular de radio A = 360 r r^2 a = r^?^3602 2?^60 = 2 10,cm^2 tercero entre el área del sector circular mayor y la del menor.. El área del trapecio circular es la diferencia A =4 71 , - 2 10 , = 2 61,cm^2
SABER HACER
61 Determina el área de estos trapecios circulares. a) 4 cm^ 7 cm42° c) 8 cm5 cm^ 68° b) 2 cm 1 cm33°
d) 7 cm 5 cm22° (^62) Calcula el área de esta figura. 2 cm 2 cm 1 cm
Área de cuerpos geométricos (^63) Dados los siguientes desarrollos planos, halla su área y el tipo de cuerpo geométrico que representan. a) 8 cm 4 cm
F2,75 cm
b) 7 cm 1,04 cm F 1 cm
64 Calcula el área de los siguientes prismas. a) 7 cm4 cm b) 6 cm 2 cm 65 Halla el área de estos prismas. a) Prisma de altura 2 cm y base cuadrada de lado 3 cm. b) Prisma cuya base es un hexágono regular de lado4 cm y altura 8 cm. c) Prisma con una altura de 1 cm, de base pentagonalregular de lado 1 cm y apotema 0,69 cm. d) Prisma de 3 cm de altura y base hexagonal regularde lado 2 cm. 66 Determina el lado de un cubo sabiendo que el áreatotal de este cuerpo geométrico vale 150 m (^2). 67 Determina el área de estas pirámides. a) 4 cm F6 cm b) 5 cm 3,11 cm3 cm
F 128 ES0000000044477 751663_U06_p122_133_44035.indd 128 29/03/2016 9:35:
83 Determina el área y el volumen de estos troncos de cono. a) 6 cm
F4 cm F
b) 3 cm
F1 cm F 84 Calcula el volumen y el área de un tronco de conocuyos radios miden 5 y 3 cm y su generatriz 2,9 cm. Semejanza 85 Tenemos un ortoedro de dimensiones 3, 4 y 5 cm.Si construimos un ortoedro semejante al anterior con 86 razón de semejanza 0,5, ¿cuánto valdrá su volumen?El área lateral de un cilindro mide 75,40 cm 2. Calcula el radio del cilindro sabiendo que su altura es de 4 cm.Determina el volumen de otro cilindro semejante 87 a él con razón de semejanza 0,25.Halla el área de una pirámide regular de base hexagonal de altura 8 cm y arista básica 3 cm. Hallael área de una pirámide semejante con razón 88 de semejanza 2.El área total de un cono es de 94,25 cm (^2). ¿Cuál es su generatriz si su radio mide 3 cm? ¿Cuál es sualtura? Si el área total de un cono semejante mide 23,56 cm^2 , ¿cuánto vale la razón de semejanza?
Áreas y volúmenes. Semejanza 6
Área de figuras planas 1 Calcula el área de estas figuras. a) b) 4 cm 6 cm Área de cuerpos geométricos y de revolución 2 Obtén el área de los siguientes cuerpos. a) Cilindro de radio 7 km y altura 4 km.b) Cono de radio 12 cm y altura 9 cm.
3 Halla el área de estas figuras. a) Prisma de altura 6 m y base un triángulo b) Pirámide de base un hexágono regular de ladorectángulo cuyos catetos miden 3 y 4 m. 3 cm y de altura 8 cm. Volúmenes 4 Calcula el volumen de esta figura.
1,38 cm F 2 cm5 cm 9 cm12 cm F^ F Semejanza 5 Calcula el área y el volumen de una esfera de radio 3 cm. Si se construye otra esferasemejante cuya razón de semejanza sea 1,5, ¿cuánto medirá su área y su volumen?
DEBES SABER HACER 3 cm 2 cm2 cm 3 cm2,24 cm
Problemas con áreas y volúmenes (^89) Un ascensor con forma de ortoedro de base cuadrangular de 1,2 m de lado tiene un volumen de3,6 m (^3). ¿Entrará Rubén en el ascensor si mide 1,85 m? 90 María va a envolver un regalo para el cumpleañosde su madre. La caja es un ortoedro de dimensiones 1,5rectangular de medidas 1 # 2 # 2,5 dm. Para ello, compra un rollo de papel # 2 m. Determina si tendrá 91 papel suficiente para envolver el regalo.En un supermercado se venden tarros de mermelada de forma cilíndrica de 4 cm de radio de la basey 8 cm de altura. La empresa que los fabrica decide cambiar el tipo de tarro manteniendo el precio.Los nuevos tarros tienen forma de prisma cuadrangular de lado de la base 4 cm y altura 8 cm.¿Con qué tipo de tarro sale más cara la mermelada? 92 Busca los radios de los siguientes planetas y calcula suárea y su volumen suponiendo que son esferas. 93 Luis va a cocinar judías. Utiliza un recipiente cilíndrico^ a) La Tierra^ b) Venus^ c) Saturno de diámetro 25 cm para dejarlas en remojo. El aguatiene una altura de 7 cm y, al echarlas, sube hasta 94 los 13 cm. ¿Qué volumen de judías va a cocinar?Una pajita tiene entre 2 y 3 mm de diámetro. Si su longitud oscila entre 8 y 10 cm, ¿entre qué valoresse encuentra el volumen de líquido que cabe dentro?
1 cmF^ F
5 cm 4 cm
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Nuestras Actividades finales están secuenciadas para que aproveches de la mejor forma posible la aplicación de los contenidos estudiados.
Cada actividad te informa de la dificultad que tiene.
Los Saber hacer te ayudarán a seguir profundizando en los procedimientos.
Para finalizar, Debes saber hacer. Esta autoevaluación básica te permitirá comprobar si has alcanzado los objetivos mínimos de la unidad.
Las actividades finales terminan con una gran cantidad de Problemas que te permitirán adaptar tus conocimientos a contextos reales.
En la vida cotidiana 110 Las primeras montañas rusas que se construyeron eran de madera. Una de sus característicasera que toda la vía se encontraba en un mismo plano, es decir, tan solo había subidas y bajadas. Al no dar vueltas, no tenían curvas. Este es el plano de una de las primeras, ocupaba unaextensión de 105 m de longitud y tenía tres grandes descensos.
La primera subida tenía una altura de 15 m, la segunda era justo el doble que la primera,y la tercera, 2,5 veces más alta que la segunda. a) ¿Podemos asemejar la montaña rusa con la gráfica de una función? ¿Por qué?b) ¿Cuál sería el dominio y el recorrido de la montaña rusa tomando c) ¿Cuál es su máximo absoluto? ¿Tiene máximos relativos? ¿Y mínimos?la salida como origen de coordenadas? Actualmente, las montañas rusas se construyencon acero, lo que permite realizar giros de 360º. d) ¿Se puede hacer el mismo estudio con estasmontañas rusas?
111 En una circunferencia de 5 cm de radio se inscribeun rectángulo de lado x. x a) Expresa el área en función deb) Realiza un tanteo para determinar el máximo valor x. ¿Cuál es su dominio? que puede tomar esa función. ¿Cuánto medirán loslados del rectángulo en ese caso? ¿Qué tanto por ciento de la superficie del círculo ocupa elrectángulo? 112 Representa la función y = ; x ; + ; x - 1 ;.
113 Considera los triángulos cuya superficie mide S. hb hb h a) Escribe la expresión algebraica que relaciona la base b b) ¿Cuál es la función que relaciona la altura en funciónen función de la altura en estos triángulos. c) Representa ambas funciones.de la base? 114 Una funciónes [ - 6, 3] y su recorrido es [3, 6]. f ( x ) es creciente, su dominio a) ¿Cuánto valenb) ¿Tiene máximos o mínimos relativos? f (-6) y f (3)?
Formas de pensar. Razonamiento matemático
COMPETENCIA MATEMÁTICA
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Funciones exponenciales, logarítmicas y trigonométricas 11
El sueño de las focas (^76) Una foca tiene que respirar incluso si está durmiendo dentro del agua. Martín observó una foca durante unahora. Cuando empezó a observarla, la foca estaba en la superficie tomando aire. Entonces se sumergióhasta el fondo del mar y comenzó a dormir.Desde el fondo, invirtió ocho minutos en subir lentamentea la superficie, donde tomó aire otra vez.Tres minutos despuésestaba de nuevo en el fondo del mar.Martín se percató de que esteproceso eramuy regular.
Al cabo de una hora, la foca estaba: a) En el fondo. b) Subiendo.c) Tomando aire. d) Bajando.
(Prueba PISA 2012)
OBJETIVO: Organizar un concurso escolar Una vez formados los grupos, seguid este proceso: 1.ª Fase.
- Decidid el tema sobre el que versará el concurso.• Evaluad los alumnos que pueden presentarse al concurso
- Buscad información sobre concursos similares en otros centros.^ y si es necesario establecer varios niveles de participación. 2.ª Fase. • Cread las bases que regirán la participación y la elección de los ganadores
- Proponed un jurado formado por personas que os parezcan imparciales.^ del concurso.
- Elaborad la lista de premios y su dotación. 3.ª Fase. • Redactad un documento con las bases del concurso, los premios y las personas que formarán el jurado, que servirá como base para la celebración del concurso.
- Estableced fechas para la inscripción en el concurso y la entrega de premios.
PROYECTO FINAL. Trabajo cooperativo
Pruebas PISA
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El Proyecto final te plantea objetivos que antes o después encontrarás en tu vida diaria. Con él mejorarás tus competencias para el trabajo cooperativo.
La unidad finaliza con las Pruebas PISA. Estas pruebas internacionales pretenden comprobar tu aprendizaje competencial y conviene que las conozcas.
La banca Una cuenta bancaria es un servicio que ofrecen los bancos para guardar el dinero de sus clientes. A su vez, estos pueden llevar el control de lo que tienen en cada momento.
- Si tenemos 1 440 € en el banco y este mes hemos gastado 480 € de nuestra cuenta, ¿qué parte de nuestros ahorros hemos gastado? ¿Qué porcentaje de lo que teníamos representa ese gasto?
VIDA COTIDIANA
Números reales.
Porcentajes^1
SABER
- Números racionales e irracionales. Números reales
- Aproximaciones y errores de números reales
- Intervalos en la recta real
- Porcentajes. Interés simple y compuesto
SABER HACER
- Hallar los conjuntos numéricos a los que pertenecen ciertos números
- Calcular la unión y la intersección de dos intervalos
- Resolver problemas de porcentajes
1656 Se funda en Suecia el primer banco que acepta papel moneda (billetes).
1782 Se crea el Banco de España, denominado entonces Banco de San Carlos.
1818 Se abre en París el primer banco de ahorros.
1995 Se extiende el uso de la banca telefónica.
Siglo XXI Se normaliza el uso de la banca online.
Números racionales
1
El conjunto de los números racionales , Q, está formado
por todos los números que se pueden expresar en forma
de fracción
b
a
, donde a y b son números enteros y b! 0.
Todos los números naturales, enteros, decimales exactos y periódicos
son números racionales.
Números
racionales
Números decimales
Números enteros
Números naturales: 1, 2, 3, …
El número cero: 0
Enteros negativos: - 1, - 2, - 3, …
Exactos: 0,2; 0,34; …
Periódicos: 0,6; 2,263; …
64748
64444744448 6 4
74
8
Todos los números racionales se pueden representar de manera exacta
en la recta numérica.
EJEMPLO
1. Indica si estos números son racionales y, si lo son, represéntalos.
a) - 3 1
" Se puede expresar como fracción. Es un número racional.
b) 2, 10
" Se puede expresar como fracción. Es un número racional.
2 2,1 2,2 2,3 2,4 2,5 2,6 2,7 2,8 2,9 3
c) 3, 9
= -^ = = 11
Es un número racional.
= +^2
11
ACTIVIDADES
(^1) PRACTICA. Empareja los números que tengan el mismo valor e indica a qué conjunto numérico pertenece cada uno.
3 3 6,^!^ 0,01 3,666…
(^2) APLICA. Ordena y representa. a) 2,33 2 3,
b) - 4,2 - 4 2 ,
(^3) REFLEXIONA. Representa 2 39,^!^ y - 4 29 ,!.
Cualquier número entero se puede escribir como una fracción con denominador 1.
Números reales
3
El conjunto de los números reales , R, está formado por todos
los números racionales y todos los irracionales.
Naturales (N)
El número 0
Enteros negativos
Enteros (Z)
Racionales (Q)
Irracionales (I)
Números reales (R)
64444 Decimales^ exactos^ y^ periódicos
74444
8
6 4444
74444
8
6 44
744
8
Recta real
La recta numérica en la que se representan los números reales
se denomina recta real.
Todos los números reales se pueden representar de manera exacta o
aproximada en la recta real.
EJEMPLO
3. Representa estos números en la recta real. a) 5 b) r
a) Los números del tipo a , donde a es un número natural, se pueden representar de forma exacta sobre la recta real.
- Descomponemos el radicando en suma de dos números al cuadrado: 5 = 22 + 12.
- Construimos sobre la recta un triángulo rectángulo cuyos catetos midan esos números.
- Trasladamos, con un compás, la hipotenusa sobre la recta. b) Los números irracionales que no son del tipo a los representamos de forma aproximada hallando su expresión decimal.
r = 3,141592…
ACTIVIDADES
(^7) PRACTICA. Representa las raíces en la recta real. a) 10 c) 26 e) - 17 b) 17 d) - 10 f ) - 26
(^8) APLICA. Representa de forma aproximada.
a) 2 6 b) 1 + 3 c) 3 r
(^9) REFLEXIONA. Representa 2 + 3.
SE ESCRIBE ASÍ
En ciertas ocasiones solo tomamos el valor positivo de una raíz. 4 = 2 - 4 = - 2
IRRACIONALES RACIONALES
ENTEROS
NATURALES
1,01234…
7
1 5
2 U = 1 +^5 r (^) - 13
3
7
7
3
3 4
3,1 3,
3,14 3,
F^ r
0 1 2 5 3
1
ACTIVIDADES
(^10) Decide el menor conjunto numérico al que pertenece cada uno de los números que aparecen a continuación.
a) - 5 e) 3 r
b) 2 f ) - 37
c) 53 g) 1 125 5
d) 625 h) 21 463,
(^11) Indica los conjuntos numéricos a los que pertenecen estos números. a) 5,0100200030004…; - 25; 47 ; e
b) (^2)
c) 3
d) 6 + 9 ; 6 + 9 ; 9 + 6 ; 6
Hallar los conjuntos numéricos a los que pertenece un número
Indica todos los conjuntos numéricos a los que pertenecen estos números.
(^25 )
- 7 2 37,^!^ 1,1223334444… 9
Pasos a seguir
1. Si el número contiene alguna raíz: - Si el radicando es un cuadrado perfecto, es un número natural si es positivo o entero si es negativo. - Si contiene fracciones y el numerador y el denominador son cuadrados perfectos: - Si el numerador es múltiplo del denominador, es un número natural si es positivo o entero si es negativo. - En caso contrario, es racional. - Si el radicando no es un cuadrado perfecto, el número es irracional.
25 = 5 " Es natural , entero, racional y real.
- = - " Es un número racional y real.
7 = 2,64575131… " Es un número irracional y real.
2. Si el número es decimal: - Es racional si es un decimal exacto o periódico. - Es irracional si tiene infinitas cifras decimales no periódicas.
2 37 ,^!^ " Es un número racional y real.
1,1223334444… " Es un número irracional y real.
3. Si el número es una fracción: - Cuando el numerador es múltiplo del denominador, es natural si la fracción es positiva y entero si es negativa. - En caso contrario, es racional.
-^18 = - 2
" Es un número^ entero ,^ racional^ y^ real.
-^3
" Es un número^ racional^ y^ real.
4. Si el número no tiene raíces, no es decimal ni es fracción, es natural si es positivo y entero si es 0 o negativo.
19 " Es un número natural , entero, racional y real.
- (^5) " Es un número entero , racional y real.
SABER HACER
Para encontrar todos los conjuntos numéricos a los que pertenecen ciertos números, primero buscamos el conjunto más pequeño en el que están incluidos.
Números reales. Porcentajes 1
Errores de aproximación
5
El error absoluto de una aproximación es el valor absoluto
de la diferencia entre el valor real y el valor de la aproximación.
E a = | V Real - V Aproximación |
EJEMPLO
6. Calcula el error absoluto cometido al aproximar 5 por 2,23. ¿Qué tipo de aproximación se ha realizado?
5 = 2,236067977… " Ea = |^ 2,236067977… - 2,23 |^ = 0,006067977…
Se ha realizado un truncamiento. Es una aproximación por defecto.
El error relativo de una aproximación es el cociente entre
el error absoluto y el valor real.
Aproximación Real Real
E Real
V
E
V
V V
r
= a^ = ;^ - ;
EJEMPLO
7. Halla el error absoluto y relativo. ¿Qué aproximación es más precisa? a) Un rascacielos de altura 201,12 m se aproxima por 200 m. b) La longitud de una hormiga de 1,3 mm se aproxima por 1 mm. a) Ea = |^ 201,12 - 200 |^ = 1,12 m = 1 120 mm
E V
E 6 6
201,12 m
1,12 m (^) 0,005 0,5 % r a Real
b) Ea = |^ 1,3 - 1 |^ = 0,3 mm
Real
E , , %
V
E 0 2308 23 08
1,3 mm
0,3 mm r = a = = =
Aunque el error absoluto de la aproximación de la altura del rascacielos es mucho mayor que el de la longitud de la hormiga, el relativo es menor. Un menor error relativo indica una mejor aproximación; por tanto, la aproximación más precisa es la del rascacielos.
ACTIVIDADES
(^15) PRACTICA. Obtén el error absoluto al redondear 4,7569 a las centésimas. (^16) APLICA. Halla el error relativo cometido al truncar 2 3 ,
a las décimas.
(^17) REFLEXIONA. ¿Qué error absoluto y relativo se comete al aproximar 1,468 por 1,5? ¿Y si lo aproximamos por 1,4? Razona cuál es la mejor aproximación.
El error relativo suele expresarse en tanto por ciento, multiplicándolo por 100. En este caso, recibe el nombre de porcentaje de error.
SE ESCRIBE ASÍ
A veces damos por buena cualquier aproximación cuyo error sea menor que una cierta cantidad; esa cantidad se llama cota de error.
Números reales. Porcentajes 1
Intervalos
6
6.1. Intervalos
Un intervalo de extremos a y b es el conjunto de todos los
números reales comprendidos entre a y b.
Los intervalos se clasifican según contengan, o no, a sus extremos.
Intervalo abierto ( a , b ) (^) { x : a < x < b } (^) a b
Intervalo cerrado [ a , b ] (^) { x : a # x # b } (^) a b
Intervalo semiabierto ( a , b ] (^) { x : a < x # b } (^) a b
Intervalo semiabierto [ a , b ) { x : a # x < b } (^) a b
6.2. Semirrectas
Una semirrecta de extremo a es el conjunto de todos los números
reales comprendidos entre - 3 y a , o bien entre a y + 3.
Las semirrectas son cerradas o abiertas si contienen o no a su extremo.
Semirrecta abierta ( a , + 3 ) { x : a < x } (^) a
Semirrecta cerrada [ a , + 3 ) { x : a # x } (^) a
Semirrecta abierta (- 3 , b ) { x : x < b } (^) b
Semirrecta cerrada (- 3 , b ] { x : x # b } (^) b
EJEMPLO
8. Escribe en forma de intervalos y semirrectas, y representa.
a) - 3 # x < 2 " [-3, 2)
b) x # - 4 " (- 3 , - 4]
c) 5 $ x > 0 " (0, 5]
ACTIVIDADES
(^18) PRACTICA. Describe y representa los siguientes intervalos en la recta real. a) (4, 8) c) [1, 5) e) (- 3 , 4) b) (- 3 , 2) d) (-3, 0] f ) [-1, + 3 )
(^19) APLICA. Escribe estos intervalos. a) - 4 1 x # 0 b) 1 # x # 2 c) 10 2 x 24 (^20) REFLEXIONA. Representa estas semirrectas. a) x # 6 b) x $ 3 c) x 10
En la expresión de una
semirrecta, ± ∞ siempre se
escribe con paréntesis.
SE ESCRIBE ASÍ
( a , b ]
ABIERTO El extremo no pertenece al intervalo.
CERRADO
El extremo pertenece al intervalo.
a (^) b
G G
G G
- 5 - 4 - 3 - 2 - 1 0 1 2 3
- 2 - 1 0 1 2 3 4 5 6 7
- 8 - 7 - 6 - 5 - 4 - 3 - 2
