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152 Unidad 6 | Aplicaciones de la trigonometría
6 Aplicaciones de la trigonometría
LEE Y COMPRENDE
El relato narra cómo se calculó la medida de la Tierra para establecer una medida de longitud universal: el
metro. ¿Cómo se llevó a cabo?
El cálculo de la medida de la Tierra se llevó a cabo mediante el método de la triangulación. Con este método se pudo
calcular la medida del cuadrante de todo el meridiano y, con ello, calcular el tamaño de la Tierra.
¿Qué es la triangulación? ¿En qué se basa?
La triangulación es el uso de la geometría de los triángulos para determinar posiciones de puntos, distancias o áreas. Se
basa en un teorema elemental de la geometría: “Si se conocen los tres ángulos de un triángulo, más la longitud de uno
cualquiera de los lados, se puede calcular la longitud de los otros dos lados”.
Como ves, la base de todo este proceso es la resolución de triángulos. ¿Qué crees que es la geodesia?
La geodesia es la ciencia que estudia la forma y dimensiones de la Tierra y las posiciones sobre la misma.
INVESTIGA Y REFLEXIONA
Las herramientas de medida de los ángulos tienen que ser muy precisas. ¿Qué instrumentos utilizan los
topógrafos en la actualidad para hacer este tipo de medidas? ¿Qué popular herramienta tecnológica nos
proporciona en la actualidad la distancia entre lugares?
Los topógrafos utilizan la brújula, el transito, el teodolito, el taquímetro…
El GPS es una popular herramienta tecnológica que nos proporciona la distancia entre lugares.
Y TÚ, ¿QUÉ OPINAS?
Todas las herramientas que utilizamos en la actualidad para calcular distancias son posibles gracias a la
creatividad de personas como Hipatia, Tales, Eratóstenes, Delambre, … ¿Crees que es imprescindible la
creatividad para realizar descubrimientos científicos que ayuden a la evolución de la sociedad? ¿Qué otras
cualidades crees que son necesarias?
Respuesta libre.
Aplicaciones de la trigonometría | Unidad 6 153
Actividades propuestas
1. Resuelve estos triángulos rectángulos.
a) c)
b) d)
a) a =
2 2 4 + 8 = 16 + 64 = 8,94cm c) c = − = −
2 2 7 6 49 36 = 3,61 cm
tg
C =
C = arctg 2 = 63º 26´ 6´´ cos
C =
C = arccos 0,86 = 31º 10´´
B = 180º – 90º – 63º 26´ 6´´ = 26º 33´ 54´´
B = 180º – 90º – 31º 10´´ = 58º 59´ 50´´
b)
C = 180º – 90º – 45º = 45º d)
A = 180º – 90º – 30º = 60º
sen 45º =
b
⇒ b =
sen 45º
= 2,83 cm cos 30º =
a
⇒ a = 8 · cos 30º = 6,93 cm
tg 45º =
c
⇒ c = =
tg 45º
cm sen 30º =
b
⇒ b = 8 · sen 30º = 4 cm
2. Resuelve estos triángulos rectángulos.
a)
A = 90º,
C = 43º, a = 5 cm c)
A = 90º,
B = 52º, a = 10 cm
b)
B = 90º, a = 8 cm, c = 6 cm d)
C = 90º, a = 5 cm, c = 13 cm
a)
B = 180º – 90º – 43º = 47º c)
C = 180º – 90º – 52º = 38º
sen 43º =
c
⇒ c = 5 · sen 43º = 3,41 cm sen 52º =
b
⇒ b = 10 · sen 52º = 7,88 cm
cos 43º =
b
⇒ b = 5 · cos 43º = 3,66 cm cos 52º =
c
⇒ c = 10 · cos 52º = 6,16 cm
b) b =
2 2 6 + 8 = 36 + 64 = 10 cm d) b =
2 2 13 − 5 = 169 − 25 = 12 cm
cos
B =
B = arccos 0,6 = 53º 7´ 49´´ tg
B =
B = arctg 2,4 = 67º 22´´ 48´´
C = 180º – 90º – 53º 7´ 49´´ = 36º 52´ 11´´
A = 180º – 90º – 67º 22´ 48´´ = 22º 37´ 12´´
Aplicaciones de la trigonometría | Unidad 6 155
8. Desde la orilla de un río se ve un árbol en la otra orilla bajo un ángulo de 40º, y si se retrocede 4 m, se ve
bajo un ángulo de 28º. Calcula la altura del árbol y la anchura del río.
tg 40º =
h
x
⇒ h = x · tg 40º = 0,84 x
tg 28º =
h
x
⇒ h = ( x + 4)· tg 28º = ( x + 4)· 0,53 = 0,53 x + 2,
Igualando ambas expresiones:
0,84 x = 0,53 x + 2,12 ⇒ 0,31 x = 2,12 ⇒ x = 6,84 m.⇒ h = 5,75 m.
9. Una escalera de 6 m de longitud está apoyada sobre la ventana de un edificio situada a 4,5 m del suelo. Si
bascula sobre su base, se apoya en una farola de 3,20 m situada en la misma acera.
a) ¿Con qué ángulo de inclinación está apoyada la escalera sobre la ventana? ¿Y si se apoya sobre la
farola?
b) Calcula la distancia entre la fachada del edificio y la farola.
a) Llamamos α y β a los ángulos de inclinación de la escalera sobre la fachada y sobre la farola, respectivamente.
sen α =
= 0,75 ⇒ α = arcsen 0,75 = 48º 35´ 25´´ sen β =
= 0,53 ⇒ α = arcsen 0,53 = 32º 20´´
b) Llamamos x a la distancia del pie de la escalera al edificio e y a la distancia del pie de la escalera a la farola.
x =
2 2 6 − 4,5 = 3,97m e y =
2 2 6 − 3,2 = 5,08m ⇒ La distancia es 3,97 + 5,08 = 9,05 m.
10. Calcula el lado desconocido en los siguientes triángulos.
a) b) c) d)
Aplicando el teorema del seno:
a)
A = 180º – 22º – 79º = 79º c)
C = 180º – 2 · 66,4º = 47,2º
8 8 sen 79º
20,
sen 22º sen 79º sen 22º
a
a cm
5 5 sen 66, 4º
5
sen 66, 4º sen 66, 4º sen 66, 4º
b
b
= ⇒ = = cm
8 8 sen 79º
20,
sen 22º sen 79º sen 22º
c
c cm
5 5 sen 47,2º
4
sen 66, 4º sen 47,2º sen 66, 4º
c
c
= ⇒ = = cm
b)
A = 180º – 85º – 60º = 35º d)
sen 0,
sen 92º (^) sen
C C
C
3,5 3,5 sen 85º
4,
sen 60º sen 85º sen 60º
a
a cm
A = 180º – 92º – 53º 7´ 48´´ = 34º 52´ 12´´ = 34,87º
3,5 3,5 sen 35º
2,
sen 60º sen 35º sen 60º
b
b cm
15 15 sen 34,87º
8,
sen 34,87º sen 92º sen 92º
a
a
= ⇒ = = cm
156 Unidad 6 | Aplicaciones de la trigonometría
11. Halla el lado a de los triángulos en cada caso.
a)
A = 38º;
B = 80º; b = 5 cm
b)
C = 110º; b = 6,5 cm; c = 10,25 cm
c)
C = 51º;
B = 70º; c = 4,96 cm
Aplicando el teorema del seno:
a)
5 5 sen 38º
3,13 cm
sen 80º sen 38º sen 80º
a
a
b)
sen 0,
sen110º (^) sen
B B
B
= arcsen 0,596 = 36,58º ⇒
A = 180º – 110º – 36,58º = 33,42º
10,25 10,25 sen 33, 42º
6
sen110º sen 33, 42º sen110º
a
a
= ⇒ = = cm
c)
A = 180º – 70º – 51º = 59º
4,96 4,96 sen 59º
5, 47 cm
sen 51º sen 59º sen 51º
a
a
12. Calcula los ángulos restantes de los siguientes triángulos.
a)
A = 65º; a = 14 cm; c = 15 cm b)
C = 41º; b = 6 cm; c = 6 cm
a) Aplicando el teorema del seno:
14 15 15 sen 65º
sen 0,
sen 65º (^) sen 14
C
C
C = arcsen 0,886 = 62º = 40º 21´ 0,47´´
B = 180º – 65º – 40º 21´ 0,47´´ = 52º 38´ 59,53´´
14 b 14 sen 52º 38 ' 59,53 ''
b 12,28 cm
sen 65º sen 52º 38 ' 59,53 '' sen 65º
b) Aplicando el teorema del seno:
6 6 6 sen 41º
sen 41º
sen 41º (^) sen 6
B B
B
A = 180º – 82º = 98º
6 sen 98º
9,05 cm
sen 41º
a = =
13. Encuentra el tercer lado de un recinto triangular si dos de sus lados miden 100 m y 120 m y forman un
ángulo de 60º.
Llamamos a al tercer lado del recinto triangular.
Aplicando el teorema del coseno:
a
2 = 100
2
2
- 2 · 100 · 120 · cos 60º = 12 400 ⇒ a = 111,
El tercer lado del recinto triangular mide 111,36 m.
158 Unidad 6 | Aplicaciones de la trigonometría
18. Resuelve los siguientes triángulos.
a) b)
a) Llamamos a = 8 cm, b = 6 cm y c = 7 cm.
Aplicando el teorema del coseno:
2
= 6
2
2
A ⇒ cos
A = 0,25 ⇒
A = arccos 0,25 = 75º 31´ 21´´
2 = 8
2
2
B ⇒ cos
B = 0,688 ⇒
B = arccos 0,688 = 46º 31´ 41´´
C = 180º – 75º 31´ 21´´ – 46º 31´ 41´´ = 57º 56´ 58´´
b) Llamamos a = 8 cm,
B = 110º y
C = 22º.
A = 180º – 110º – 22º = 48º
Aplicando el teorema del seno:
8 8 sen110º
10,
sen 48º sen110º sen 48º
b
b
= ⇒ = = cm
8 8 sen 22º
4,
sen 48º sen 22º sen 48º
c
b
= ⇒ = = cm
19. Resuelve los siguientes triángulos y clasifícalos.
a) a = 25 cm, b = 30 cm y
C = 38º
b) a = 15 cm, b = 55 cm y c = 45 cm
a) Aplicando el teorema del coseno:
c
2
= 25
2
2
- 2 · 25 · 30 · cos 38º = 342,98 ⇒ c = 18,52 cm
2
= 30
2
2
A ⇒ cos
A = 0,556 ⇒
A = arccos 0,556 = 56º 13´ 13´´
2
= 25
2
2
B ⇒ cos
B = 0,073 ⇒
B = arccos 0,073 = 85º 48´ 49´´
Triángulo acutángulo escaleno.
b) Aplicando el teorema del coseno:
2
= 55
2
2
A ⇒ cos
A = 0,9747 ⇒
A = 12º 54´ 57´´
2
= 15
2
2
B ⇒ cos
B = –0,574 ⇒
B = arccos –0,574 = 125º 1´ 47´´
C = 180º – 12º 54´ 57´´ – 125º 1´ 47´´ = 42º 3´ 16´´
Triángulo obtusángulo escaleno.
20. Calcula el perímetro de un triángulo cuyos lados miden 40 cm y 45 cm y el ángulo comprendido entre ellos,
Llamamos x a la medida del lado del triángulo.
Aplicando el teorema del coseno:
x
2
= 40
2
2
- 2 · 40 · 45 · cos 44º = 1035,38 ⇒ x = 32,18 cm
El perímetro del triángulo es P = 40 + 45 + 32,15 = 117,18 cm.
Aplicaciones de la trigonometría | Unidad 6 159
21. El lado de un polígono regular de 15 lados, mide 50 cm. Calcula el radio y la apotema.
2 sen
r =
= 120,24 cm
2 tg
a =
= 117,62 cm
22. Indica el número de lados de un polígono regular cuyo radio vale 24,27 cm y cuyo lado mide 15 cm.
Llamamos n al número de lados del polígono regular.
2 sen
n
sen
n
n
= 18º ⇒ n = 10
El polígono regular tiene 10 lados.
23. Halla el área de los siguientes triángulos.
a) a = 15 cm, b = 24 cm, c = 15 cm b)
A = 75º, b = 15 cm, c = 18 cm
a) Por el teorema del coseno: 15
2 = 15
2
2
C ⇒ cos
C = 0,8 ⇒ α = arccos 0,8 = 36,87º
15 24 sen 36,87º
S = 108 cm
2
b) = ⋅ ⋅ ⋅
15 18 sen 75º
S = 130,40 cm
2
24. Calcula el perímetro y el área de un trapecio rectángulo cuyas bases miden 8 y 4 cm y cuya altura mide 3
cm.
Llamamos x a la medida del lado oblicuo del trapecio rectángulo.
x
2
= 3
2
2
= 25 ⇒ x = 5
Entonces,
( +^ )⋅
=
A = 18 cm
2 y P = 8 + 5 + 3 + 4 = 20 cm
25. Halla el área de un tetraedro de lado 5 cm.
El área de un tetraedro es la suma de cuatro triángulos equiláteros de lado 5 cm:
4 5 5 sen 60º
S = 43,30 cm
2
26. Calcula el área de un sector circular de radio 4 cm y cuyo arco mide 8 cm.
π ⋅ ⋅ α
⇒ α = 114,59º ⇒ Asector =
2 4 114,59º
π ⋅ ⋅
= 16 cm
2
27. Halla el área de un eneágono regular de perímetro 63 cm.
El lado del eneágono mide
= 7 cm. Por tanto, la apotema medirá
2 tg
a =
= 9,62 cm.
El área del eneágono es
S (^) = 303,03 cm
2
.
Aplicaciones de la trigonometría | Unidad 6 161
33. Resuelve los triángulos sabiendo que
B es un ángulo recto.
a)
C = 65º, a = 22 cm
b) c = 15 cm, b = 18 cm
c) a = 20 cm, c = 20 cm
a)
A = 180º – 90º – 65º = 25º
tg 65º =
c
⇒ c = 22 · tg 65º = 47,18 cm y cos 65º =
b
⇒ b =
cos 65º
= 52,06 cm
b) a =
2 2 18 − 15 = 324 − 225 = 9,95cm
sen
C =
B = 56º 26´ 34´´ y
A = 180º – 90º –
C = 33º 33´ 26´´
c) b =
2 2 20 + 20 = 400 + 400 = 28,28cm
tg
A =
A = arctg 1 = 45º y
B = 180º – 90º – 45º = 45º
34. Un trapecio rectángulo tiene por bases 15 y 25 cm. El lado que no es perpendicular a las bases mide 12 cm.
Calcula los ángulos del trapecio.
cos
D
D = arccos 0,833 = 33º 35´ 31´´
A =
B = 90º
C = 360º – 90º – 90º – 33º 35´ 31´´ = 146º 24´ 29´´
**35. Actividad resuelta.
- Las proyecciones de los catetos de un triángulo rectángulo sobre su hipotenusa valen** m = 3,6 cm y
n = 10 cm, respectivamente. Resuelve el triángulo.
Se calcula el lado a = 3,6 + 10 = 13,6 cm.
Aplicando el teorema de la altura: h
2
= 3,6 · 10 = 36 ⇒ h = 6 cm
Se calculan los ángulos
B y
C :
tg
B =
B = arctg 0,6 = 31º
C = 180º – 90º – 31º = 59º
Se calculan los lados b y c :
cos 59º =
b
⇒ b =
cos 59º
c =
2 2 13,6 − 6,99 = 11,67 cm
162 Unidad 6 | Aplicaciones de la trigonometría
37. Resuelve los siguientes triángulos.
a) b)
a) Aplicando el teorema del coseno:
2 = 36
2
2
C ⇒ cos
C = 0,739 ⇒
C = arccos 0,739 = 42º 21´ 13´´
2 = 26
2
2
B ⇒ cos
B = 0,361 ⇒
B =
A = arccos 0,361 = 68º 50´ 18´´
b)
C = 180º – 109,7º - 49,73º = 20,57º
5 5 sen 49,73º
4,
sen109,7º sen 49,73º sen109,7º
b
b
= ⇒ = = cm
5 5 sen 20,57º
1 ,
sen109,7º sen 20,57º sen109,7º
c
c
= ⇒ = = cm
38. Resuelve el triángulo. ¿De qué tipo es?
A = 180º – 90º – 45º 34´ = 44º 26´
7 7 sen 45º 34´
5
sen 90º sen 45º 34´ sen 90º
c
c
= ⇒ = = cm
7 7 sen 44º 26´
4,
sen 90º sen 44º 26´ sen 90º
a
a
= ⇒ = = cm
Es un triángulo rectángulo escaleno.
39. Resuelve estos triángulos y clasifícalos.
a) a = 5 cm, c = 12 cm,
C = 120º d)
B = 65º, a = 23 cm, c = 32 cm
b) a = 20 cm , b = 12 cm,
C = 100º e)
B = 32º,
A = 65º, b = 12 cm
c) a = 20 cm, b = 40 cm, c = 25 f)
A = 38º, b = 12 cm, a = 16 cm
a) Aplicando el teorema del seno:
12 5 5 sen120º
sen 0,
sen120º sen 12
A
A
= ⇒ = = ⇒^
A = arcsen 0,361 = 21º 9´ 42´´
B = 180º – 120º – 21º 9´ 42´´ = 38º 50´ 18´´
12 12 sen 38º 50´ 18´´
8,
sen120º sen 38º 50´ 18´´ sen120º
b
b
= ⇒ = = cm
b) Aplicando el teorema del coseno:
c
2
= 20
2
2
- 2 · 20 · 12 · cos 100º = 627,35 ⇒ c = 25,05 cm
2 = 25,
2
2
A ⇒ cos
A = 0,618 ⇒
A = arcos 0,618 = 51º 49´ 47´´
B = 180º – 100º – 51º 49´ 47´´ = 28º 10´ 13´´
c) Aplicando el teorema del coseno:
2
= 40
2
2
A ⇒ cos
A = 0,9125 ⇒
A = arcos 0,9125 = 24º 8´ 49´´
2
= 20
2
2
B ⇒ cos
B = –0,575 ⇒
B = arcos (–0,575) = 125º 5´ 59´´
C = 180º – 24º 8´ 49´´ – 125º 5´ 59´´ = 30º 45´ 12´´
164 Unidad 6 | Aplicaciones de la trigonometría
43. Calcula el área total y el volumen de los cuerpos.
a) c)
b) d)
a) Llamamos h a la altura del cilindro y r al radio de la base.
sen 27º =
h
⇒ h = 24 · sen 27º = 10,9 cm cos 27º =
r
⇒ r =
24 cos 27º⋅
= 10,69 cm
A total = A lateral + 2 · A base = 2 · π · 10,69 · 10,9 + 2 · π · 10,
2
= 732,12 + 718,02 = 1450,14 cm
2
V = Abase · h = π · 10,
2 · 10,9 = 3913,2 cm
3
b) Llamamos d a la diagonal de la base: d =
2 2 25 + 25 = 35,36 cm
tg 40º =
35,
h
⇒ h = tg 40º ·
= 14,84 cm H =
2 2 12,5 + 14,84 = 19,40 cm
A total = A lateral + A base = 4 ·
2
= 970 + 625 = 1595 cm
2
V =
base
A ⋅ h ⋅
= = 3091,67 cm
3
c) Llamamos x a la altura del cono deficiente.
tg 64º =
r
⇒ r =
tg 64º
= 3,9 cm h = (^) ( )
2 2 8 + 7 − 3,9 = 8,58 cm
x x x x x x
x x
cm
A total = A lateral + A base inferior + A base superior = π · (3,9 + 7) · 8,58 + π · 7
2
2
= 495,23 cm
2
V = V
cono grande
– V
cono deficiente
( )
2 2 7 8 10,06 (^) 3,9 10,
π ⋅ ⋅ + (^) π ⋅ ⋅
− = 926,71 – 160,23 = 766,48 cm^
3
d) Llamamos x a la altura del ortoedro de la base, y , al largo, a , a la apotema de la pirámide de las caras cuya
base mide 4 cm , b , a la apotema de la pirámide de las caras cuya base es y , y h , a la altura de la pirámide.
tg 26º =
x
⇒ x = 4 · tg 26º = 1,95 cm tg 32º =
x 1 ,
y y
= ⇒ y =
tg32º
= 3,12 cm
tg 20º =
b b
= ⇒ b =
tg 20º
= 4,29 cm h =
2 2 4,29 − 2 = 3,8 cm
a =
2 2 1 ,56 + 3,8 = 4,1 cm
At = Al ortoedro + A base + Al pirámide = (2 · 4 · 1,95 + 2 · 3,12 · 1,95) + 4 · 3,12 +
⋅ + ⋅ = 70,03 cm
2
V = V ortoedro + V pirámide = 4 · 1,95 · 3,12 +
= 40,14 cm
3
Aplicaciones de la trigonometría | Unidad 6 165
44. La generatriz de un cono mide 10 dm y el ángulo que forma esta con la altura del cono es de 36º. Calcula:
a) El área total. b) El volumen del cono.
Llamamos r al radio del cono y h a su altura.
a) sen 36º =
r
⇒ r = 10 · sen 36º = 5,88 dm b) cos 36º =
h
⇒ h = 10 · cos 36º = 8,09 dm
A total = π · 5,
2
+ π · 5,88 · 10 = 293,34 dm
2
V =
2 5,88 8,
π ⋅ ⋅
= 292,91 cm
3
45. Calcula las dimensiones del paralelogramo y sus dos alturas h 1 y h 2.
360º 2 ( 55º 26º)
99º
D B
Aplicando el teorema del seno en el triángulo ADC :
20 20 sen 55º
16,59 cm
sen 99º sen 55º sen 99º
CD
CD AB
= ⇒ = = = y
20 20 sen 26º
8,88 cm
sen 99º sen 26º sen 99º
AD
AD BC
Calculamos las alturas h 1 y h 2 :
sen (55º + 26º) =
1
h
⇒ h 1 = 8,77 y sen (55º + 26º) =
2
h
⇒ h 2 = 16,39 cm
46. Junto a un compañero, encontrad una fórmula que proporcione el área de un polígono regular en función
del número de lados, n , y la medida de su lado a****. Aplícala para obtener las áreas de cuatro polígonos
regulares.
A =
2
2 tg
4 tg
a
n a
P a (^) n na
n
Respuesta abierta.
47. En una esfera de 10 cm de radio se inscribe un cono, tal y como aparece en la figura. Halla el volumen del cono
si el área de su base es de 50 cm
2
.
El área de la base del cono es A b = π · r
2
⇒ 50 = π · r
2 ⇒ r = 3,99 cm.
Aplicando el teorema de Pitágoras al triángulo sombreado:
r
2
2 = 10
2 ⇒ ( h – 10)
2 = 100 – r
2 ⇒ h = 10 +
2 100 − r = 19,17 cm
El volumen del cono es V =
= 319,5 cm
3
.
Aplicaciones de la trigonometría | Unidad 6 167
52. Dos puntos A y B de la esfera terrestre están situados en un mismo paralelo de latitud 48º N y sus
longitudes respectivas son de 160º E y 80º E****. Calcula las distancias que los separan sobre el paralelo
común y sobre el círculo máximo de la esfera que pasa por los dos puntos.
Radio de la Tierra: R = 6371 km.
Calculamos la medida en grados del arco AB : 160º – 80º = 80º
Hallamos el radio, r , del paralelo de la esfera terrestre de latitud 48º:
r = 6371 · cos 48º = 4263,03 km
La distancia de A a B sobre el arco que determinan estos dos puntos en el paralelo en el que están situados es:
L =
π ⋅ ⋅
= 5952,3127 km
La distancia de A a B sobre el arco de circunferencia máxima que determinan estos dos puntos es:
L =
π ⋅ ⋅
= 5337,36 km
53. En el cuadrilátero ABCD , el ángulo
A mide 120º; los ángulos
B y
D son ángulos rectos, AB = 13 y AD =
46. La longitud AC es:
A. 60 B. 62 C. 64 D. 65
C = 360º –
A –
B –
D = 360º – 120º – 90º – 90º = 60º y
2
AC =
2
DC + 46
2
Trazamos por D una paralela a AB. Se construye el triángulo rectángulo DEC.
EDC = 180º –
E –
C = 180º – 90º – 60º = 30º ⇒
ADE =
D –
EDC = 90º – 30º = 60º
DF = 46 · cos
ADE = 46 · cos 60º = 23 ⇒ DE = DF + FE = DF + AB = 23 + 13 = 36
cos
EDC =
DE
DC
⇒ cos 30º =
DC
⇒ DC =
cos 30º
Por tanto,
2
AC =
2
DC + 46
2
= 41,
2
2
= 3844,06 ⇒ AC = 62
La respuesta correcta es la B.
54. ¿Cuántos triángulos de área 10 tienen por vértices los puntos (5cos α, 5senα), (–5, 0) y (5, 0)?
A. 0 B. 2 C. 4 D. 6
Tomamos como base del triángulo el segmento de extremos (–5, 0) y (5, 0).
El área de este triángulo es
h
A , donde h es la altura del triángulo.
Si A = 10, entonces
h
⇒ h = 2. Por tanto, la ordenada en el origen de la altura debe ser 2 o –2.
Luego 5sen α = 2 o 5sen α = –2.
Calculamos los ángulos α, 0º < α < 360º, tales que 5sen α = 2 o 5sen α = –2.
Si 5sen α = 2 ⇒ sen α =
⇒ α = arcsen
{
Si 5sen α = –2 ⇒ sen α = −^
⇒ α = arcsen
{
Hay en total cuatro valores que cumplen que 5sen α = 2 o 5sen α = – 2, con 0º < α < 360º.
La respuesta correcta es la C.
168 Unidad 6 | Aplicaciones de la trigonometría
Encuentra el error
55. Los lados de un triángulo miden a = 12 cm, b = 15 cm y c = 25 cm. Calcula la medida del ángulo
A y la
medida del ángulo
C.
Aplicando el teorema del coseno:
a
2
= b
2
+ c
2
- 2 bc cos
A ⇒ 12
2
= 15
2
+ 25
2
- 2 · 15 · 25cos
A ⇒ 144 = 225 + 625 – 750cos
A ⇒
⇒ 144 = 100cos
A ⇒ cos
A =
Como el coseno ha salido mayor que 1, no se puede calcular
A y, por tanto, los datos no se corresponden
con ningún triángulo.
Aplicando el teorema del coseno:
c
2 = a
2 + b
2
- 2ab cos
C ⇒ 25
2 = 12
**2
2
- 2 · 12 · 15cos
C ⇒ 625 = 144 + 225 – 360cos
C ⇒
⇒ 360cos
C = –256 ⇒ cos
C =
Como el coseno ha salido negativo, no se puede calcular
C y, por tanto, los datos no se corresponden
con ningún triángulo.
¿Dónde está el error?
En la primera aplicación del teorema del coseno, el error está al resolver la ecuación:
144 = 225 + 625 – 750cos
A ⇒144 – 225 – 625 = –750cos
A ⇒ –706 = –750cos
A ⇒ cos
A =
Por tanto,
A = arccos 0,94 = 19º 56´ 54´´
En la segunda aplicación del teorema del coseno, el error está al decidir que no existen ángulos cuyo coseno sea
negativo:
cos
C =
C = arccos (–0,71) = 135º 14´ 6´´
PONTE A PRUEBA
El cuadro
Actividad resuelta.
Tiro a gol
Olga entrena para la competición de fútbol femenino. El campo donde entrena es un rectángulo de dimensiones
40 m x 25 m y el ancho de la portería es de 3 m.
El entrenador le ha pedido que se coloque justo en P , que es el punto medio de la banda. Olga quiere saber qué
ángulo α de tiro a gol tiene ese punto.
1. Busca dos triángulos rectángulos, en los que intervenga, de alguna forma, el ángulo α e indica el valor de
sus catetos.
Se forman dos triángulos rectángulos, PAB y PAC , en los que de alguna forma interviene el ángulo α.
Triángulo PAB : AP = 20 m y AB :
− = 11 m
Triángulo PAC : AP = 20 m y AC :
170 Unidad 6 | Aplicaciones de la trigonometría
2. ¿Cuánto mide la arista lateral?
A. 27,8 m B. 32,8m C. 35m D. 37,3 m
Llamamos x a la medida de la arista lateral.
cos 57,8º =
x
⇒ x =
cos 57,8º
= 32,84 m
La respuesta correcta es la B.
3. Halla el área de cada cara lateral y del total de la pirámide.
Llamamos a a la apotema de la cara lateral: a =
2 2 32,84 − 17,5 = 27,79 m
El área de una cara lateral será A =
= 486,33 m
2
y, el área lateral, A lateral = 4 · 486,33 = 1945,32 m
2
.
Entonces, Atotal = A lateral + A base = 1945,32 + 35
2 = 3170,32 m
2 .
4. Calcula la altura y el volumen de la pirámide.
Llamamos h a la altura de la pirámide: h =
2 2 27,79 − 17,5 = 21,6 m ⇒ V =
2 35 21 ,
= 8820 m
3
AUTOEVALUACIÓN
1. Resuelve los siguientes triángulos.
a) b) c) d)
a)
C = 180º – 90º – 35º = 55º c)
C = 180º – 30º – 34º = 116º
sen 35º =
b
⇒ b =
sen 35º
= 31,38 cm
16 16 sen 30º
14,
sen 34º sen 30º sen 34º
a
a
= ⇒ = = cm
tg 35º =
c
⇒ c =
tg35º
= 25,71 cm
16 16 sen116º
25,
sen 34º sen116º sen 34º
c
c
= ⇒ = = cm
b) a =
2 2 8 − 5 = 6,25cm d) c
2
= 12
2
2
- 2 · 12 · 20cos85º = 502,17 ⇒ c = 22,
sen 0,
sen 90º (^) sen
C C
C
sen 0,889 62,75º
sen 85º sen
B B
B
A = 180º – 90º – 51,26º = 38,74º
A = 180º – 85º – 62,75º = 32,25º
2. Calcula el área del triángulo de lados 15, 25 y 30 cm, respectivamente.
Llamando α al ángulo comprendido entre los lados de 25 y 30 cm, y aplicando el teorema del coseno:
2
= 25
2
2
- 2 · 25 · 30 · cos α ⇒ cos α = 0,867 ⇒ α = arccos 0,867 = 29,89º
Por tanto, A = ⋅ ⋅ ⋅
25 30 sen 29,89º
= 186,88 cm
2 .
Aplicaciones de la trigonometría | Unidad 6 171
3. Halla la medida de los lados desconocidos de este trapecio rectángulo. Calcula el área del trapecio.
sen 25º =
b
⇒ b = 12 · sen 25º = 5,07 cm y cos 25º =
a
⇒ a = 12 · cos 25º = 10,88 cm
Aplicando el teorema del seno
= ⇒ α = =
α
12 15 12 sen 65º
sen
sen sen 65º 15
0,725 ⇒ α = arsen 0,725 = 46º 28´ 8´´
β = 180º – 65º – 46º 28´ 8´´ = 68º 31´ 52´´
Aplicando el teorema del coseno: c
2 = 12
2
2
- 2 · 12 · 15 · cos 68º 31´ 52´´ = 237,24 ⇒ c = 15,4 cm
A =
= cm
2
4. Para que una antena permanezca vertical se le han colocado dos anclajes en el suelo a ambos lados y
alineados con su base. La distancia entre los anclajes es de 40 m y si se observa la parte más alta de la
antena desde cada uno de ellos, los ángulos de elevación son de 30º y 60º, respectivamente. Halla la altura
de la antena.
tg 60º =
h
x
⇒ h = x · tg 60º = 1,732 x
tg 30º =
h
x
⇒ h = (40 – x ) · tg 30º = 23,08 – 0,577 x
Igualando: 1,732 x = 23,08 – 0,577 x ⇒ x = 10 m ⇒ h = 17,32 m
5. Calcula el área y el volumen del cuerpo geométrico.
Llamamos h a la altura del cilindro inferior y x a la del superior.
tg 40º =
h
⇒ h = 9 · tg 40º = 7,55 cm y tg 65º =
x
⇒ x = 3 · tg 65º = 6,43 cm
A total = A cilindro inferiror + A lateral cilindro superior = 2 · π · 9
2
- 2 · π · 9 · 7,55 + 2 · π · 3 · 6,43 = 1057,08 cm
2
V = V cilindro inferiror + V cilindro superior = π · 9
2
· 7,55 + π · 3
2
· 6,43 = 2103,04 cm
3
6. La luna tiene una superficie de 38 000 000 km
2 y se encuentra a 380 000 km de la Tierra. ¿Qué ángulo
ocupa en el cielo?
Llamamos r al radio de la luna: 38 000 000 = 4π r
2
⇒ r = 1739 km
Llamando α al ángulo que ocupa la luna en el cielo, y aplicando el teorema del coseno:
2 = 380 000
2
2
2 · cos α ⇒ cos α = 0,999 958 ⇒ α = arccos 0,999 958 = 31´ 30´´
