¡Descarga Práctica 09: Sistemas de Ecuaciones, Relaciones y Funciones y más Esquemas y mapas conceptuales en PDF de Matemáticas solo en Docsity!
“UNIVERSIDAD NACIONAL “JORGE BASADRE GROHMANN”
CENTRO PREUNIVERSITARIO
TEMA: SISTEMAS DE ECUACIONES, RELACIONES
Y FUNCIONES
ARITMETICA Y ALGEBRA
RELACIONES
RELACIONES
RELACIÓN BINARIA
Dados dos conjuntos no vacíos “A” y “B”, se denomina relación binaria de A en B, a todo subconjunto R del conjunto cartesiano: A × B, es decir: R es una relación A en B ⇔ R ⊂ A ×B
Si R es una relación de A en B, se denota así:
R : A → B, o , A → R B Donde al conjunto A se denomina conjunto de partida y al conjunto B conjunto de llegada
Ejemplo:
Dados: A^ =^ { 2 ; 5 ; 7}y B^ =^ {^ 3 ; 4}.
Determinar la relación R: A → B, definida por:
R = (^) { ( x ;y (^) )/ x ∈ A ∧ y ∈ B ∧ x >y}
Resolución → Hallemos el producto cartesiano A × B:
A × B ={ ( 2 ;3 ,) ( 2 ;4 ) , 5 ;3 , 5 ;4( ) ( ) , 7 ;3 , 7 ;4( ) ( )}
→ De este conjunto tomamos por pares (^ x ;y^ ),
de tal manera que se cumpla que x^ >^ y:
( 5 ;3 , 5 ;4) ( ) , 7 ;3 , 7 ;4( ) ( )
→ Finalmente la relación R buscada es:
R ={ ( 5 ;3 , 5 ;4) ( ) , 7 ;3 , 7 ;4( ) ( )}
Observaciones: Si R es una relación de A en B, se deberá tener en cuenta lo siguiente:
I. Si el elemento ( x ; y )pertenece a la relación R,
la notación a emplearse será:
( x ; y^ )∈^ Rlo cual significa que:
“y está relacionado con x por medio de R”
II. Si el conjunto de partida A es igual al conjunto de llegada B (^ A = B) se podrá afirma que R es una relación de A en A, o que, R es una
relación en A (^ R^ ⊂^ A^ ×^ A, ó , R^ ⊂A^2 )
III. Si el conjunto: A × B, tiene “n” elementos, entonces el número total de relaciones R de A en
B será igual a “
n (^2) ”.
DOMINIO Y RANGO DE UNA RELACIÓN
DOMINIO DE R
Es el conjunto que tiene por elementos a todas las primeras componentes de los pares ordenados pertenecientes a la relación, es decir: Dom (^ R )^ = (^) { x / (^) ( x ; y (^) )∈R}
RANGO DE R
Es el conjunto que tiene por elementos a todas las segundas componentes de los pares ordenados pertenecientes a la relación, es decir: Ran (^ R )^ = (^) { y / (^) ( x ; y (^) )∈R}
Ejemplo: Halle el dominio y el rango de la relación: R : A → B , definida por: R = (^) { ( x ; y )/ x ∈ A ∧ y ∈ B ∧ x ≤y} Donde: A = { 1 ; 2}y B = { −1,1, 4}
Resolución: → Hallemos el producto cartesiano: A (^) × B (^) = (^) { ( 1; (^) − 1 , 1;1 , 1;4) ( ) ( ) , (^) ( 2 ; (^) −1 ,) ( 2 ;1 ,) ( 2 ;4)}
→ Luego la relación R pedida será: R ={ ( 1;1 , 1;4) ( ) , (^) ( 2 ;4)}
→ Finalmente el dominio y el rango de la relación R según las definiciones establecidas serán: Dom (^ R )^ = (^) { 1;2 (^) } ∧ Ran (^ R )^ ={ 1;4}
Observación: Si una relación de A en B, es decir: R : A → B, se cumplirá que:
Dom (^ R )^ ⊂ A ∧ Ra n (^ R )⊂B
CLASES DE RELACIONES
Siendo R una relación de A en A (Relación en
A^2 ), esta podrá ser las siguientes clases:
A) Relación reflexiva Si la relación R es reflexiva, se deberá cumplir que:
∀ x ∈ A ⇒ ( x, x^ )∈R
B) Relación simétrica Si la relación R es simétrica, se deberá cumplir que si:
( x, y^ )∈^ R ⇒ (^ y, x^ )∈R
C) Relación transitiva Si la relación R es transitiva simétrica, se deberá cumplir que si:
( x ;y ) ∈ R ∧ ( y ; z )∈ R ⇒ ( x ; z)^ ∈R
D) Relación de equivalencia Una relación R se llamara relación de equivalencia si y solamente si es reflexiva, simétrica y transitiva a la vez.
Ejemplo:
Dado el conjunto A^ =^ {^ 2 ; 4 ; 6} y la relación:
R : A → A/ R ={ ( 2;2 , 2;4 , 4;4 , 6;6 , 4 ;2) ( ) ( ) ( ) ( )}
Se pide averiguar si R es una relación de equivalencia:
Resolución: → Debemos recordar que si R es una relación de equivalencia, deberá ser reflexiva, simétrica y transitiva a la vez; en consecuencia debemos analizar cada una de las clases mencionadas: → Por dato se tiene:
A = { 2;4 ;6}, y,
R ={ ( 2 ;2 ,) ( 2 ;4 (^) ) , 4;4( ) , 6;6 , 4;2( ) ( )}
Primero, para determinar si es reflexiva, deberá
cumplirse que: ∀^ x^ ∈^ A ⇒ (^ x ;x^ )∈R
→ De los elementos de A y R, podemos notar que:
4 ∈ A ∧ ( 4 ;4 )∈R
- 6 ∈ A ∧ (^) ( 6 ;6 (^) )∈R ⇒ Luego la relación R es reflexiva.
Segundo, para determinar si es simétrica, deberá
cumplirse que: ( x, y^ )∈ R⇒ ( y, x^ )∈R
→ Haciendo una inspección de los 5 elementos de R, podemos notar que:
- ( 2;2^ ) ∈ R^ ∧ ( 2;2^ )∈R
- (^) ( 2;4 (^) ) ∈ R ∧ (^) ( 4 ;2 (^) )∈R
- (^) ( 4 ;4 (^) ) ∈ R ∧ (^) ( 4 ;4 (^) )∈R
- ( 6 ;6^ ) ∈ R^ ∧ ( 6 ;6^ )∈R
- ( 4 ;2 ) ∈ R ∧ ( 2;4 )∈R ⇒ Luego la relación R es simétrica.
Tercero, para determinar si es transitiva, deberá cumplirse que: ( x ;y^ ) ∈^ R^ ∧^ ( y ; z^ )∈^ R ⇒ (^ x ; z^ )∈R → Debemos notar que: ( 2;2^ ) ∈^ R^ ∧^ ( 2 ;4^ ) ∈^ R^ ⇒^ ( 2;4^ )∈R → Asimismo, reconocemos que: ( 2 ;4 ) ∈ R ∧ ( 4 ;4 ) ∈ R ⇒ ( 2 ;4 )∈R → También observamos que: ( 2;4^ ) ∈^ R^ ∧^ ( 4 ;2^ ) ∈^ R^ ⇒^ ( 2 ;2^ )∈R → De mismo modo observamos que:
( 4 ;4^ ) ∈^ R^ ∧^ ( 4 ;2^ ) ∈^ R^ ⇒^ ( 4 ;2^ )∈R
⇒ Luego la relación R es transitiva.
→ Finalmente de acuerdo a la teoría, R es una relación, reflexiva, simétrica y transitiva a la vez: ∴ R es de Equivalencia
FUNCIONES
Dados dos conjuntos no vacíos “A” y “B” y una relación F ⊂ A × B, se define: “F es una función de A en B si y solamente si para cada x ∈A existe a lo más un elemento y ∈ B, tal que el par
ordenado ( x, y )∈ F”. Esto significa que dos pares
ordenados distintos no pueden tener la misma primera componente. Si F es una función tal que:
( x , y^ ) ∈^ F^ ∧^ ( x , z^ )∈^ F^ ⇒^ y^ =z
De acuerdo a la definición analicemos los siguientes diagramas sagitales, donde: A = Conjunto de partida∧ B =Conjunto de llegada
Función Constante : Se simboliza por C. Su
regla de correspondencia es: C^ (^ x^ )=^ k es decir:
F x^ (^ )=k
Dom C^ (^ )= ℝ
Ran (^ C )=k
Su gráfica siempre es una recta horizontal (paralela al eje X).
Función Valor Absoluto: Se simboliza por.
Su regla de correspondencia F^ (^ x^ )=^ y^ =^ x es
decir:
x ; x 0
y x 0 ; x 0
x ; x 0
^ >
Dom (^ F )= ℝ
Ran (^ F )= y ∈ 0,+∞
Su gráfica: y^ =^ x es:
Función Cúbica: Regla de correspondencia:
F (^ x )^ = y =x^3
Dom (^ F )= ℝ
Ran (^ F )= ℝ
Gráfica:
y =x
Función Raíz Cuadrada: Regla de correspondencia: F (^ x )= y = x Dom (^ F )= 0,+∞ Ran (^ F )= 0,+∞
Gráfica: y^ = x
Función Máximo Entero: Símbolo: ^ Regla de correspondencia: F^ (^ x^ )^ =^ y^ =^ x Donde ^ x , se define:
x = y ⇔ y ≤ x < y + 1 y ∈ ℤ
Dom (^ F )= ℝ
Ran F^ (^ )= ℤ
Función Signo: Símbolo “ Sgn ” Regla de correspondencia:
F (^ x )^ = y =Sgn (^ x)
Es decir:
1; x 0
y Sgn x 0 ; x 0
1; x 0
^ −^ <
Dom (^ F )= ℝ
Ra n (^ F )^ = { −1, 0,1}
Gráfica:
y y =k
x
y
y =x
x
y
y =x^3
x
y y = x
x
y
y =^ ^ x
x
y y =Sgn (^ x)
x
1
− 1
0
Función Cuadrática: Está determinada por la regla de correspondencia.
y = F (^ x )^ = ax 2 + bx +c
Donde: a , b^ ∧^ c, son constantes, tal que:
a ≠ 0. Además: Dom (^ F )^ = ℝ ...(^ x ∈ℝ)
( )
y F b ; ; a 0 Ran F 2a y ; F b ; a 0 2a
(^) ∈^ ^ −^ + ∞^ > = ^ ^ (^) ∈ −∞ ^ − < ^ ^ La concavidad será hacia arriba o hacia abajo dependiendo del signo de “a”.
CLASES DE FUNCIONES
Función inyectiva o univalente: Una función F es Inyectiva si a cada elemento del rango le corresponde un único elemento de dominio.
Para una mayor comprensión a continuación presentaremos unos ejemplos:
1er ejemplo: Sea la función numérica F representada por el diagrama sagital.
Es decir: F^ =^ {( 1,1 ,) ( 2, 3 ,) ( 3 , 2 ,) ( 4 , 4)}, es Inyectiva puesto que a cada elemento del rango le corresponde solo un elemento del dominio.
2do ejemplo: Analicemos a la función G definida por el diagrama sagital.
G = (^) { ( 1, 3 (^) ) , (^) ( 2 ,1 ,) ( 3 , 2 ,) ( 4 ,1)}, no es Inyectiva, pues el elemento “1” del rango le corresponden dos elementos del dominio: "2 ∧4 "
Definición práctica Una función F es Inyectiva si para cada:
x 1 , x 2 ∈ Dom^ (^ F), se cumple la relación.
F (^) ( x (^1) ) = F (^) ( x (^2) ) ⇒ x 1 =x 2
Función suryectiva, sobreyectiva: Una función F es suryectiva si el rango o imagen de F coincide con el conjunto de llegada, es decir, dada la función F : A → B, F es Suryectiva si y solamente si ∀ y ∈ B ∃ x ∈ A / F (^ x )= y, equivalentemente: Ran (^ F )=B
Observación: Si se da una función y no es específica el conjunto de llegada la función es implícitamente suryectiva.
Ejemplo: Determinar si la función definida por F (^ x )^ = x 2 + 3x + (^1) ; x^ ∈^ −3 ; 2^ ]es suryectiva.
Resolución: Como no se especifica el conjunto de llegada, se podrá afirmar que la función F definida por: F (^ x )^ = x 2 + 3x + (^1) ; x^ ∈^ −3 ; 2^ ], es suryectiva.
y
x
Vértice
I) a > (^0) F : y (^) = ax (^2) + bx (^) +c
Y
X
Vértice
F : y = ax 2 + bx +c
II) a < 0
1 2 3 4
A 1 2 3 4
B
F
A
B
G
Resolución: Para la función dada:
F ={ ( 2,1 ,) ( 3, 4 ) , ( 4, 2)}
Su Inversa F^ −^1 , viene dada por:
F −^1 = (^) { ( 1, 2 , 4, 3 ,) ( ) ( 2, 4)}; donde:
Dom F^ (^ −^1 )^ = (^) { 1, 4 , 2 (^) } =Ran (^ F)
Ran (^ F −^1 )^ = { 2, 3, 4 } =Dom (^ F)
EJERCICIOS RESUELTOS
01. Sea: A^ =^ {^ 1;2;3} y dadas las relaciones
R 1 (^) y R (^2) en A definidas: R 1 = (^) { ( x , y (^) )∈ A × A / x ( x^ −^ xy^ +^ y )=
x 2 − xy + y^2 = 7
( −^ y^ ) −^ y^ ( −^ y^ )+^ y =
(^2 )
3 y 2 − 15 y + 18 = 0
y 2 − 5 y + 6 = 0
y = 3 ⇒ x= 2
y = 2 ⇒ x= 3 c.s = (^) {( 2 3 3 2; (^) ) ( ; ) (^) } Rta.
04. Halle el dominio de la función: y^ =^ f( x); tal
que f(^ x) =^ x^ −^2 +^6 −x
A) 2;4 B) 2;6 C) 2;
D) 2;6 E) 6;^ ∞
Resolución: x − 2 ≥ 0 ∧ 6 − x ≥ 0
x ≥ 2 x^ ≤^6
x ∈2;6 Rta.
05. Halle el dominio de:
( )
2 x
f 1 x
x
A) −∞ −; 1 B) ℝ −{ (^0) } C) − 1;1 −{ (^0) }
D) ℝ E) ℝ− − 1;1
Resolución:
Como f^ ( x) >^0 , pues x ≠ 0 ,
entonces: 1 − x^2 ≥ 0
x^2 − 1 ≤ 0 ( x^ −^1 )^ ( x^ +^1 )^ ≤^0
x = 1 x = -
x ∈ − 1;1
∴ Dom f ∈ − 1;1 −{ 0 } Rta.
06. Si M = (^) {( 2;6 ; 1) ( ;a − b ; 1) ( ;4 ; 2;a) ( +b ; 3) ( ;4)} es una función, halle: a^2 +b^2
A) 12 B) 16 C) 32 D) 26 E) 27
Resolución:
(2;6)= (2;a+b) ∧ ( 1;a − b) =(1;4 )
→ 6 = a+b → a – b = 4
a +b = 6 +
a – b = 4
2a = 10
a = 5
b = 1→ a^2 + b^2 = 52 + 12 = 26 Rta.
07. Dada la función: f : ℝ → ℝ/ f (^ x )= 3x − 2 g : ℝ → ℝ/ g (^ x )= 2x + 2 Entonces la compuesta: g −^1 fviene dada por:
a) 3x^2 2x 2
−
b) 2x 2 3x 2
− c) 3x^4 2
d)
3x 4 2
e)
2x 4 3
Resolución: → Primero hallemos la inversa de la función “g”
g (^ x )= y = 2x + 2
→ Haciendo los cambios de variable.
x = 2y + 2
→ Luego:
x 2
y
→ Es decir: (^ )
g 1 x x^2 2
→ Nos piden: (^) ( (^ )) g −^1 f =g −^1 f x
→ Remplazando” f x(^ )”:
g −^1 f = g −^1 (^ 3x − 2 ) .... ( α)
→ Ahora encontremos, g^ −^1 (^ 3x^ −^2 ):
g 1 (^ 3x 2 )^ (^ 3x^2 )^2 2
g 1 (^ 3x 2 ) 3x^4 2
→ Remplazando esta ultima en ... (^ α ):
g −^1 f= 3x^4
Rta.
07. Dadas las funciones:
{^ ( ) (^ ) (^ ) (^ )}
f 2 ; 1 , 2 ; 3 , 1 ; 5 , 3 ; 4 , 7 ; 8
g 3 ; 2 , 7 ; 2 , 3 ; 1 , 2 ; 4
Determine la suma de los elementos del
Ran ( f + g).
A) 15
B) 8
C) 10
D) 12
E) 14
08. Calcular el dominio de la siguiente función:
x 1 f(x) 2 x
−
−
A) 1, 2
B) [ −1, 2]
C) −1, 2]
D) [^ 1, 2]
E) −^ 2,^ −^1 ]
09. Hallar el rango de:
H (^ x )^ 3x^1 x 1
= −
A) y^ ∈^ 0 ;^ + ∞^ −{^3 }
B) y^ ∈^ ^ 0 ;^3
C) y^ ∈^ 0 ;^3
D) y^ ∈^ 3 ;+ ∞
E) y^ ∈^ 0 ;^ + ∞^ −{^3 }
10. Si f es una función constante real positiva que verifica
3 f 0 2 f 1 2 f 5 f 2 2
Calcular M = f( 2 ) − 3 f( 1 )
A) 2
B) 1
C) 0
D) -
E) -
11. Si la función real:
fx = 4 − 3 x− x^2 presenta dominio:
Dom ( f) = ( m− n;m+ n). Proporcione “n”.
A) -3/
B) 5/
C) -3/
D) -2/
E) -3/
12. La función
fx = x^2 + 1 + 2 x+ x^2 + 16 x+ 64 es
constante en^ a;b. Calculara + b.
A) -
B) -
C) -
D) -
E) -
13. Sean las funciones
{^ ( )^ (^ )^ (^ )^ (^ )}
{^ ( ) (^ ) (^ ) (^ )}
f 2 ; 3 , 1 ; 4 , 1 ; 5 , 4 ; 6
g 3 ; 4 , 2 ; 1 , 5 ; 7 , 0 ; 7
Halle el valor de:
T = ( f g) ( f( 2 )) +( gf) ( g( − 2 ))
A) 9
B) 11
C) 13
D) 15
E) 17
14. Dada la gráfica de f:
Determine la gráfica de f( 2 −x)
15. Sean las funciones tales que:
( ) ( )
( )( ) ( )( )
fx 3 x 7 ;x gx 2 x k;x
fg x gfx
Determine el valor de k.
A) -15/ B) -13/
C) -11/
D) -9/
E) -7/
16. Sean f, g, h funciones tales que
( )
fx = 4 x− x^2 + x;
( )
x 2 gx 1 x 3
( ) 2
x hx 4 x 4
, determine el dominio
de la función (^) ( f +g).h
A) 1 ; 2
B) 0 ; 2 −{ (^1) }
C) 2 ;+∞ D) (^2) ; 4 − { 3 }
E) (^) 0 ; 4 − { 1 ; (^2) }
17. Dada la gráfica de la función f.
Calcule el valor de (^) ( 1 + x 1 )( 1 + x 2 )−x 1 x 2
A) 7
B) 7/
C) 5
D) 6
E) 9
f
B)
A)
C)
D)
E)
3
− 7
= + +
