¡Descarga Matemáticas para Ingenieros: Matrices, Ecuaciones Lineales y Relaciones Binarias y más Apuntes en PDF de Matemáticas solo en Docsity!
PARA INGENIEROS
UNIDAD I: MATRICES, SISTEMA DE ECUACIONES LINEALES Y RELACIONES BINARIAS
SEMANA 01: MATRICES - TIPOS Y OPERACIONES
SOLUCIÓN
Visita el video clase – teoría en el Canal Tu Ciencia
Ejercicios de reforzamiento
1. Construir la siguiente matriz
ij^ 2x
A a
tales que:
a)
ij
a i j 2
b)
2 j
ij
j 2 i j
a
i j i j
Solución:
a) La matriz es de la forma
11 12
21 22
a a
A
a a
, donde sus elementos son
ij
a i j 2
,luego:
ij
a i j 2
11
a 1 1 2 0 12
a 1 2 2 1
21
a 2 1 2 1 22
a 2 2 2 2
Por lo tanto:
A
.
b) La matriz es de la forma
11 12
21 22
a a
A
a a
, donde sus elementos son
2 j
ij
j 2 i j
a
i j i j
,luego:
i j i j
2 j
ij
a j 2 ij
a i j
2 2
12
a 2 2 =
2 1
11
a 1 2 =-
2 1
21
a 1 2 =- 22
a 2 2=
Por lo tanto:
A
.
2. Halle la siguiente operación:
Solución:
PARA INGENIEROS
^ ^ ^ ^ ^ ^
^
^
3. Sean las matrices
A
y
B
. Hallar si es posible 2 A^ ^ B.
Solución:
2A B 2 5 0 1 3 6 2
^
^ ^ ^
4. Sean las matrices:
3 3
A
y
3 3
B
. Calcule AB
Solución:
3 3 3
3 3
3
^
3 3
PARA INGENIEROS
Si b = 1 entonces a = 2 + b = 3 y x = a − b = 3 − 1 = 2.
Por lo tanto la matriz A es:
A 2 3 1
8. Sean las matrices
1 3
4 0 ,
0 1
A
(^)
3 0
,
1 4
B
1 2 3
.
3 1 5
C
Calcule (si es posible):
T
A C ,
T
C B
Solución:
La matriz
1 3
2 1
3 5
T
C
, es de orden 3x2, entonces si es posible calcular
T
C B y
T
A C .
T
1 3 1 3 2 0
A C 4 0 2 1 6 1
0 1 3 5 3 4
(^) .
T
1 3 3 3 0 12 0 12
3 0
C B 2 1 6 1 0 4 5 4
1 4
3 5 9 5 0 20 4 20
(^)
Desarrolle los siguientes problemas
- La compañía Wish produce cuatro tipos distintos de altavoces en tres plantas diferentes. La
producción del mes de mayo fue: En la planta I, 320 del modelo A, 280 del modelo B, 460 de
modelo C y 280 del modelo D; en la planta II, 480 del modelo A, 360 del modelo B, 580 de
modelo C y ninguno del modelo D; en la planta III, 540 del modelo A, 420 del modelo B, 200 de
modelo C y 880 del modelo D. La producción del mes de junio fue: En la planta I, 210 del
modelo A, 180 del modelo B, 330 de modelo C y 180 del modelo D; en la planta II, 400 del
modelo A, 300 del modelo B, 450 de modelo C y 40 del modelo D; en la planta III, 420 del
modelo A, 280 del modelo B, 180 de modelo C y 740 del modelo D.
Exprese estos datos en forma matricial y determine la producción total en los dos meses.
Solución:
MA MB MC MD
P1 320 280 460 280
MAYO P2 480 360 580 0
P3 540 420 200 880
MA MB MC MD
P1 210 180 330 180
JUNIO P2 400 300 450 40
P3 420 280 180 740
PARA INGENIEROS
Producción total MAYO JUNIO
320 280 460 280 210 180 330 180
480 360 580 0 400 300 450 40
540 420 200 880 420 280 180 740
530 460 790 460
880 660 1030 40
960 700 380 1620
- Una empresa usa cuatro diferentes materias primas M 1 , M 2 , M3 y M 4 en la elaboración de su
producto. El número de unidades de M 1 , M 2 , M 3 y M 4 usadas por unidad del producto son 4, 3, 2,
y 5 respectivamente. El costo por unidad de las cuatro materias primas es de 5, 7, 6 y 3 nuevos
soles, respectivamente. Exprese el costo total de las materias primas por unidad del producto.
Solución:
4 3 A 2 5 y
B 5 7 6 3
entonces
BA 5 7 6 3 20 21 12 15 68
.
Por lo tanto el costo total de las materias primas por unidad del producto es de 68 soles.
- Una empresa de muebles fabrica tres modelos de estanterías: A; B y C. En cada uno de los
tamaños, grande y pequeño. Produce diariamente 1000 estanterías grandes y 8000 pequeñas
de tipo A, 8000 grandes y 6000 pequeñas de tipo B, y 4000 grandes y 6000 pequeñas de tipo
C. Cada estantería grande lleva 16 tornillos y 6 soportes y cada estantería pequeña lleva 12
tornillos y 4 soportes, en cualquiera de los tres modelos.
a) Representar esta información en dos matrices.
b) Hallar una matriz que represente la cantidad de tornillos y de soportes necesarios para la
producción diaria de cada uno de los modelos de estantería.
Solución:
a)
g p
C 1000 8000
D B 8000 6000
A 4000 6000
con filas A,B,C y columnas g,p.
t s
g 16 6
E
p 12 4
con columnas tornillos (t) y soportes(s) y filas g, p,
b)
Entonces multiplicamos:
PARA INGENIEROS
la siguiente
T
V
Cámara
s
IPo
d
Distribuidor
1
22 34 16
Distribuidor
2
14 40 20
Si la dirección establece ventas netas para junio de un 50% de aumento sobre las ventas de
mayo, escriba la matriz que representa las ventas proyectadas para junio.
Solución:
1
2
TV Cámaras IPod
D 150%(22) 150%(34) 150%(16)
J
D 150%(14) 150%(40) 150%(20)
TV Cám IPod
1
2
D 33 51 24
J
D 21 60 30
Esta matriz representa las ventas (TV, Cam, IPod) proyectadas para el mes de mayo de cada
distribuidora (D1, D2)
- Los ingresos mensuales de una fábrica ensambladora de automóviles, se presenta en la
matriz:
I
indicando las columnas los modelos M1, M2 y M3 que se
ensamblan; y las filas indican las plantas A y B, dedicadas a este proceso; respectivamente. Si
los costos de producción mensuales se presentan en la matriz:
C
.
¿Halle la matriz U, que represente las utilidades en cada planta, indicando la planta que genera
la menor utilidad, así como el modelo que genera la menor utilidad?
Solución:
Sabemos que la Utilidad es igual a la diferencia entre el ingreso total y el costo total. Sea la
matriz
I
de filas A, B, y columnas M1, M2, M3. Y sea la matriz de
C
. Entonces obtenemos la Utilidad de la siguiente manera (
U I C
),
U
con filas A, B y
columnas M1, M2, M3,
Interpretamos; el modelo que genera menor utilidades es M1 y se da en Planta A, con solo
PARA INGENIEROS
1000 de utilidad.
- La compañía de dulces “QUE RICO” consta de dos locales, uno en Comas y otro en Chorrillos.
”QUE RICO” recibió un pedido por 500 tortas y 1000 piononos. La gerencia ha decidido
elaborar 300 tortas y 700 piononos en su local de Víctor Larco y el resto del pedido en La
esperanza. Cada torta requiere 300 gramos de harina y 150 gramos de azúcar, mientras que
cada pionono requiere 100 gramos de harina y 30 gramos de azúcar. La harina cuesta 2 soles
el kilogramo y el azúcar 3,50 soles el kilogramo.
a) Haciendo uso de operaciones matriciales, encuentre la matriz que contenga la cantidad de
insumos (harina y azúcar) que será necesario utilizar en cada local para cumplir con el
pedido.
b) Haciendo uso de operaciones matriciales, encuentre la matriz que contenga el gasto, en
soles, que cada local debe realizar para la compra de los insumos.
Solución:
Consideremos las siguientes matrices:
A: Cantidad demandada de tortas y piononos.
B: Cantidad de materia prima necesaria para fabricar una torta y un pionono.
C: Costo por unidad de la materia prima (harina y azúcar)
Tortas Piononos A =^
Victor Larco
La Esperanza
(
)
Harina azucar
Tortas 300 150
B
Pionono 100 30
Costo
Harina 2
C
Azucar 3 5.
a) Para la primera parte debemos multiplicar AB.
AB
Donde AB se da en gramos:
Harina Az ù car AB =
Victor L arco
La Esperanza
(
)
Convirtiendo las cantidades de insumos a kg se tiene:
Harina Az ù car AB =
Victor L arco
La Esperanza
(
)
b) Para esta parte multiplicamos la cantidad total de insumos (AB) por el costo unitario de cada
insumo (C)
PARA INGENIEROS
1
2
3
BV BARR YAN
S 8220 8950 8290
AB S 5640 6020 5730
S 4920 4520 4940
En las tres semanas podemos observar que los costos en BV, BARR y YAN de 187 80, 20390
y 18960 respectivamente, lo cual indican que el proveedor que ofrece mayor beneficio es BV.
