Sistema de Coordenadas Tridimensionales: Definición, Ecuaciones y Ejemplos, Diapositivas de Matemáticas

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Geometría en el

espacio

Sistema de

coordenadas

tridimensionales

• Programa
• Ingeniería de Sistemas
• Docente
• Lina Marcela Mosquera Chaverra

Sistema de

Coordenadas

tridimensionales

Se sabe que un punto en el plano puede representarse como un par ordenado (a, b) de números reales, donde a es la coordenada x y b es la coordenada y, por esta razón se dice que un plano es bidimensional. Por su parte para localizar un punto en el espacio, se requieren tres números (a, b, c). Figura. Ejes coordenados

Sistema de

Coordenadas

tridimensionales

Una recta ordenada (x, y, z) se asocia con cada punto P del espacio geométrico tridimensional. La distancia dirigida de P al plano yz en la coordenada x, su distancia dirigida al plano xz es la coordenada y y la coordenada z es la distancia dirigida de P al plano xy. Estas tres coordenadas se denominan coordenadas cartesianas rectangulares de P, y existe una correspondencia uno a uno, denominada sistema coordenado cartesiano rectangular, entre las ternas ordenadas de números reales y los puntos del espacio geométrico tridimensional. Figura. Plano coordenado

Sistema de

Coordenadas

tridimensionales

Ejemplos de rectas paralelas Una recta paralela al eje x, una recta paralela al eje y, y una recta paralela al eje z.

Ecuación del plano en

R

Toda superficie plana tiene como característica común su vector normal; por cuanto este es constante sobre todo el plano π (las superficies que no sean planas no tienen un vector normal constante), aprovechando esta característica, supongamos que el plano π tiene como vector normal: N : (a, b, c) y contiene al punto P 0 : (x 0 , y 0 , z 0 ). El punto P : (x, y, z) representa un punto cualquier del planoπ ; entonces: Vector normal: vector perpendicular al plano.

Ecuación del plano en

R

Como V Pertenece a π, es perpendicular a

Ecuación del plano π en R

3

a, b y c, son las coordenadas del vector normal y d se puede

calcular remplazando en la ecuación del plano el punto P 0

Distancia de un punto a

un plano

La distancia de un punto a un plano se define

como:

Ejemplo: Encontrar la distancia del punto P 0 :

(-1, 2, -4) al plano que contiene a los puntos

Ejemplo: Encontrar la distancia del punto P 1 :

(2,2,-3), P 2 (3, -1,4) , P 3 (-2,5,3)

Distancia de un punto a otro de una recta paralela a uno de los ejes coordenados.

1. Si A (x 1 , y, z) y B (x 2 , y, z) son dos puntos de una recta paralela al eje x, entonces la distancia dirigida de A a B, denotada por AB, está dada por.
2. Si C (x, y 1 , z) y D (x, y 2 , z) son dos puntos de una recta paralela al eje y, entonces la distancia dirigida de C a D, denotada por CD, está dada por.
3. Si E (x, y, z 1 ) y F (x, y, z 2 ) son dos puntos de una recta paralela al eje z, entonces la distancia dirigida de E a F, denotada por EF, está dada por.

Definición de una

esfera

Una esfera es el conjunto

de todos los puntos del

espacio tridimensional que

equidistan (centran) de un

punto fijo. El punto fijo se

denomina centro de la

esfera y la medida de la

distancia constante se

llama radio.

La ecuación de la esfera de

radio r y centro en (h, k, l)

es:

Figura. Esfera de radio r y centro (h, k l)

Definición de una

esfera

La gráfica de cualquier ecuación de segundo

grado en x, y y z, de la forma es una esfera,

un punto o el conjunto vacío.

Esfera con centro en el origen, la ecuación

queda:

Ejemplo:

Determine la gráfica de la ecuación