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ECUACIONES DIFERENCIALES
METODO ABREVIADO
METODO ABREVIADO
SOLUCION DE ECUACIONES DE ORDEN SUPERIOR
Este es otro de los métodos que nos permite resolver problemas de forma rápida, pero que solo es para
algunos tipos de funciones f(x), tal como podemos apreciar.
I ) (^) f x( ) p n
= ( )x II )^ f x( ) P n
( ) ex
α ⋅x = ⋅
III ) (^) f x( ) P n
( ) cosx⋅ ( βx) Q m
= + ( ) sinx⋅ (β x)
IV ) (^) f x( ) e
α ⋅x P n
( ) cosx⋅ ( βx) Q m
Primera Propiedad del Operador Derivada
Sea x la variable independiente, aunque en otros casos puede ser t o cualquier otra letra previamente
establecida.
Se define a:
D
x
d
d
= , como el operador primera derivada.
D
2
2 x
d
d
2
= , como el operador segunda derivada
D
3
3 x
d
d
3
= , como el operador tercera derivada
D
n
n x
d
d
n
= , como el operador n-sima derivada
Consideremos para la primera propiedad, funciones del tipo exponencial es decir:
f x( ) e
α ⋅x = , donde^ α^ es una constante. Aplicando el operador derivada a este tipo de funciones se tiene:
D e
α ⋅x
( ) α e
α ⋅x = ⋅ D
2 e
α ⋅x
2 e
α ⋅c = ⋅ D
3 e
α ⋅x
3 e
α ⋅x = ⋅ ........ ..^ D
n e
α ⋅x
n e
α ⋅x = ⋅
Sumando las anteriores igualdades se tiene:
D
n D
n 1−
3
2
( + +D) e
α ⋅x ⋅ α
n α
n 1−
3
2
( + +α) e
α ⋅x
= (^ )
P D( ) e
α ⋅x ⋅ P ( α) e
α ⋅x = ⋅
Si multiplicamos la ecuación por:
P D( ) P⋅ (α )
se tiene
P D( )
e
α ⋅x ⋅
P (α )
e
α ⋅x = ⋅ P (α ) ≠ 0
NOTA: La expresión^
P D( )
, representa el operador inverso del polinomio P(D)
1 DE 19 R.M.S
ECUACIONES DIFERENCIALES
METODO ABREVIADO
EJEMPLO 1
2 x
y
d
d
2
x
y
d
d
− ⋅ + 2y 10 e
4x = ⋅ y p
P ( α)
e
α ⋅x = ⋅ ;^ P ( α) ≠ 0
D
2
( − 3D+ 2 ) ⋅y = 0 D
2
( − 3D+ 2 ) factor →(D − 1 ) ⋅( D − 2 )
y c
C
e
x ⋅ C 2
e
2x = + ⋅ D
2
( − 3D+ 2 ) substitute D, = 4 → 6
y p
P 4( )
⋅ 10 e
4x = ⋅ y p
e
4x = ⋅ y y c
y p
= + C
e
x ⋅ C 2
e
2x
e
4x = + ⋅
Segunda Propiedad del Operador Derivada
Esta propiedad se aplica a funciones polinomicas de la forma:
p n
( )x a o
a 1
x
2
x
n = + ⋅
P D( ) y⋅ a o
a 1
x
2
x
n = + ⋅ y p
P D( )
a o
a 1
x
2
x
n
Donde
P D( )
es un polinomio en "D", calculando en serie de orden "n". (División continua y forma
ascendente).
Por ejemplo, si P D( ) a o
a 1
= + ⋅D, se tiene
P D( )
a o
a 1
a o
2
= − ⋅D, que es la serie de orden 1
P D( ) a o
a 1
D
2 = + ⋅ ,se tiene
P D( )
a o
a 1
a o
2
− ⋅D
a 1
2
a o
2
a 2
a o
a o
3
D
2 = + ⋅ ,
que es la serie de orden 2.
Lo anterior depende si el polinomio es de grado 1,2,3,4,...n.
EJEMPLO 2 Obtener la solución general de la siguiente ecuación lineal no homogénea.
2 x
y
d
d
2
x
y
d
d
− ⋅ + 6y 4x
2 = − 7x+ 5
2 DE 19 R.M.S
ECUACIONES DIFERENCIALES
METODO ABREVIADO
D
2 y + 5D+ 6 factor →(D + 3 ) ⋅( D + 2 ) c
c 1
e
− 3 x ⋅ c 2
e
− 2 x = + ⋅ y c
c 1
e
− 3 x ⋅ c 2
e
− 2 x = + ⋅
y p
D
2
= ⋅ 20 ⋅cos 4x( )
2 − + 5D+ 6
= ⋅ cos 4x( )
y p
D − 2
D + 2
D + 2
= ⋅ ⋅cos 4x( ) 4
2 − − 4
= ⋅ ⋅( D + 2 )⋅cos 4x( )
y p
= − (− 4 ⋅ sin 4x( )+2 cos 4x⋅ ( ))
= ⋅( 2 sin 4x⋅ ( )−cos 4x( ))
y c 1
e
− 3 x ⋅ c 2
e
− 2 x
= + ⋅(2 sin 4x ⋅ ( )−cos 4x( ))
Cuarta Propiedad del Operador Derivada
En esta propiedad se considera una función cualquiera de x, llamada u(x) multiplicada por la función
exponencial (^) e
αx es decir: (^) u x( ) e
αx ⋅.
Esta propiedad permite anteponer la exponencial al operador derivada, afectando a este ultimo
únicamente a la función u(x).
Si en lugar del operador D aplicamos a este tipo de funciones un P(D)(polinomio en D), entonces:
F D( ) u x⋅ ( )e
αx ⋅ e
αx = ⋅ F D( +α)⋅u x( ) Entonces^ y p
F D( )
⋅ u x( )e
αx = ⋅ e
αx 1
F D( +α)
= ⋅ ⋅u x( )
EJEMPLO 4
Obtener la solución general de la siguiente ecuación diferencial lineal no homogénea:
3 x
y
d
d
3
2 x
y
d
d
2
x
y
d
d
2x = ⋅ ⋅cos 3x( )
D
3 6 D
2
solve
D
→ y c
c 1
e
−x ⋅ c 2
e
− 2 x
e
− 3 x = + ⋅
y p
D
3 6 D
2
8 e
2x
= ⋅(^ ⋅ ⋅cos 3x( ))
4 DE 19 R.M.S
ECUACIONES DIFERENCIALES
METODO ABREVIADO
y p
8 e
2x ⋅
(D + 2 )
3 6 (D + 2 )
2
= ⋅ ⋅cos 3x( )
( D + 2 )
3 6 (D + 2 )
2
- ⋅ + 11 ⋅( D + 2 )+ 6 expand D
3 12 D
2 → + ⋅ + 47 D⋅ + 60
y p
8 e
2x ⋅
D
3 12 D
2
= ⋅cos 3x( ) 8 e
2x ⋅
D 3
2 −
2 −
+ + 47 D⋅ + 60
= ⋅ ⋅cos 3x( )
D 3
2
⋅ (^ − ) 12 3
2
+ (^ − )+ 47 D⋅ + 60 expand →38 D⋅ − 48
y p
8 e
2x ⋅
38 D⋅ − 48
38D + 48
38D + 48
= ⋅ ⋅cos 3x( ) 8 e
2x ⋅
2 D
2 ⋅ 48
2 −
= ⋅ (38 D ⋅ + 48 ) cos 3x⋅ ( )
y p
8 e
2x 1
2 3
2 −
2 −
⋅ ( 38 D⋅ + 48 ) cos 3x⋅ ( )
2 3
2
⋅( −^ ) 48
2 − →− 15300
y p
8 e
2x ⋅
= ⋅( − 114 sin 3x( ) +48 cos 3x⋅ ( ))
8 e
2x ⋅
⋅ ( − 114 sin 3x( ) +48 cos 3x⋅ ( ))simplify
4 e
2 x⋅ ⋅ ⋅( 8 cos 3 x⋅ ( ⋅)−19 sin 3 x⋅ ( ⋅ ))
y p
4 e
2 x⋅ ⋅ ⋅(8 cos 3 x ⋅ ( ⋅ )−19 sin 3 x⋅ ( ⋅))
y c 1
e
−x ⋅ c 2
e
− 2 x
e
− 3 x
4 e
2 x⋅ ⋅ ⋅( 8 cos 3 x⋅ ( ⋅)−19 sin 3 x⋅ ( ⋅ ))
5 DE 19 R.M.S
ECUACIONES DIFERENCIALES
METODO ABREVIADO
1 ) y
p
F D( )
P
n
= ⋅ ( )x A0 + A1 D⋅ A2 D
2
n
P
n
= ⋅ ( )x ;^ A0 ≠ 0
EJEMPLO 1 y'' + y x
2 = +2x f1 x( ) x
2 := +2x
D
2
solve
D
i
−i
→ y p
D
2
= ⋅ f x( ) yc := C1 cos xC1⋅ ( )+C2 sin x⋅ ( )
Realizamos la división continua
que se puede simular con series:
D
2
series D, , 3 1 D
2 → −
yp1 x( ) f1 x( ) 2 x
f1 x( )
d
d
2
− x
2 := → + 2 x⋅ − 2 yp1 x( ) x
2 → + 2 x⋅ − 2 y = yc +yp
2 ) y
p
F D( )
P
n
= ⋅ ( )x A0 + A1 D⋅ A2 D
2
n
P
n
= ⋅ ( )x ;^ A0 = 0
EJEMPLO 2 y'' + 4 y'⋅ x
3 = +3x f2 x( ) x
3 := +3x
y p
D
( D + 4 )
= ⋅f x( )
D + 4
series D, , 4
D
D
2
D
3
D
f x( ) x
= d
D
2
f x( ) x x
d
= d .......^
D
n
x x ...
... f x( ) x
⋅ d
d
= d
yp2 x( ) x
f2 x( )
x
f2 x( )
d
d
2 x
f2 x( )
d
d
2
3 x
f2 x( )
d
d
3
d
x
3
9 x
2 ⋅
29 x⋅
yp2 x( )
x
3
9 x
2 ⋅
29 x⋅
→ + yc C1 C2 e
− 4 x = + ⋅
7 DE 19 R.M.S
ECUACIONES DIFERENCIALES
METODO ABREVIADO
3) f(x)=k e
αx y (^) F (α ) ≠ 0 y p
F D( )
ke
αx = ;^ y p
k e
αx 1
F (α )
EJEMPLO 3 y'' − 5y'+ 6y e
4x = q3 x( ) e
4x :=
D
2 − 5D+ 6 solve D,
→ y p
D
2 − 5D+ 6
e
4x
= ⋅(^ )
y p
e
4x 1
2 − 5 4⋅ + 6
= ⋅ y p
e
4x
f3 D( ) D
2 := − 5D+ 6 yp3 x D( , )
f3 4( )
= ⋅q3 x( ) yp3 x D( , )
e
4 x⋅
4 ) f(x)= ke
αx y (^) F (α ) = 0 ; (^) y p
F D( )
ke
αx = ;^ y p
ke
αx 1
F D( +α)
EJEMPLO 4 y'' − 5y'+ 6y e
2x = q4 x( ) e
2x :=
D
2 − 5D+ 6 solve D,
→ f4 D( ) D
2 := − 5D+ 6 y p
D
2 − 5D+ 6
e
2x = ⋅
y p
e
2x 1
( D + 2 )
2 − 5 ⋅(D + 2 )+ 6
y p
e
2x 1
D
2 −D
= ⋅ e
2x 1
D
D − 1
D − 1
series D, , 1 → − 1 y p
e
2x 1
D
= ⋅ (− 1 ) y p
e
2x = (− x) y p
−x e
2x = ⋅
yp4 x D( , ) q4 x( )
f4 D( + 2 )
= ⋅ factor yp4 x D( , )
e
2 x⋅
D D
2 −
yp e
2x − 1 x
= ⋅ d yp x e
2 x⋅ 1 → = − ⋅
D − 1
series D, , 1 →− 1
8 DE 19 R.M.S
ECUACIONES DIFERENCIALES
METODO ABREVIADO
7) f(x)= K sin⋅ ( βx +φ) y F β
2 −
a) (^) y p
F D
2
= K sin⋅ ( βx +φ) ;^ y p
x
D
F D( )
d
d
= ⋅ ⋅(K sin ⋅ ( βx +φ))
b) (^) y p
F D
2
= K cos⋅ ( β x +φ) ;^ y p
x
D
F D( )
d
d
= ⋅ ⋅( K cos⋅ ( βx +φ))
EJEMPLO 6 y'' + 16y = 10 cos 4x⋅ ( ) q6 x( ) :=10 cos 4x⋅ ( )
f6 D( ) D
2 := + 16 D
2
4i
−4i
y p
D
2
= ⋅ 10 ⋅cos 4x( ) y p
x
2 D⋅
= ⋅ ⋅ 10 ⋅cos 4x( ) yp
= x sin 4 x⋅ ( ⋅ )
yp6 x D( , ) x
D
f6 D( )
d
d
= ⋅ q6 x( )factor yp6 x D( , )
5 x⋅ ⋅cos 4 x( ⋅ )
D
yp 5 cos 4x( ) x
= d yp
5 sin 4 x⋅ ( ⋅)
→ = yp
= x sin 4 x⋅ ( ⋅ )
8) f(x)= x V x⋅ ( ) y
p
F D( )
= x V x⋅ ( ) x
F D( )
⋅ V x( )
D
F D( )
d
d
( F D( ))
2
= − ⋅V x( ) ;^ F (α ) ≠ 0
EJEMPLO 7 y'' − 5y'+ 6y x e
5x = ⋅ V7 x( ) e
5x =
y p
D
2 − 5D+ 6
⋅x e
5x = ⋅ y p
x
D
2 − 5D+ 6
⋅ e
5x ⋅
2 D⋅ − 5
D
2 − 5D+ 6
2
e
5x = − ⋅
y p
x e
5x ⋅
2 − 5 5⋅ + 6
⋅ e
5x 2 5⋅ − 5
2 − 5 5⋅ + 6
2
yp
5 e
5 x⋅ ⋅
x
e
d 5x
d
x e
5 x⋅ ⋅
= + yp
x e
5 x⋅ ⋅
5 e
5 x⋅ ⋅
10 DE 19 R.M.S
ECUACIONES DIFERENCIALES
METODO ABREVIADO
EJEMPLO 7.1 y'' − 5y'+ 6y x e
5x = ⋅ V7 x( ) e
5x :=
y p
D
2 − 5D+ 6
⋅x e
5e
x
= ⋅ y p
e
5x 1
( D + 5 )
2 − 5 ⋅(D + 5 )+ 6
= ⋅ ⋅x
( D + 5 )
2 − 5 ⋅(D + 5 )+ 6 expand D
2 → + 5 D⋅ + 6 y p
e
5x 1
D
2
= ⋅ ⋅x
D
2
- 5 D⋅ + 6 series D, , 2 → 6 +5 D⋅ y p
e
5x = ⋅ ( 6 +5 D⋅ )⋅x
y p
e
5x = (6x + 5 )
EJEMPLO 7.2 y'' − 5y'+ 6y x e
5x = ⋅ V7 x( ) e
5x =
f7 D( ) D
2 := − 5D+ 6 q7 x( ) :=x V7 x⋅ ( )
yp7 x D( , ) x
f7 5( )
⋅ e
5x ⋅
D
f7 D( )
d
d
f7 5( )
2
e
5x := − ⋅ yp7 x D( , ) expand
5 e
5 x⋅ ⋅
D e
5 x⋅ ⋅
x e
5 x⋅ ⋅
yp
5 e
5 x⋅ ⋅
x
e
d 5x
d
x e
5 x⋅ ⋅
= + yp
x e
5 x⋅ ⋅
5 e
5 x⋅ ⋅
→ = − y p
e
5x = (6x + 5 )
EJEMPLO 8 y'' + 3y = 2 sin 3x⋅ ( + 4 ) q8 x( ) :=2 sin 3x⋅ ( + 4 )
f8 D( ) D
2 := + 3 yp8 x D( , )
f8 D( )
⋅q8 x ( )substitute D
2 3
2 , = −
sin 3 x( ⋅ + 4 )
yp8 x 3i( , )
collect
sin 3x( + 4 )
sin 3 x( ⋅ + 4 )
→ − yp = yp8 x 4( , ) yp
sin 3 x( ⋅ + 4 )
11 DE 19 R.M.S
ECUACIONES DIFERENCIALES
METODO ABREVIADO
EJEMPLO 11 y'' + 25y 5 e
2x = ⋅ cos 5x( ) q11 x( ) 5 e
2x := ⋅ cos 5x( )
f11 D( ) D
2 := + 25 yp11 x D( , )
f11 D( + 2 )
⋅( q11 x ( ))simplify
5 cos 5 x⋅ ( ⋅ )e
2 x⋅ ⋅
D
2
yp 5 e
2x ⋅
D
2
= ⋅ cos 5x( )substitute D
2 5
2 , = − , simplify yp
5 cos 5 x⋅ ( ⋅)e
2 x⋅ ⋅
4 D⋅ + 4
y p
e
2x ⋅
D + 1
D − 1
D − 1
= ⋅ ⋅cos 5x( ) y p
e
2x ⋅
D − 1
D
2 − 1
= ⋅ ⋅cos 5x( )
yp
e
2x ⋅
x
( cos 5 x( ⋅))
d
d
−cos 5 x( ⋅ )
D
2 − 1
= substitute D
2 5
2 , = − yp
5 e
2 x⋅ ⋅ ⋅( cos 5 x( ⋅) +5 sin 5 x⋅ ( ⋅ ))
yp
5 e
2 x⋅ ⋅ ⋅(cos 5 x ( ⋅) +5 sin 5 x⋅ ( ⋅))
y'' − 2y'+ 2y e
x = ⋅sin x( ) q12 x( ) e
x := ⋅sin x( ) EJEMPLO 12
f12 D( ) D
2 := − 2D+ 2 yp12 x D( , )
f12 D( + 1 )
⋅( q12 x ( ))simplify
e
x ⋅sin x( )
D
2
yp x e
x 1
D
D
2
d
d
= ⋅ ⋅q12 x( ) yp
x e
2 x⋅ ⋅ ⋅sin x( )
2 D⋅
yp
x
e
x ⋅ sin x( ) x
= ⋅ d yp
x e
x ⋅ ⋅cos x( )
→ = − yp
x e
x ⋅ ⋅cos x( )
13 DE 19 R.M.S
ECUACIONES DIFERENCIALES
METODO ABREVIADO
EJEMPLO 13 y'' − 9y x e
2x = ⋅ ⋅sin 4x( ) f13 x( ) x e
2x := ⋅ ⋅sin 4x( )
Recordemos los Teoremas a aplicar:
1 ) (^) y p
F D( )
= x V x⋅ ( ) x
F D( )
⋅ e
2x ⋅sin 4x( )
D
F D( )
d
d
F D( )
2
e
2x ⋅sin 4x( )
2 ) (^) y p
F D( )
e
αx = ⋅ ⋅V x( ) e
αx 1
F D( +α)
= ⋅ ⋅V x( )
3 ) (^) y p
F D
2
= ⋅sin (β x)
F β
2 −
= ⋅sin (β x) para^ F β
2 −
En este ejemplo se aplican 3 teoremas juntos, le recomuiendo mucha atencion, por que este es
esl reto para el dominio del metodo abreviado.
Primero operamos sobre x: F13 D( ) D
2 := − 9
y p
D
2 − 9
x e
2x
= ⋅(^ ⋅ ⋅sin 4x( )) x
F13 D( )
⋅ e
2x
⋅ (^ ⋅sin 4x( ))
D
F13 D( )
d
d
F13 D( )
2
e
2x
= − ⋅(^ ⋅sin 4x( ))
Segundo operamos sobre e
2x
y p
x e
2x ⋅
F13 D( + 2 )
⋅ ⋅ sin 4x( ) 2D e
2x 1
F13 D( + 2 )
2
⋅ ⋅sin 4x( )
y p
x e
2x ⋅
D
2
⋅ ⋅sin 4x ( ) 2D e
2x 1
D
2
2
⋅ ⋅sin 4x( )
y p
x e
2x ⋅
2 − + 4 D⋅ − 5
⋅ ⋅ sin 4x( ) 2D e
2x 1
2 − + 4 D⋅ − 5
2
⋅ ⋅sin 4x( )
y p
x e
2x ⋅
4D − 21
4D + 21
4D + 21
⋅ ⋅ sin 4x( ) 2D e
2x 1
(4D − 21 )
2
⋅ ⋅sin 4x( )
14 DE 19 R.M.S
ECUACIONES DIFERENCIALES
METODO ABREVIADO
METODO CONTINUO
Consiste en resolver una sucesion ecuaciaciones diferenciales lineales de primer orden,
transformandose en integrales continuas. Siempre y cuando el polinomio caracteristico tenga
raices reales.
Si λi son las raices del polinomio caracteristico con i=1,2,3,...,n
D λ 1
( )
D λ 2
( )
⋅.... D λ n
( )
⋅ y = f x( )
( D −λn) u n
⋅ = f x( ) u n
e
λ n
⋅x
e x
λ n
− ⋅x
⋅ f x( )
= ⋅ d
D λ 2
( )
u 2
⋅ u 3
= u 2
e
λ 2
⋅x
e x
λ 2
− ⋅x
⋅ u3 x( )
= ⋅ d
D λ 1
( )
u 1
⋅ u 2
= u 1
e
λ 1
⋅x
e x
λ 1
− ⋅x
⋅ u2 x( )
= ⋅ d
y p
e
λ 1
⋅x
e x
λ 1
− ⋅x
e
λ 2
⋅x
e x
λ 2
− ⋅x
⋅ u
⋅ d
= ⋅ d e
λ 1
⋅x
e x
λ 2
λ 1
− ( ) x
e x
λ 2
⋅x
⋅ u
⋅ d
= ⋅ d⋅.....
y p
e
λ 1
⋅x
e x
λ 2
λ 1
− ( ) x
e x
λ 3
λ 2
− ( ) ⋅x
⋅ .......... e x
λ n
λ n − 1 − ( ) ⋅x
⋅ d
⋅ d
= ⋅ d⋅.....dx
16 DE 19 R.M.S
ECUACIONES DIFERENCIALES
METODO ABREVIADO
EJEMPLO 14 y'' − 3y'+ 2y x
2 = + 6x+ 5 f14 x( ) x
2 := + 6x+ 5
D
2
( − 3D+ 2 )y x
2 = + 6x+ 5 D
2 − 3D+ 2
solve
D
→ λ 1
:= 1 λ 2
y p
e
λ 1
⋅x
e x
λ 2
λ 1
−
⋅x
e x
λ 2
− ⋅x
⋅ f14 x( )
⋅ d
= ⋅ d y p
x
2
9 x⋅
Comparando con el ejemplo 10, se tiene: yp
x
2
9 x⋅
EJEMPLO 15 y''' − 3y''+ 3y'− y x e
3x = ⋅ f15 x( ) x e
3x := ⋅
D
3 3 D
2
( − ⋅ + 3 D⋅ − 1 ) ⋅ y x e
3x = ⋅ D
3 3 D
2 − ⋅ + 3 D⋅ − 1
factor
D
(D − 1 )
3 →
λ 1 := 3 λ 2 := 3 λ 3 := 3
y p
e
λ1 x⋅ e x
( λ 2 −λ 1 ) x⋅ e x
(λ 3 −λ 2 ) x⋅ e x
− λ 3 ⋅ x ⋅f15 x( )
⋅ d
⋅ d
= ⋅ d y p
x
4 e
3 x⋅ ⋅
Otra forma con abreviado
( D − 1 )
3 ⋅y x e
3x = ⋅ y p
e
3x 1
( D + 1 − 1 )
3
= ⋅ ⋅x y p
e
3x 1
D
3
= ⋅ ⋅x
y p
e
3x 1
D
2
x
2
= ⋅ y p
e
3x 1
D
x
3
= ⋅ y p
e
3x x
4
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ECUACIONES DIFERENCIALES
METODO ABREVIADO
ACTIVIDAD DE TRABAJO 2
Resolver las EDO por el metodo ABREVIADO adecuado:
1 ) (^) 2y''' + 3y''+ y'− 4y e
−t = 2 )^ y'' + 9y 4t
3 = ⋅sin 3t( )
3 ) (^) y
iv − 3y''− 8y = sin t( ) 4 )^ y'' − 6y'+ 9y 5t
6 e
3t = ⋅
ACTIVIDAD DE INTEGRADORA 2
Resolver las EDO por el metodo ABREVIADO adecuado:
1 ) (^) x'' t( ) − 2 x' t( )+ x t( ) 24t
2 e
t = ⋅ 2 )^ x'' t( ) − 4 x' t( )+ 4 x t( ) t e
2t = ⋅
3 ) (^) y'' + 2y'+ 4y 111 e
2t = ⋅ ⋅cos 3t( ) 4 )^ y'' x( ) + y x( ) = 4x cos x⋅ ( )
PORTAFOLIO DE EVIDENCIAS 2
Resolver las EDO por el metodo ABREVIADO adecuado:
1 ) (^) y''' − 2y'− y'+ 2y 2t
2 = + 4t− 9 2 )^ y'' − 4y'+ 4y t
2 e
2t ⋅ e
2t = −
3 ) (^) y'' − 4y'+ 5y e
5t = + t sin 3t⋅ ( )−cos 3t( ) 4 )^ y'' + 2y'+ 2y e
− x = cos x( )
5 ) (^) y'' − 4y 4 x
2 ⋅ e
2x = ⋅ y 0( ) = ,^0 y' 0( ) = 0
6 ) (^) y'' + 4y = 4 cos 2x⋅ ( ) y 0( ) = , (^1) y'
π
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