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Documento que contiene la solución de 17 ejercicios de cálculo relacionados con el cálculo de derivadas, máximos, mínimos y puntos de inflexión de diferentes funciones. Cada ejercicio incluye la definición de la función, la solución y el cálculo de las derivadas y segundas derivadas.
Tipo: Apuntes
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¡No te pierdas las partes importantes!
Ejercicio nº 1.- Calcula f '(2), utilizando la definición de derivada, siendo: f ( x ) = 2 x 2 + 5 x
Solución:
Ejercicio nº 2.- Halla la ecuación de la recta tangente a la curva 2 x + 3 y - 1 = 0. f ( x ) = 2 x 2 - 3 x + 1, que es paralela a la recta
Solución:
Ejercicio nº 3.-
Considera la función: f ( x ) = 2 x 3 + 9 x 2 + 12 x + 1 a) Estudia su crecimiento y halla sus máximos y mínimos. b) Estudia su curvatura y obtén sus puntos de inflexión.
Solución: a) f '( x ) = 6 x 2 + 18 x + 12 f '( x ) = 0 → 6 ( x 2 + 3 x + 2) = 0
f en (-2, -3) y un mínimo en (-1, -4). ( x ) es creciente en (-∞, -2) ∪ (-1, +∞); es decreciente en (-2, -1). Tiene un máximo b) f ''( x ) = 12 x +
Ejercicio nº 4.-
b) Con el resultado obtenido, calcula f '(2).
Solución:
f (0, 4) y un mínimo en (2, 0). ( x ) es creciente en (-∞, 0) ∪ (2, +∞); es decreciente en (0, 2). Tiene un máximo en
f (1, 2). ( x ) es convexa en (-∞, 1); es cócava en (1, +∞). Tiene un punto de inflexión en
Ejercicio nº 7.- Un heladero ha comprobado que, a un precio de 50 céntimos de euro la unidad, vende unamedia de 200 helados diarios. Por cada céntimo que aumenta el precio, vende dos helados menos al día. Si el coste por unidad es de 40 céntimos, ¿a qué precio de venta es máximo elbeneficio diario que obtiene el heladero? ¿Cual será ese beneficio?
Solución: Llamamos50 + x céntimos; y venderá 200 - 2 x al número de céntimos en los que aumenta el precio. Así, cada helado costará x helados diarios. Por tanto, por la venta de los helados obtendrá unos ingresos: I ( x ) = (50 + x ) (200 - 2 x ) Pero tiene unos gastos de: G (x) = (200 - 2x) · 40 Luego, el beneficio será de: B ( x ) = I ( x ) - G ( x ) = (50 + x ) (200 - 2 x ) - (200 - 2 x ) · 40 = (200 - 2 x ) (50 + x - 40) = = (200 - 2 x ) ( x + 10) = -2 x 2 + 180 x + 2 000
Hallamos x para que el beneficio sea máximo: B '( x ) = -4x + 180 B '( x ) = 0 → -4 x + 180 = 0 → x = 45 B ''( x ) = -4; B ''(45) < 0 → en x = 45 hay un máximo Por tanto, obtendrá el máximo beneficio vendiendo cada helado a 50 + 45 céntimos de euro.En este caso, el beneficio sería de B (45) = 6 050 céntimos, es decir, de 60,50 euros.
Ejercicio nº 8.-
b) Con el resultado obtenido, calcula f '(1).
Solución:
Ejercicio nº 9.-
Solución:
Q ''( x ) = (63 - 3x) + (x + 1) · (-3) = 63 - 3x - 3x - 3 = -6x + 60 Q ''(-1) = 66 > 0 → en x = -1 hay un mínimo. Q ''(21) = -66 < 0 → en x = 21 hay un mínimo. Por tanto, la temperatura ha de ser de 21 °C. b) La producción en este caso sería de: Q (21) = 5 324 kg
Ejercicio nº 12.- Estudia el crecimiento y la curvatura de la siguiente función. Halla sus máximos, mínimos ypuntos de inflexión:
Solución:
f ( x ) es decreciente en (−∞, −2) ∪ (0, 3); es creciente en (−2, 0) ∪ (3, +∞). Tiene
f Tiene dos puntos de inflexión: ( x ) es decreciente en (−∞; −1,12) ∪ (1,79; +∞); es convexa en (−1,12; 1,79).
(−1,12; 0,03) y (1,79, −1,99)
Ejercicio nº 13.- Una huerta tiene actualmente 24 árboles, que producen 600 frutos cada uno. Se calcula que,por cada árbol adicional plantado, la producción de cada árbol disminuye en 15 frutos. ¿Cuál debe ser el número total de árboles que debe tener la huerta para que la producciónsea máxima? ¿Cuál será esa producción?
Solución: Llamamos x al número de árboles que se plantan. Tenemos que el número de frutos sería: f ( x ) = (24 + x ) (600 − 15 x ) = − 15 x 2 + 240 x + 14 400 Buscamos x para que f ( x ) sea máxima: f ' ( x ) = − 30 x + 240
Veamos que es un máximo: f '' ( x ) = −30 ; f '' (8) = −30 < 0 → en x = 8 hay máximo. (Como f ( x ) corresponde a una parabola invertida, en x = 8 está el máximo absoluto). Por tanto, se deben plantar 8 árboles. Así, habrá un total de 24 + 8 = 32 árboles, que producirán 15 360 frutos. Ejercicio nº 14.- Halla la derivada de la función f ( x ), en x 0 = -1, utilizando la definición de derivada:
Solución:
f ( x ) es creciente en (-∞, 2) ∪ (4, +∞); es decreciente en (2, 4). Tiene un máximo en (4, 1).
Ejercicio nº 17.- Un depósito abierto de latón con base cuadrada y capacidad para 4dimensiones debe tener para que su fabricación sea lo más económica posible? 000 litros, ¿qué
Solución:
Llamamos x al lado de la base e y a la altura del depósito. Así, el volumen es:
La superficie total del depósito (recordemos que está abierto) será:
Buscamos x para que A sea mínima:
A' = 0 → − 16 000 + 2 x 3 = 0 → 2 x 3 = 16 000 →
Veamos que es un mínimo:
Por tanto, el lado de la base debe medir x = 20 dm y la altura, y = 10 dm.
