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UNED

MATEMÁTICAS

INGENIERÍA INFORMÁTICA

INGENIERÍA EN TECNOLOGÍAS DE LA INFORMACIÓN

MATEMÁTICA DISCRETA

(APUNTES)

2 - 1 - 1 Definiciones: grafo (vértice, arista), multigrafo, pseudografo, digrafo, grafos

 - 1 - 5 - 3 La ecuación ax  b mod( m ) - 1 - 5 - 4 El Teorema Chino del Resto (sistemas de congruencias) - 1 - 5 - 5 La función  de Euler - 1 - 5 - 6 Teorema de Euler - 1 - 5 - 7 Pequeño Teorema de Fermat - 1 - 5 - 8 Teorema de Wilson................................................................................................ - 1 - 5 - 9 Cifrado de mensajes. Criptografía 

• 1 - 6 SISTEMAS DE NUMERACIÓN Y CRITERIOS DE DIVISIBILIDAD
  • 1 - 6 - 1 Representación de un número natural en una base dada.......................................
  • 1 - 6 - 2 Criterio de divisibilidad por k
• 2. INTRODUCCIÓN A LA TEORÍA DE GRAFOS
  • 2.1 GRAFOS, DIGRAFOS Y MULTIGRAFOS
    • isomorfos, grado de un vértice
    • 2 - 1 - 2 Primer Teorema de la Teoría de Grafos
    • 2 - 1 - 3 Subgrafo
    • 2 - 1 - 4 Grafo regular y grafo completo
  • 2.2 GRAFOS EULERIANOS Y HAMILTONIANOS
    • 2 - 2 - 1 Definiciones: camino, extremos de un camino, longitud de un camino
    • 2 - 2 - 2 Tipos de caminos: cerrado, simple, ciclo, circuito, conexo
    • 2 - 2 - 3 Grafo euleriano
    • 2 - 2 - 4 Caracterización de grafos eulerianos
    • 2 - 2 - 5 Grafo hamiltoniano
    • 2 - 2 - 6 Componentes conexas de un grafo
    • 2 - 2 - 7 Condición necesaria para que un grafo sea Hamiltoniano
  • 2.3 EXPLORACIÓN DE GRAFOS........................................................................................
    • 2 - 3 - 1 Matriz de Adyacencia. Propiedades
    • 2 - 3 - 2 Árbol
    • 2 - 3 - 3 Grafo etiquetado
    • 2 - 3 - 4 Algoritmo de Dijkstra
  • 2.4 MAPAS Y COLORACIONES
    • 2 - 4 - 1 Grafos Planos
    • 2 - 4 - 2 Mapa asociado a un grafo plano. Región y grado de una región
    • 2 - 4 - 3 Fórmula de Euler
    • 2 - 4 - 4 Subdivisión de un grafo
    • 2 - 4 - 5 Teorema de Kuratowski
    • 2 - 4 - 6 Pseudomultigrafo dual de un mapa
    • 2 - 4 - 7 Coloración de un mapa
    • 2 - 4 - 8 Teorema de los Cuatro Colores
    • 2 - 4 - 9 Grafos Bipartitos....................................................................................................
• 3. MÉTODOS COMBINATORIOS
  • 3.1 TÉCNICAS BÁSICAS
    • 3 - 1 - 1 Principio de Adición
    • 3 - 1 - 2 Principio de Multiplicación
    • 3 - 1 - 3 Principio de Distribución
  • 3.2 PERMUTACIONES, VARIACIONES Y COMBINACIONES
    • 3 - 2 - 1 Permutaciones
    • 3 - 2 - 2 Número de permutaciones de un conjunto de n elementos
    • 3 - 2 - 3 Variaciones y variaciones con repetición
    • repetición) 3 - 2 - 4 Número de variaciones, de orden r, de un conjunto de n elementos (con y sin
    • 3 - 2 - 5 Combinaciones y combinaciones con repetición
    • repetición) 3 - 2 - 6 Número de combinaciones, de orden r, de un conjunto de n elementos (con y sin
    • 3 - 2 - 7 Permutación circular de n objetos
    • 3 - 2 - 8 Resumen
  • 3.3 TEOREMA DEL BINOMIO
    • 3 - 3 - 1 Propiedades algebraicas de los números combinatorios
    • 3 - 3 - 2 El Triángulo de Pascal
    • 3 - 3 - 3 Teorema del Binomio (coeficientes binomiales)
    • 3 - 3 - 4 Coeficientes multinómicos.....................................................................................
    • 3 - 3 - 5 Fórmula de Leibniz
  • 3.4 PRINCIPIO DE INCLUSIÓN-EXCLUSIÓN
    • 3 - 4 - 1 Principio de Inclusión-Exclusión
    • 3 - 4 - 2 Desordenaciones
  • 3.5 RECURSIVIDAD Y RELACIONES RECURRENTES
    • 3 - 5 - 1 Concepto de recursión
    • 3 - 5 - 2 Funciones definidas recursivamente
    • 3 - 5 - 3 Relaciones de recurrencia lineales con coeficientes constantes
    • 3 - 5 - 4 La sucesión de Fibonacci
    • 3 - 5 - 5 Ecuación característica asociada a una relación de recurrencia lineal homogénea
• GLOSARIO DE TÉRMINOS
• BIBLIOGRAFÍA

MATEMÁTICA DISCRETA

(APUNTES)

1. TEORÍA ELEMENTAL DE NÚMEROS

1 - 1 ALGORITMOS DE DIVISIÓN Y EUCLIDES

1 - 1 - 1 La división de números enteros. Propiedades

Definición

Sean (^) a,b .

1.- Llamaremos diferencia a - b de estos dos enteros a otro entero d que satisfaga la

igualdad a = b + d.

2.- Si a ≠ 0 y b= a·q para algún q, diremos que a divide a b (a|b):

a,b , a 0

a | b q / b = a q

Otras expresiones equivalentes son a es un divisor o factor de b y b es múltiplo de a.

3.- Diremos que b es mayor que a (b > a), si existe un número natural n tal que b = a + n.

Diremos que b ≥ a si b > a ó b = a.

Nota

(Z, +, ·) es un anillo conmutativo , que satisface las siguientes propiedades respecto a +:

1.  a, b  Z  a + b  Z (operación cerrada)
2.  a, b, c  Z  (a + b) + c = a + (b + c) (asociativa)
3.  a  Z  0 / a + 0 = 0 + a = a (elemento neutro)
4.  a  Z  b / a + b = 0 (elemento simétrico)
5.  a, b  Z  a + b = b + a (conmutativa)

y las siguientes respecto a ·

6.  a, b  Z  a · b  Z (operación cerrada)
7.  a, b, c  Z  (a · b) · c = a · (b · c) (asociativa)
8.  a  Z  1 / a · 1 = 1 · a = a (elemento neutro)
9.  a, b, c  Z  a ·( b + c) = a · b + a · c (distributiva)

por lo que (Z, +, ·) es un anillo conmutativo con elemento unidad (el 1) y sin divisores del

cero, es decir si ab = 0 entonces necesariamente a = 0 ó b = 0.

Dados dos enteros a y b con b ≠ 0, entonces existen q y r tales que a=bq+ r donde 0  r

< |b|. Además, q y r son únicos.

1 - 1 - 4 El operador módulo: MOD

Definición

Sean a y b números enteros con b ≠ 0. Sea a = bq + r donde 0  r <|b|. Definimos el

operador módulo "MOD" por

a MOD b = r.

Propiedades

Sean a, b, c, d y m números enteros con m = 0. Si

a MOD m = c MOD m y b MOD m= d MOD m

entonces:

1.- (a +b) MOD m = (c +d) MOD m.

2 .- (ab) MOD m = (cd) MOD m.

1 - 1 - 5 Máximo común divisor (m.c.d.) de dos enteros

Definición

Sean a y b enteros. Un entero d ≠ 0 es un divisor común de a y b si d|a y d|b. Un divisor

común de a y b se llama máximo común divisor de a y b, si d > 0 y cada común divisor

de a y b divide también a d.

d | a, d | b

m.c.d.(a,b) d

c / c | a, c | b c | d c d

Al máximo común divisor de a y b le designaremos por m.c.d.(a, b).

En el caso que a = b = 0 entonces m.c.d.(0, 0 ) = 0.

Nota

1. El m.c.d de dos números es siempre positivo, aunque a y b sean negativos, es

decir:

m.c.d.(-a, b) = m.c.d.(a, - b) = m.c.d.(-a, - b) = m.c.d.(a, b)

2. Como todos los números dividen a cero, si uno de ellos es nulo, b = 0, por

ejemplo, entonces lod divisores comunes de a y b son los de a. Por lo tanto:

m.c.d.(a, 0 ) = |a|

Definición

Sean a 1 , a 2 , ..., an , números enteros. Llamaremos máximo común divisor de a 1 , a 2 , ..., an

al divisor común d > 0 tal que cualquier otro divisor común de a 1 , a 2 , ..., an divide también

a d. Se designará mediante m.c.d.(a 1 , a 2 , ..., an).

Teorema (Identidad de Bezout)

Sean a y b enteros distintos de 0. Entonces existe un único d máximo común divisor de

a y b. Además, d es el entero positivo más pequeño que puede expresarse en la forma

ax + by donde x e y son números enteros.

m.c.d.(a, b) = d = ax + by x,yZ

Corolario

Sean a y b enteros distintos de 0. Entonces m.c.d.(a, b) = 1 si y sólo si existen enteros s y

t tales que as + bt = 1.

Proposición

Dados dos números enteros a y b, con b ≠ 0.

1.- Los divisores comunes de a y b son divisores del resto r de la división de a por b.

a,b b 0

c / c | a c | b c | r

a b q r

2.- Los divisores comunes de b y del resto r son divisores de a.

a,b b 0

a b q r c | a

c / c | a c | r

Teorema

El máximo común divisor del dividendo (a) y del divisor (b) de una división es el mismo

que el máximo común divisor del divisor (b) y del resto (r).

m.c.d.(a,b) = m.c.d.(b, r)

1 - 1 - 6 Algoritmo de Euclides para el cálculo del m.c.d.

Corolario

Para cada entero k ≠ 0 m.c.d.(ka, kb) = |k|·m.c.d.(a, b)

1 - 2 NÚMEROS PRIMOS Y TEOREMA FUNDAMENTAL DE LA ARITMÉTICA

1 - 2 - 1 Definiciones de número primo, compuesto y números primos entre sí

Definición

Dado un número entero p > 1, diremos que p es un número primo (o simplemente

primo), si 1 y p son los únicos divisores positivos de p. Un entero a > 1 que es no primo

le denominaremos número compuesto.

De la definición de primo, es claro que un entero p > 1 es primo si y solo si es imposible

expresar p = a·b, donde a y b son enteros, y ambos 1 < a < p y 1 < b < p.

Nota

En lo que sigue p designará un número primo mayor que 1. En el conjunto de los diez

primeros números naturales 2, 3, 5 y 7 son primos, mientras que 4, 6, 8, 9 y 10 son

números compuestos. Observemos que el número 2 es el único primo par.

Definición

Sean a 1 , ..., an una familia de números enteros. Diremos que los a 1 , ..., an son primos

entre sí, si se tiene que m.c.d.(a 1 , ... ,an) = 1.

1 - 2 - 2 El Lema de Euclides

Sean a, b y c números enteros. Supongamos que a y c son primos entre sí y que c|ab.

Entonces c|b.

Corolario

Sea p un número entero mayor que 1. Las afirmaciones siguientes son equivalentes:

a) El número p es primo.

b) Para cualquier par a y b de números enteros, si p|ab entonces p|a ó p|b.

Corolario

Sea p un número primo. Si p|a 1 a 2 ... ar entonces p|ai para algún i.

1 - 2 - 3 Factorización de un número en producto de primos: El Teorema Fundamental de

la Aritmética

Sea n un número mayor que 1. Entonces existen números primos p 1 , …, pr tales que:

n = p 1 p 2 ···pr donde p 1 ≤ p 2 ≤ ··· ≤ pr

Teorema

Existen infinitos números primos de la forma 4n + 3.

La distribución de números primos es un problema muy difícil y del que se conocen sólo

resultados parciales. Eratóstenes en el siglo III a. C. estableció un método para la

obtención de números primos llamado en su honor la Criba de Eratóstenes y que es una

consecuencia del próximo Teorema cuya primera demostración rigurosa se debe a

Fermat

Teorema

Sea a un entero mayor que 1, entonces si para todo número primo p^  a , no divide al

número a, se verifica que a es primo.

Como una consecuencia del Teorema Fundamental de la Aritmética se puede establecer

el carácter irracional de (^) 2. Euclides en los Elementos otorga a Pitágoras este

resultado.

Teorema

El número 2 es irracional.

1 - 2 - 6 Distribución de los números primos

Hemos visto que existen infinitos primos y hemos discutido la abundancia de primos.

Ahora vamos a estudiar cómo se distribuyen los números primos entre los enteros

positivos. La primera proposición nos permite ver que existen cadenas de longitud

arbitraria de enteros positivos que no contienen números primos.

Proposición

Por cada entero n > 0, existen al menos n enteros compuestos consecutivos

La proposición anterior demuestra que la secuencia de enteros compuestos entre

primos es arbitrariamente tan larga como se quiera. Los dos únicos primos consecutivos

son el 2 y el 3, porque el dos es el único par primo. Sin embargo, existen muchos pares

de primos cuya diferencia es 2. Estos primos son llamados primos gemelos. Ejemplos de

estos primos son 5 y 7, 11 y 13, 101 y 103, 1. 003 .619 y 1. 003 .621.

1 - 2 - 7 Algunas conjeturas sobre números primos

Existen multitud de conjeturas concernientes a números primos:

1. Existen infinitos primos gemelos.

2. Conjetura de Goldbach (1742): cualquier número par más grande que 2 es suma

de dos números primos. Algunos ejemplos: 4 = 2 + 2, 6 = 3 + 3, 8 = 5 + 3, 10 = 7 +

Esta conjetura ha sido verificada hasta 4· 10

14 , pero aún no se ha encontrado un

argumento matemático que demuestre que es cierta para todo número par. Se

han demostrado algunos resultados ya muy "cercanos" a la conjetura: Se sabe

que cualquier número par es suma de 6 o menos números primos (Ramaré,

1995). Se sabe también, demostrado por Chen en 1966, que cualquier número

par "suficientemente grande" es suma de un numero primo más el producto de

dos números primos.

Obsérvese que, si la conjetura de Goldbach es cierta, entonces cualquier número

impar mayor que 5 ha de ser suma de 3 o menos números primos, llamada la

conjetura de Goldbach impar.

3. Dirichlet probó que, en cualquier progresión aritmética, o sea de la forma:

{a + bn | nN},

con a, b primos entre sí, existen infinitos números primos. Posteriormente

Chevotarev demostró que, fijado b, y si denominamos

(b):= #{a, 0 < a < b y a primo con b}

tenemos que, para cada a, el número de primos de la forma a + bn es 1/(b) el

número de primos totales. Por ejemplo, el número de primos que en forma

decimal acaban en 1 (o en 3, o en 7, o en 9) es una cuarta parte del total.

¿Existe siempre un número primo entre n2 y (n + 1)2? Se sabe que siempre hay

un primo entre n y 2n, con n > 1. Este resultado lo conjeturó Bertrand, y lo probó

Chebichev.

4. Un primo de Fermat es un número primo de la forma

n 2 (^) 2  1. Se conocen los

cuatro primeros: 2

1

• 1 = 3, 2

2

• 1 = 5, 2

4

• 1 = 17, 2

8

• 1 = 257. ¿Hay infinitos

primos de Fermat? Aún más, ¿hay algún primo de Fermat además de los cuatro

primeros?

1 - 2 - 8 Cálculo del m.c.d. y m.c.m. de dos enteros (a partir de su factorización)

Teorema

Sean a y b dos enteros, entonces existen números primos p 1 ..., pt y enteros i ≥ 0 y i ≥

0 para 1  i  t tales que:

1 t

1 t

1 t

1 t

a p p

b p p

 

 

Estas factorizaciones se consiguen a partir de la factorización canónica de a y de b. Si

existe algún factor primo de a que no es factor de b se introduce en la factorización de

éste con exponente cero y se procede análogamente con los factores de b que no lo son

de a. Se demuestra que:

Sea

1 t

1 t

a p p

 

 ^  y

1 t

1 t

b p p

 

 ^    , donde algunos de los 

i y^ i pueden ser cero.