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Ejercicio 3.20. Si A es un conjunto finito con n elementos, ¿cuántos elementos tiene el conjunto PpAq? Respuesta: 2 n.
Notación 3.21. Algunos autores denotan la potencia de un conjunto A mediante 2 A.
Ejercicio 3.22. Escribir Pp∅q. Respuesta: Pp∅q “ t∅u.
Observación 3.23. t∅u ‰ ∅.
Ejercicio 3.24. Escribir PpPp∅qq.
Ejercicio 3.25. Diga si las siguientes afirmaciones son verdaderas o falsas:
- ∅ P ∅
- ∅ Ď ∅
- ∅ P t∅, t∅uu
- ∅ Ď t∅, t∅uu
- t∅u P t∅, t∅uu
- t∅u Ď t∅, t∅uu
3.5. Operaciones con conjuntos
3.5.1. Unión
Definición 3.26. La unión de dos conjuntos A y B, expresada por A Y B, es el conjunto de todos los elementos que pertenecen a A o a B:
A Y B “ tx | x P A _ x P Bu.
3.5.2. Intersección
Definición 3.27. La intersección de dos conjuntos A y B, expresada por A X B, es el conjunto de todos los elementos que pertenecen a A y a B:
A X B “ tx | x P A ^ x P Bu.
3.5.3. Diferencia
Definición 3.28. La diferencia de A respecto a B , también llamada A menos B y expresada por AzB, es el conjunto de todos los elementos que pertenecen a A pero que no pertenecen a B:
AzB “ tx | x P A ^ x R Bu.
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3.5.4. Complemento
Definición 3.29. El complemento de un conjunto A, expresado por A c , es el con- junto de todos los elementos del universo que no pertenecen a A:
A c^ “ tx | x P U ^ x R Au.
Observación 3.30. De las definiciones anteriores es claro que A c^ “ U zA.
Ejercicio 3.31. Sea U “ t 0 , 1 , 2 , 3 ,... , 13 u. Escribir en forma explícita:
- A “ tx P U | x es paru
- B “ tx P U | x es múltiplo de 3 u
- C “ tx P U | x es primou
- A c^ Y C
- B c^ X C
- CzA
- AzC
- BzpA Y Cq
Ejemplo 3.32. Demostrar (por las definiciones) que:
- pA X Bq c^ “ A c^ Y B c
Demostración. p A X B q c^ “ t x | x P U ^ x R A X B u por definición del complemento, “ t x | x P U ^ p x P A X B qu por notación, “ t x | x P U ^ p x P A ^ x P B qu por definición de la intersección, “ t x | x P U ^ p x P A _ x P B qu por ley de De Morgan, “ t x | x P U ^ p x R A _ x R B qu por notación, “ t x | p x P U ^ x R A q _ p x P U ^ x R B qu por distributividad, “ t x | x P Ac^ _ x P Bc u por definición del complemento, “ Ac^ Y Bc^ por definición de la unión.
- BzA “ B X A c
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- ∅ c^ “ U.
- A X pBzCq “ pA X BqzpA X Cq.
Ejercicio 3.35. Demostrar, por medio de las propiedades, que:
- AzpB X Cq “ pAzBq Y pAzCq.
- AzpB Y Cq “ pAzBq X pAzCq.
- AzpBzAq “ A.
- A Y pAzBq “ A.
Ejercicio 3.36. Demostrar que:
- A Ď B ñ A X B “ A
- A Ď B ñ A Y B “ B
- A Ď B ñ B c^ Ď A c
Ejercicio 3.37. Se define la diferencia simétrica de dos conjuntos A y B, expresada por A 4 B, como el conjunto de todos los elementos que pertenecen a A o a B, pero no a ambos. Demuestre que:
- A 4 B “ pA Y BqzpA X Bq
- A 4 B “ pAzBq Y pBzAq
Observación 3.38. A 4 B “ tx | x P A Y x P Bu, donde Y es el o excluyente definido en 2.24.
3.6. Cardinalidad
Definición 3.39. Dado A un conjunto, se define la cardinalidad de A, y se denota |A|, como la cantidad de elementos que pertenecen a A.
Ejemplo 3.40..
- Dado A “ ta, e, i, o, uu, |A| “ 5.
- Dado B el conjunto de las letras del alfabeto español, ¿cuánto vale |B|?
- Dado C el conjunto de consonantes del alfabeto español, ¿cuánto vale |C|?
Ejercicio 3.41..
- Si S “ ∅, ¿cuánto vale |S|?
- ¿Cuál es la cardinalidad de N?
- Si A Ď B, ¿|A| ď |B|?
- Si A Ă B, ¿|A| ă |B|?
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3.6.1. Propiedades de las cardinalidades
- Si A Ď B, entonces |A| ď |B|.
- |A Y B| “ |A| ` |B| ´ |A X B|.
Ejemplo 3.42. Demostrar por medio de las propiedades anteriores que:
- Si A “ B, entonces |A| “ |B|.
- Si A X B “ ∅, entonces |A Y B| “ |A| ` |B|.
- |A Y B| ě m´axt|A|, |B|u.
- |A Y B Y C| “ |A|
|B| |C| ´ |A X B| ´ |A X C| ´ |B X C| ` |A X B X C|.
Ejercicio 3.43. Demostrar por medio de las propiedades anteriores que:
- |A X B| ď m´ınt|A|, |B|u.
- |A| ` |A c | “ |U | (sugerencia: observe que A Y A c^ “ U y A X A c^ “ ∅).
- |AzB| “ |A| ´ |A X B|.
- 0 ď |A X B| ď m´ınt|A|, |B|u ď |A| ď m´axt|A|, |B|u ď |A Y B| ď |A| ` |B|.
3.7. Diagramas de Venn
Propuestos por John Venn (1834-1923) para cálculos lógicos, en la actualidad se emplean para representar gráficamente los conjuntos y sus relaciones.
U
A B
Figura: Representación de dos conjuntos mediante un diagrama de Venn.
Ejemplo 3.44. Representar mediante el diagrama de Venn las siguientes condiciones:
- A y B no se intersectan
- A Ď B
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U C P 7 6 5 2
Figura: Representación del ejemplo en un diagrama de Venn.
Ejercicio 3.48. En una encuesta a 200 alumnos se encontró que 68 tienen excelen- te conducta, 138 son inteligentes, 160 son muy sociables, 120 son muy sociables e inteligentes, 20 tienen excelente conducta pero no son inteligentes, 13 tienen exce- lente conducta pero no son muy sociables, y 15 tienen excelente conducta, son muy sociables y no son inteligentes. Identificar en un diagrama de Venn. Solución:
U (^) C I
S
Capítulo 4
Alfabetos, cadenas y lenguajes
4.1. Alfabetos
Definición 4.1. Un alfabeto es un conjunto finito no vacío de elementos que llama- remos símbolos.
Notación 4.2. En teoría de computación se suele denotar con Σ a un alfabeto cual- quiera; también se suele usar Γ.
Ejercicio 4.3. Determinar si los siguientes son alfabetos:
- Sea Σ el conjunto de letras, tanto mayúsculas como minúsculas, del idioma español.
- Sea Γ el conjunto de letras, tanto mayúsculas como minúsculas, del idioma griego.
- Sea Σ “ ta, b, c, du.
- Sea Γ “ t 0 , 1 u.
- Sea Σ “ N.
Ejercicio 4.4. Investigar sobre los siguientes alfabetos :
- ASCII.
- ISO 8859-1 (Latín 1).
- UTF-8.
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4.2.1. Concatenación
Definición 4.14. Sea Σ un alfabeto y sean α y β dos cadenas sobre Σ, la concate- nación de α con β es la cadena formada por α seguida de β, y se escribe αβ.
Observación 4.15. Observe que la concatenación de α con β también es una cadena sobre Σ.
Ejercicio 4.16..
- Sean α “ aab y β “ acad, escribir αβ y βα.
- Sea γ “ 0110 , escribir λγ y γλ.
- Sean ε “ x^10 z^9 y^13 y δ “ y^8 x^7 , escribir εδ y δε.
Ejercicio 4.17..
- Si α P Σ˚^ y β P Γ˚, ¿a qué conjunto pertenece αβ?
- Si |α| “ n y |β| “ m, ¿cuál es el valor de |αβ|?, ¿y cuál es el valor de |βα|?
4.2.2. Subcadenas, prefijos y sufijos
Definición 4.18. Se dice que una cadena α es una subcadena de la cadena β si y sólo si existen dos cadenas γ y δ tales que β “ γαδ.
Ejercicio 4.19..
- En los siguientes casos, decir si α es una subcadena de β. a ) α “ ab y β “ cabad. b ) α “ 011 y β “ 001011.
- Dado β “ x^10 z^9 y^13 , ¿cuáles de las siguientes son una subcadena de β? a ) α 1 “ x^2 y^3. b ) α 2 “ x^10 z^10. c ) α 3 “ zy.
Ejercicio 4.20. Demostrar que toda cadena es subcadena de sí misma.
Definición 4.21. Se dice que una cadena α es un prefijo de la cadena β si y sólo si existe una cadena δ tal que β “ αδ. Similarmente, se dice que una cadena α es un sufijo de la cadena β si y sólo si existe una cadena γ tal que β “ γα.
Ejercicio 4.22. Demostrar que los prefijos y sufijos son subcadenas.
